高考数学专题复习：课时达标检测（八） 二次函数与幂函数

高考数学专题复习：课时达标检测（八） 二次函数与幂函数

课时达标检测（八） 二次函数与幂函数 [练基础小题——强化运算能力] 1．设α∈ －2，－1，－1 2 ，1 2 ，1，2 ，则使 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递 减的α的值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 A 由 f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又因为 f(x)＝xα为奇函数， 所以α只能取－1. 2．设 a＝ 2 3 1 3 ，b＝ 1 3 2 3 ，c＝ 1 3 1 3 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选 A ∵0<1 3<2 3<1，指数函数 y＝ 1 3 x 在 R 上单调递减，故 1 3 2 3 < 1 3 1 3 .又由于幂 函数 y＝x 1 3 在 R 上单调递增，故 2 3 1 3 > 1 3 1 3 ，∴ 1 3 2 3 < 1 3 1 3 < 2 3 1 3 ，即 b0 的解集为(－2,1)，则函数 y＝f(－x)的图象为 ( ) 解析：选 D ∵函数 f(x)＝ax2－x－c，且 f(x)>0 的解集为(－2,1)，∴－2,1 是方程 ax2 －x－c＝0 的两根，由根与系数的关系可得－2＋1＝1 a ，－2×1＝－c a ，∴a＝－1，c＝－2， ∴f(x)＝－x2－x＋2.∴函数 y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与 x 轴的交点坐 标为(－1,0)和(2,0)．故选 D. 4．二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，对称轴为 x＝3，与 y 轴交于点(0,3)．则它的 解析式为________． 解析：由题意知，可设二次函数的解析式为 y＝a(x－3)2，又图象与 y 轴交于点(0,3)， 所以 3＝9a，即 a＝1 3.所以 y＝1 3(x－3)2＝1 3x2－2x＋3. 答案：y＝1 3x2－2x＋3 5．若关于 x 的不等式 x2－4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立，则 m 的取值范围为________． 解析：只需要在 x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m 即可．因为函数 f(x)＝x2－4x 在(0,1]上为 减函数，所以当 x＝1 时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以 m≤－3. 答案：(－∞，－3] [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1．若幂函数 y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2 的图象不过原点，则 m 的取值是( ) A．－1≤m≤2 B．m＝1 或 m＝2 C．m＝2 D．m＝1 解析：选 B 由幂函数性质可知 m2－3m＋3＝1，∴m＝1 或 m＝2.又幂函数图象不过原 点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝1 或 m＝2. 2．若函数 f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线 x＝0 对称，则 f(x)的最大值是( ) A．－4 B．4 C．4 或－4 D．不存在 解析：选 B 依题意，函数 f(x)是偶函数，则 y＝x2＋ax－5 是偶函数，故 a＝0，则 f(x) ＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当 x2＝3 时，f(x)取最大值为 4. 3．已知函数 f(x)＝x2－m 是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是 ( ) A．f(m)f(0) D．f(m)与 f(0)大小不确定 解析：选 A 因为函数 f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得 m＝3 或－1.当 m ＝3 时，函数 f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当 m＝－1 时，函数 f(x)＝x3 在定 义域[－2,2]上单调递增，又 m<0，所以 f(m)0，b∈R，c∈R)． (1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1，F(x)＝ fx，x>0， －fx，x<0， 求 F(2)＋F(－2) 的值； (2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立，试求 b 的取值范围． 解：(1)由已知 c＝1，a－b＋c＝0，且－ b 2a ＝－1， 解得 a＝1，b＝2. ∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝ x＋12，x>0， －x＋12，x<0. ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8. (2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1 在(0,1]上恒成立， 即 b≤1 x －x 且 b≥－1 x －x 在(0,1]上恒成立． 又1 x －x 的最小值为 0，－1 x －x 的最大值为－2， ∴－2≤b≤0.故 b 的取值范围是[－2,0]．