宁夏石嘴山市2020届高三4月二模数学（理）试题

宁夏石嘴山市2020届高三4月二模数学（理）试题

‎2020年石嘴山市高三年级适应性测试数学试卷（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用对数函数求出，再利用交集定义求出.‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎=，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.‎ 详解：因为，所以,‎ 因此 选D.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3.已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为 A. B. ‎2 ‎C. 或2 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．‎ ‎【详解】∵1，m，9构成一个等比数列，‎ ‎∴m2=1×9，‎ 则m=±3．‎ 当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；‎ 当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，‎ 则离心率为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．‎ ‎4.在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则（ ）‎ A. B. C. D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量基本定理,利用作为基底化简再求解即可.‎ ‎【详解】因为在边长为2的菱形ABCD中,,故 ‎ ‎.‎ E是BC的中点,故 ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用以及数量积的运算,属于中档题.‎ ‎5.由我国引领的‎5G时代已经到来，‎5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的‎5G经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ）‎ A. ‎5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由柱状图观察信息服务商逐年增长并在后续2029年开始超过设备制造商GDP.‎ ‎【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题.‎ ‎6.已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可知，函数为上的奇函数，且在上先增后减，然后逐项分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在区间上的单调性，结合排除法可得出正确选项.‎ ‎【详解】由图象可知，函数为上的奇函数，且在上先增后减.‎ 对于A选项，函数的定义域为，‎ ‎，该函数为奇函数，当时，，.‎ 当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减，合乎题意；‎ 对于B选项，函数的定义域为，不合乎题意；‎ 对于C选项，函数的定义域为，，，，该函数不是奇函数，不合乎题意；‎ 对于D选项，函数的定义域为，当时，，，该函数在区间上单调递增，不合乎题意.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．‎ ‎【详解】有一块棱长为3尺正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，‎ 由正方体的结构及锯木块的方法，‎ 可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，‎ ‎∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：‎ p．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎8.下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“，”的否定形式是“，”‎ B. 若平面，，，满足，则 C. 随机变量服从正态分布（），若，则 D. 设是实数，“”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.‎ ‎【详解】命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，‎ ‎，则可能相交，故B错误；若，则，所以 ‎，故，所以C错误；由，得或，‎ 故“”是“”的充分不必要条件，D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.‎ ‎9.将函数的图象向左平移个单位后得到函数 的图象，若函数为偶函数，则函数在的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象平移可得，根据为偶函数和的范围可求得，从而得到解析式；利用的范围求得的范围，根据正弦函数图象可求得函数值域.‎ ‎【详解】向左平移个单位得：‎ 又为偶函数 ， ，‎ ‎ ‎ 当时， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象平移变换、根据函数性质求解函数解析式、三角函数在区间内值域问题的求解，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.‎ ‎10.若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得切点为原点,再根据导数的几何意义求函数在的切线斜率,‎ 继而得出的关系求解离心率即可.‎ ‎【详解】由题可知,切点为原点.又的导函数,故.‎ 故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题.‎ ‎11.如图，在四棱锥中，平面，且，异面直线与所成角为，点都在同一个球面上，则该球的半径为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由条件可知 ，所以， 为异面直线 与 所成角，故 ，而，故 ，在直角梯形 中，易得 ，以 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径 即为所求的球的半径，由 ，故 .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎12.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可 ‎【详解】可求得直线关于直线的对称直线为，‎ 当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增；‎ 当时，，，当，,当时，单减，当时，单增；‎ 根据题意画出函数大致图像，如图：‎ 当与（）相切时，得，解得；‎ 当与（）相切时，满足，‎ 解得，结合图像可知，即，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.的展开式中，含项的系数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出二项展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.‎ ‎【详解】的展开式通项为，‎ 令，得，因此，的展开式中，含项的系数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.‎ ‎【答案】126‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列公比为,再根据,,成等差数列以及基本量法求解,再根据等比数列求和公式求即可.‎ ‎【详解】设等比数列公比为,因为,,成等差数列,故,又,故,即,因为,‎ 故.故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,包括基本量的用法以及等比数列求和公式等.属于中档题.‎ ‎15.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．‎ ‎【答案】x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0‎ ‎【解析】‎ 由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8.‎ 设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋2，解得d＝3.若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.所以直线l的方程是x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0.‎ ‎16.已知是奇函数并且是R上单调函数,若函数只有一个零点,则函数的最小值为________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是奇函数并且是R上的单调函数,求解中的值,再利用基本不等式求解的最小值即可.‎ ‎【详解】由题, 只有一个零点,故,又是奇函数并且是R上的单调函数,‎ 故,仅有一个零点.‎ 故.‎ 又,故,当且仅当时取得等号.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用以及基本不等式的用法.属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且 ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.‎ ‎(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ) 平面，平面，故.‎ ‎，，故，故.‎ ‎，故平面.‎ ‎(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，.‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 取得到，，设直线与平面所成角为 故.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎18.在中，角A，B，C对边分别若.‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若，且外接圆半径为1，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据正弦定理边化角以及正弦的和角公式化简求解即可.‎ ‎(2)根据正弦定理与的外接圆半径为1,结合(1)中可得,再根据余弦定理结合可得,再根据面积公式求解即可.‎ ‎【详解】解：因为.‎ 由正弦定理得,从而可得,‎ 又C为三角形的内角,所以,于是,‎ 又A为三角形内角,因此.‎ ‎（2）设的外接圆半径为R,则,,‎ 由余弦定理得,即,‎ 所以.所以的面积为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.‎ ‎19.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:‎ ‎(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;‎ ‎(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)‎ ‎【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.‎ ‎(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.‎ ‎(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.‎ ‎，，.‎ 故分布列为：‎ ‎.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．‎ ‎（1）求,的值：‎ ‎（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆 相交于C，D两点，当时，求△的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；‎ ‎（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．‎ ‎【详解】（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），‎ ‎，解得，＝1，＝1，‎ ‎（Ⅱ）由已知，可设直线方程为，，‎ 联立得，易知△＞0，则 ‎＝＝‎ ‎＝‎ 因为，所以＝1，解得 联立 ，得，△＝8＞0‎ 设，则 ‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．‎ ‎21.已知．‎ ‎（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间：‎ ‎（2）时，求证：．‎ ‎【答案】（1） 单调递增区间为，单调递减区间为； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，求得函数的导数，由是函数的极值点，解得，又由，进而得到函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1），进而得到函数的单调性和最小值，令，利用导数求得在上的单调性，即可作出证明.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数的定义域为，‎ 又由，且是函数的极值点，‎ 所以，解得，‎ 又时，在上，是增函数，且，‎ 所以，得，，得，‎ 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由（1）知因为，在上，是增函数，‎ 又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），‎ 所以，，使得，‎ 所以，即，‎ 在上，，函数是减函数，‎ 在上，，函数是增函数，‎ 所以，当时，取得极小值，也是最小值，‎ 所以，‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，函数单调递减，所以，‎ 即成立，‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的最值，从而得到证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，，，曲线的参数方程为为参数），以为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的普通方程及的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线分别交于点，，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）：，：；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，并代入可得出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）由曲线的参数方程得出其极坐标方程为，并设点、的极坐标分别为、，将曲线的极坐标方程分别代入曲线、的表达式，求出、 关于的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出的最大值．‎ ‎【详解】（1）由消去参数得的普通方程为：；‎ 由得，得的直角坐标方程为：，‎ 即．‎ ‎（2）的极坐标方程为：，的极坐标方程为：‎ 将分别代入，的极坐标方程得：，，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.‎ ‎（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以不等式等价于或或，‎ 解得或.‎ 所以不等式的解集为或.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 根据函数的单调性可知函数的最小值为，‎ 因为恒成立，所以，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.‎