广东省2013届高三数学理科试题精选分类汇编17：导数与积分（1）

广东省2013届高三数学理科试题精选分类汇编17：导数与积分（1）

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（1）‎ 一、选择题 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）是定义在上的非负可导函数,且满足,对任意正数, 若,则必有 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数,则 （　　）‎ A． B． C． D．[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎【答案】B ‎ 二、填空题 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）计算______‎ ‎【答案】6 ‎ ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）=______________‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）=________.‎ ‎【答案】2 ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）若 ,则实数a的值是_________.‎ ‎【答案】‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）对于三次函数的导数,函数的导数,若方程有实数解为函数的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题:‎ ‎(1)函数的对称中心坐标为_________________;‎ ‎(2)计算=__________________.‎ ‎【答案】对称中心 ; 2012 ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则实数 [来源:学科网]‎ ‎【答案】 (答对一个不得分) ‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数的导数处取得极大值,则的取值范围为__________‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）曲线、直线与轴所围成的图形面积为__________‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）函数在区间上最大值为____________‎ ‎【答案】解析: , ‎ ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）设函数在(,+)内有意义.对于给定的正数K,已知函数,取函数=.若对任意的(,+),恒有=,则K的最小值为_____________.‎ ‎【答案】2 ‎ ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2.则正实数a=____‎ ‎【答案】 ‎ ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）函数y=lnx在点A(1,0)处的切线方程为_______.‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）设函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围 ‎【答案】解:(Ⅰ). ‎ 当时,. ‎ 令,解得,,. ‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在,内是增函数,在,内是减函数. ‎ ‎(Ⅱ)解:,显然不是方程的根. [来源:学*科*网]‎ 为使仅在处有极值,必须恒成立,即有. ‎ 解此不等式,得.这时,是唯一极值. ‎ 因此满足条件的的取值范围是. ‎ ‎(Ⅲ)解:由条件可知,从而恒成立. ‎ 当时,;当时,. ‎ 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者. ‎ 为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当 ‎ ‎ 即 ‎ 在上恒成立.所以,因此满足条件的的取值范围是 ‎ ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知函数,函数是函数的导函数.‎ ‎(1)若,求的单调减区间;‎ ‎(2)若对任意且,都有,求实数的取值范围;‎ ‎(3)在第(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数M,使得对任意时恒成立,求M的最小值及相应的的值.‎ ‎【答案】解:(1)当时,, ‎ 由,解得 ‎ 当时,函数的单调减区间为 ‎ ‎(2)易知. ‎ 依题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为,所以,即实数的取值范围是 ‎ ‎(3)解法一 ‎ 易知,. ‎ 显然,由(2)知抛物线的对称轴 ‎ ‎①当,即时,且. ‎ 令,解得, ‎ 此时取较大的根,即 ‎ ‎, ‎ ‎②当,即时,且. ‎ 令,解得 ‎ 此时取较小的根,即 ‎ ‎,,当且仅当时取等号 ‎ 由于,所以当时,取得最小值 ‎ 解法二 ‎ 对任意时,“恒成立”等价于“且”. ‎ 由(2)可知实数的取值范围是,故的图象是开口向上,对称轴的抛物线 ‎ ‎①当时,在区间上单调递增, ‎ ‎∴, ‎ 要使最小,只需要 ‎ ‎ ‎ 若,即时,无解; ‎ 若,即时, ‎ 解得(舍去) 或, ‎ 故(当且仅当时取等号) ‎ ‎②当时,在区间上单调递减,在递增, ‎ ‎,则 ‎ 要使最小,则, ‎ 即, ‎ 解得(舍去), ‎ 或(当且仅当时取等号) ‎ 综上所述,当时,的最小值为 ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数,,图象与轴异于原点的交点M处的切线为,与轴的交点N处的切线为, 并且与平行.‎ ‎(1)求的值; ‎ ‎(2)已知实数t∈R,求函数的最小值;‎ ‎(3)令,给定,对于两个大于1的正数,‎ 存在实数满足:,,并且使得不等式 恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解: 图象与轴异于原点的交点, ‎ 图象与轴的交点, ‎ 由题意可得,即, ‎ ‎∴, ‎ ‎= ‎ 令,在 时,, ‎ ‎∴在单调递增, ‎ 图象的对称轴,抛物线开口向上 ‎ ‎①当即时, ‎ ‎②当即时, ‎ ‎③当即时, ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 所以在区间上单调递增 ‎ ‎∴时, ‎ ‎①当时,有, ‎ ‎, ‎ 得,同理, ‎ ‎∴ 由的单调性知 、 ‎ 从而有,符合题设 ‎ ‎②当时,, ‎ ‎, ‎ 由的单调性知 , ‎ ‎∴,与题设不符 ‎ ‎③当时,同理可得, ‎ 得,与题设不符 ‎ ‎∴综合①、②、③得 ‎ 说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分. ‎ ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知三次函数为奇函数,且在点 的切线方程为.‎ ‎(1) 求函数的表达式.‎ ‎(2) 求曲线在点处的切线方程,并求曲线在点 处的切线与曲线围成封闭图形的面积. ‎ ‎(3) 如果过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围;‎ ‎【答案】(1)解:恒成立 ‎ 又在点的切线方程为,即 ‎ ‎ ‎ ‎(2)解:设切点为,则切线方程是: ‎ ‎, ‎ 令得 ‎ 所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是 ‎ 时 ‎ 时 ‎ 时,切线与曲线恰有一个公共点, (此步不扣分)综上:曲线在点处的切线与曲线围成封闭图形的面积 [来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ‎ ‎(3)解: 令切线过,代入整理得: ‎ ‎ 关于有三个不同的解; ‎ 设即有三个不同的零点; ‎ 又时递减; ‎ 在区间上分别递增,故 ‎ ‎ ‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若函数在其定义域内为单调函数,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若函数的图象在处的切线的斜率为,且 ‎,已知,求证:;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较与的大小,并说明你的理由.‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数,其中实数是常数.‎ ‎(Ⅰ)已知,,求事件:“”发生的概率;‎ ‎(Ⅱ)若是上的奇函数,是在区间上的最小值,求当时的解析式;‎ ‎(Ⅲ)记的导函数为,则当时,对任意,总存在使得,求实数的取值范围.‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎① 当时,因为,所以,在区间上单调递减,从而; ‎ ‎② 当时,因为,所以,在区间上单调递增,从而, ‎ 综上,知 ‎ ‎ ‎ ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知函数,其中是自然对数的底数,.‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)当时,求整数的所有值,使方程在上有解;‎ ‎(3)若在上是单调增函数,求的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)因为,所以不等式即为,又因为,所以不等式可化为,所以不等式的解集为. (4 分) ‎ ‎(2)当时, 方程即为,由于,所以不是方程的解,所以原方程等价于,令,因为对于恒成立, ‎ 所以在和内是单调增函数, 又,,,,所以方程有且只有两个实数根,且分别在区间和上,所以整数的所有值为. ‎ ‎(3), ‎ ‎①当时,,在上恒成立,当且仅当时取等号,故符合要求; (10 分) ‎ ‎②当时,令,因为, ‎ 所以有两个不相等的实数根,,不妨设,因此有极大值又有极小值. ‎ 若,因为,所以在内有极值点, ‎ 故在上不单调. ‎ 若,可知, ‎ 因为的图象开口向下,要使在上单调,因为,必须满足即所以. ‎ 综上可知,的取值范围是. [来源:Zxxk.Com]‎ ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）‎ 设函数 ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)求函数的单调区间;‎ ‎(3)已知对任意成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数,曲线在点处的切线方程为 ‎(1)证明:对,;‎ ‎(2)当时,恒成立,求实数的取值范围 ‎【答案】解:(1)由得 ‎ 由题意知 ‎ 令 ‎ 则 ‎ 当时,,故在单调递减 ‎ 当时,,故在单调递增 ‎ 所以,即 ‎ ‎(2)ⅰ)当时,由(1)知,当得 ‎ 故 ‎ ⅱ)当时,令 [来源:Zxxk.Com]‎ 则 ‎ 令,则, ‎ 故在上单调递增,而 ‎ 故存在区间使得,即存在区间使单调递减, ‎ 所以存在区间使得,即 ‎ 这与在上恒成立矛盾 ‎ 综上可得 ‎ ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）‎ 已知函数,为函数的导函数. ‎ ‎(1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;‎ ‎(2)若函数,求函数的单调区间.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当时,令,得或 ‎ ‎(ⅰ)当,即时, ‎ ‎ ‎ 的单调递增区间为,单调递减区间为,; ‎ ‎(ⅱ)当,即时,, ‎ 故在单调递减; ‎ ‎(ⅲ)当,即时, [来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ‎ 在上单调递增,在,上单调递减 ‎ 综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为; ‎ ‎ ‎ ‎[来源:Z*xx*k.Com]‎ ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）集合A={},B={},D=A∩B.‎ ‎(I)当a=2时,求集合D(用区间表示);‎ ‎(II)当时,求集合D(用区间表示);‎ ‎(III)在(II)的条件下,求函数在D内的极值点.‎ ‎【答案】解:(1) A= ‎ 当a=2时 B= ‎ 解不等式 得 或 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)不等式 令 ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎① 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎② 当 ‎ ‎ ‎ ‎③ 当 [来源:Z&xx&k.Com] ‎ ‎ [来源:学科网ZXXK] ‎ ‎(3) ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎ [来源:学。科。网]‎ 当 ‎ 当 ‎ ‎① 当时 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 [来源:学,科,网]‎ ‎ ‎ ‎② 当 [来源:Z+xx+k.Com] ‎ 此时 ‎ ‎③ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 此时 ‎ ‎ ‎ 又 [来源:学科网]‎ ‎ ‎ ‎,此时 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ 综上所述: ‎ 当 时,; ‎ 当 ,时; ‎ 当,; ‎ 当,﹒ ‎ ‎[来源:学_科_网]‎ ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知函数.‎ ‎(I)若,是否存在a,bR,y=f(x)为偶函数.如果存在.请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;‎ ‎〔II)若a=2,b=1.求函数在R上的单调区间;‎ ‎(III )对于给定的实数成立.求a的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)存在使为偶函数, ‎ 证明如下:此时:, ‎ ‎,为偶函数. ‎ ‎(注:也可以) ‎ ‎(Ⅱ)=, ‎ ‎①当时, [来源:学*科*网]‎ 在上为增函数. ‎ ‎②当时, ‎ 则,令得到, ‎ ‎(ⅰ)当时,在上为减函数. ‎ ‎(ⅱ) 当时,在上为增函数. ‎ 综上所述:的增区间为,减区间为. ‎ ‎(Ⅲ), ‎ ‎,成立. ‎ 即: ‎ ‎①当时,为增函数或常数函数,当时 ‎ ‎ ‎ ‎ 恒成立. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [来源:学科网]‎ ‎ ‎ 综上所述: ‎ ‎②当时,在[0,1]上为减函数, ‎ ‎ 恒成立. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述:(13分) ‎ 由①②得当时,; ‎ 当时,. ‎ ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知函数.‎ ‎(1)当a=1时,使不等式,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方,求实数a的取值范围.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知函数f(x)=-1,,其中e是自然对数的底,e=2.71828.‎ ‎(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;‎ ‎(2)求方程f(x)=g(x)根的个数,并说明理由;‎ ‎(3)若数列{}()满足为常数),,‎ 证明:存在常数M,使得对于任意,都有[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎【答案】解: ‎ ‎(1)由h(x)=f(x)-g(x)=-1-,得: ‎ h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2->0,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点. ‎ ‎(2)由(1)得:h(x)=-1- ‎ 由知,,而,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点. ‎ 解法1:-1,记-1,则. ‎ 当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点.有且只有两个零点. ‎ 所以,方程f(x)=g(x)根的个数为2. ‎ ‎(3)记的正零点为,即. ‎ ‎(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测:.下面用数学归纳法证明: ‎ ‎①当时,显然成立; ‎ ‎②假设当时,有成立,则当时,由 ‎ 知,,因此,当时,成立. ‎ 故对任意的,成立. ‎ ‎(2)当时,由(1)知,在上单调递增.则,即.从而,即,由此猜测:.下面用数学归纳法证明: ‎ ‎①当时,显然成立; ‎ ‎②假设当时,有成立,则当时,由 ‎ 知,,因此,当时,成立. ‎ 故对任意的,成立. ‎ 综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有. ‎ ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知函数,函数是函数的导函数.‎ ‎(1)若,求的单调减区间;‎ ‎(2)若对任意,且,都有,求实数的取值范围;‎ ‎(3)在第(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数,使得对任意时恒成立,求的最小值及相应的值.[来源:Z_xx_k.Com]‎ 茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷(理科 ‎【答案】解:(1)当时,, ‎ 由解得 ‎ 当时函数的单调减区间为; ‎ ‎(2)易知 ‎ 依题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为,所以,即实数的取值范围是 ; ‎ ‎(3)解法一:易知,. ‎ 显然,由(2)知抛物线的对称轴 ‎ ‎①当即时,且 ‎ 令解得 ‎ 此时取较大的根,即 ‎ ‎, ‎ ‎②当即时,且 ‎ 令解得 ‎ 此时取较小的根,即 ‎ ‎, 当且仅当时取等号 ‎ 由于,所以当时,取得最小值 ‎ 解法二:对任意时,“恒成立”等价于“且” ‎ 由(2)可知实数的取值范围是 ‎ 故的图象是开口向上,对称轴的抛物线 ‎ ‎①当时,在区间上单调递增, ‎ ‎∴, ‎ 要使最小,只需要 ‎ ‎ ‎ 若即时,无解 ‎ 若即时, ‎ 解得(舍去) 或 ‎ 故(当且仅当时取等号) ‎ ‎②当时,在区间上单调递减,在递增, ‎ 则, ‎ 要使最小,则即 ‎ ‎ ‎ 解得(舍去) ‎ 或(当且仅当时取等号) ‎ 综上所述,当时,的最小值为 ‎