2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（文科）试题 解析版

2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（文科）试题 解析版

绝密★启用前 湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文科）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列语句中哪个是命题（　　）‎ A． 张三是“霸中”学生啊！‎ B． 张三在八中学习快乐吗？‎ C． 张三可以考上清华大学 D． 张三高考数学成绩不超过 150 分 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的定义可以得到正确答案.‎ ‎【详解】‎ 命题是可以判断真假的语句，一般惊叹句，疑问句，祈使句都不是命题，所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的概念，属于容易题.‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A． 必要不充分条件 B． 充分不必要条件 C． 充要条件 D． 即不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】“”即为“”。所以当“”时“”成立，反之不一定成立。‎ 因此“”是“”的充分不必要条件。选B。‎ ‎3．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（ ）‎ A．∀x∉R，2x=5 ‎ B．∀x∈R，2x≠5‎ C．∃x0∈R，2=5 ‎ D．∃x0∈R，2≠5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．‎ 解：∵命题是全称命题，‎ ‎∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，‎ 故选：D．‎ 考点：全称命题；命题的否定．‎ ‎4．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于，所以到另一个焦点的距离为.‎ 考点：椭圆定义．‎ ‎5．函数f（x）=﹣x2+在x=1处的切线的斜率为（　　）‎ A． ﹣2 B． ﹣1 C． 0 D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义可知，求导后计算即可.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以 ，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣y+2=0垂直，则它的离心率为（　　）‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程知渐近线方程为，其中一条与直线x﹣y+2=0垂直，可知，即可计算离心率.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线可知渐近线方程为，‎ 且一条渐近线与直线x﹣y+2=0垂直，‎ 所以，‎ ‎，即.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的渐近线，离心率，属于中档题.‎ ‎7．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）‎ A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 3条 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点（0，1）作直线，可以有两条抛物线的切线有一个公共点，也可以过（0，1）作与抛物线对称轴平行的直线，也仅有一个公共点.‎ ‎【详解】‎ 因为（0，1）在抛物线外部，可以过该点作抛物线的两条切线，符合题意，‎ 过（0，1）作抛物线对称轴的平行线，也符合题意，‎ 因此，过（0，1有3条直线与抛物线仅有一个公共点.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.‎ ‎8．已知函数， 的导函数为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选 ‎9．P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设中点坐标为，则，因在椭圆上，故而可求的关系式即中点的方程.‎ 详解：中点坐标为，则，因在椭圆上，故，故选B.‎ 点睛：求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：‎ 几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；‎ 动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；‎ 参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.‎ ‎10．设是双曲线的两个焦点， 是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）‎ A． B． C． 6 D． 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线的定义，联立解得 ‎，由于，故为直角三角形，故面积为.‎ ‎11．设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则（　　）‎ A． 6 B． 4 C． 3 D． 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再根据，判断点是重心，进而求 的值，最后根据抛物线的定义求得答案.‎ ‎【详解】‎ 设,‎ 抛物线焦点坐标，准线方程 ‎ 因为 所以点是重心，故，‎ 而 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质，重心的性质，属于中档题.‎ ‎12．P为椭圆 上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（　　）‎ A． 直线PA1与PA2的斜率之和为定值 B． 直线PA1与PA2的斜率之和为定值2‎ C． 直线PA1与PA2的斜率之积为定值 D． 直线PA1与PA2的斜率之积为定值2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 验证直线PA1与PA2的斜率之积为定值即可.‎ ‎【详解】‎ 设 则即，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比的思想，双曲线的简单性质，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“若a＞2，则a2＞4”的逆否命题可表述为：_____．‎ ‎【答案】“若a2≤4，则a≤2”．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义即可写出.‎ ‎【详解】‎ 因为原命题为“若a＞2，则a2＞4”，‎ 所以逆否命题为“若a2≤4，则a≤2”.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的逆否命题，属于中档题.‎ ‎14．已经抛物线方程y2=4x，则其准线方程为_____．‎ ‎【答案】x=﹣1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的标准方程可知，写出其准线即可.‎ ‎【详解】‎ 由抛物线方程可知，‎ 所以准线方程为，故填.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的简单性质，属于中档题.‎ ‎15．函数f（x）=ax3+x+1在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，则a=_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，f（x）在x=1处的切线的斜率为4，根据导数的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为f（x）在x=1处的切线与直线4x﹣y+2=0平行，‎ 所以f（x）在x=1处的切线的斜率为4‎ 又，‎ 所以，解得，故填1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.‎ ‎16．已知椭圆C: 的左右焦点分别为， ,点P在椭圆C上，线段与圆： 相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 连接,‎ ‎ 由为中位线，可得 , ,‎ ‎ 圆，可得且，‎ 由椭圆的定义可得，可得，‎ 又，可得，‎ 即有，即为，‎ 化为，即，‎ ‎，即有，‎ 则，‎ 当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x+y=3有整数解．‎ ‎（Ⅰ）用符号“∀”与“∃”分别表示命题p和q；‎ ‎（Ⅱ）判断命题“（￢p）∧q”的真假，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）（￢p）∧q”为真.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据命题可知p是全称命题，q是存在性命题，即可用符号写出命题 （2）p为假命题，￢p真，q是真命题，故可判定（￢p）∧q”为真.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）命题p：∀x∈R，x2＞0，‎ 命题q：∃x0，y0∈Z，2x0+y0=3；‎ ‎（Ⅱ）p为假，则￢p为真，又q为真，‎ ‎∴“（￢p）∧q”为真．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含有量词的命题，复合命题真假的判定，属于中档题.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）求这个函数的导数；‎ ‎（2）求这个函数的图像在处的切线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用函数乘积的求导法则求导即可；‎ ‎（2）先求得在1处的导数值得切线斜率，进而得切线方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）;‎ ‎（2）切线斜率， ‎ 所以切线方程.‎ ‎19．设命题：对任意实数，不等式恒成立；命题:方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由不等式恒成，可得立 ，从而可得命题为真命题的的取值范围；（2）结合（1）所求的的取值范围，根据双曲线的定义求出为真时满足当，由是的充分条件，等价于，解不等式即可得结果.‎ 试题解析：（1）不等式恒成立 ，‎ 当时， 为真命题.‎ ‎（2）因为方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎ ，得； 当时， 为真命题.‎ ‎ 是的充分条件，‎ 综上， 的取值范围是.‎ ‎20．已知点A（﹣，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．‎ ‎（1）求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）点C的轨迹与经过点（2，0）且斜率为1的直线交于D、E两点，求线段DE的长．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的定义，先判断轨迹，再写出方程 （2）根据直线与双曲线相交，利用弦长公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵点A（﹣，0）和B（，0），‎ 动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．‎ ‎|AB|=2＞2，‎ ‎∴C的轨迹方程是以A（﹣，0）和B（，0）为焦点的双曲线，‎ 且a=1，c=，‎ ‎∴C的轨迹方程是 ‎（2）∵C的轨迹方程是2x2﹣y2=2，经过点（2，0）且斜率为1的直线方程为y=x﹣2．‎ ‎∴联立，得x2+4x﹣6=0，‎ 设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣6，‎ ‎∴|DE|=．‎ 故线段DE的长为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，弦长公式，属于中档题 ‎21．抛物线的顶点为坐标原点O，焦点F在轴正半轴上，准线与圆相切.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程； ‎ ‎（Ⅱ）已知直线和抛物线交于点，命题：“若直线过定点（0，1），则 ”，‎ 请判断命题的真假，并证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）命题P为真命题 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设抛物线C的方程为：x2=2py，p＞0，由已知条件得圆心（0，0）到直线l的距离，由此能求出抛物线线C的方程；（Ⅱ）设直线m：y=kx+1，交点A ，B 联立抛物线C的方程，得x2-4kx-4=0，△=16k2+16＞0恒成立，由此利用韦达定理能证明命题P为真命题 试题解析：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：，‎ 其准线的方程为：‎ ‎∵准线圆相切 ∴解得p=4‎ 故抛物线线C的方程为：………….…5分 ‎（Ⅱ）命题p为真命题 ……………………………………６分 直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），‎ 故所以直线m的斜率k一定存在，………………………7分 设直线m：，交点，，联立抛物线C的方程，‎ 得，恒成立，………8分 由韦达定理得………………………………………9分 ‎=‎ ‎∴命题P为真命题.………………………………………12分.‎ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 ‎22．已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知、是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.‎ ‎①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；‎ ‎②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值。‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由抛物线的焦点坐标可得，再结合离心率可求得，从而可得椭圆的方程．（2）①设直线方程为，，将直线方程与椭圆方程联立消元后可得，然后由四边形的特点得，根据函数的知识可得的最大值．②由可得直线的斜率之和为0，设的方程为，与椭圆方程联立消元后可得，同理，然后根据斜率公式求得直线AB的斜率验证即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得抛物线的焦点为，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）①由题意设直线方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线AB与椭圆交于两点，‎ ‎∴，解得．‎ 设，‎ 则，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取得最大，‎ 即四边形面积的最大值为．‎ ‎②当时，直线的斜率之和为0，‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为，‎ 故直线的方程为，‎ 由消去y整理得 ‎，‎ ‎∴，‎ 同理．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故直线的斜率为定值．‎ 点睛：‎ ‎（1）求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎（2）求最值问题的常用方法 根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．求解时常从以下几个方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎