高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型

高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型

第十二章概率与统计 ‎12.2古典概型与几何概型 专题1‎ 古典概型的概率 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,古典概型的概率,填空题,理13)从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动,其中甲、乙两人都被选中的概率是　　　　. ‎ 解析:所有的选法共有C‎10‎‎3‎=120种,其中甲、乙两人都被选中的选法有C‎8‎‎1‎=8种,‎ 故甲、乙两人都被选中的概率是‎8‎‎120‎‎=‎‎1‎‎15‎,‎ 故答案为‎1‎‎15‎.‎ 答案:‎‎1‎‎15‎ ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,古典概型的概率,选择题,理8)电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎180‎ B.‎1‎‎288‎ C.‎1‎‎360‎ D.‎‎1‎‎540‎ 解析:一天显示的时间总共有24×60=1 440种,和为23有09:59,19:58,18:59,19:49总共有4种,‎ 故所求概率为P=‎4‎‎1 440‎‎=‎‎1‎‎360‎.故选C.‎ 答案:C 专题2‎ 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)‎ ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),解答题,理19)一种智能手机电子阅读器,特别设置了一个“健康阅读”按钮,在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后,手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力.假设“健康阅读”按钮第一次按下后,出现蓝色背景与绿色背景的概率都是‎1‎‎2‎.从按钮第二次按下起,若前次出现蓝色背景,则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎;若前次出现绿色背景,则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为‎3‎‎5‎‎,‎‎2‎‎5‎.记第n(n∈N,n≥1)次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为Pn.‎ ‎(1)求P2的值;‎ ‎(2)当n∈N,n≥2时,试用Pn-1表示Pn;‎ ‎(3)求Pn关于n的表达式.数列.‎ 解:(1)若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景,则其概率为‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎3‎=‎‎1‎‎6‎;若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景,‎ 则其概率为‎1‎‎2‎‎×‎3‎‎5‎=‎‎3‎‎10‎.‎ 所以,所求的概率为P2=‎1‎‎6‎‎+‎3‎‎10‎=‎‎7‎‎15‎.‎ ‎(2)第n-1次按下按钮后出现蓝色背景的概率为Pn-1(n∈N,n≥2),‎ 则出现绿色背景的概率为1-Pn-1.‎ 若第n-1次、第n次按下按钮后均出现蓝色背景,则其概率为Pn-1×‎1‎‎3‎;‎ 若第n-1次、第n次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景,‎ 则其概率为(1-Pn-1)×‎3‎‎5‎;‎ 所以,Pn=‎1‎‎3‎Pn-1+‎3‎‎5‎(1-Pn-1)=-‎4‎‎15‎Pn-1+‎3‎‎5‎(其中n∈N,n≥2).‎ ‎(3)由(2)得,Pn-‎9‎‎19‎=-‎4‎‎15‎Pn-1‎‎-‎‎9‎‎19‎,‎ 即Pn‎-‎‎9‎‎19‎Pn-1‎‎-‎‎9‎‎19‎=-‎4‎‎15‎(其中n∈N,n≥2);‎ 所以,Pn‎-‎‎9‎‎19‎是首项为‎1‎‎38‎,公比为-‎4‎‎15‎的等比数列,‎ 所以,Pn-‎9‎‎19‎‎=‎1‎‎38‎·‎‎-‎‎4‎‎15‎n-1‎,‎ 即Pn=‎1‎‎38‎‎-‎‎4‎‎15‎n-1‎‎+‎‎9‎‎19‎(n∈N,n≥1). ‎ ‎12.4离散型随机变量的均值与方差 专题2‎ 离散型随机变量的均值与方差 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为‎1‎‎3‎‎,‎‎1‎‎4‎,p,且他们是否破译出密码互不影响,若三人中只有甲破译出密码的概率为‎1‎‎6‎.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)设在甲、乙、丙三人中破译出密码的总人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).‎ 解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A,B,C.‎ 由题意得,P(A)=‎1‎‎3‎,P(B)=‎1‎‎4‎,P(C)=p,且A,B,C相互独立,‎ ‎(1)设“三人中只有甲破译出密码”为事件D,则有 P(D)=P(A·B‎·‎C)=‎1‎‎3‎‎×‎‎3‎‎4‎×(1-p)=‎1-p‎4‎,‎ 所以‎1-p‎4‎‎=‎‎1‎‎6‎,解得p=‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,‎ 所以P(X=0)=‎1‎‎3‎,‎ P(X=1)=P(A·B‎·‎C)+P(A·B·C)+P(A‎·‎B·C)=‎1‎‎6‎‎+‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎2‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎9‎,‎ P(X=2)=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎+‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎+‎2‎‎3‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎=‎‎7‎‎36‎,‎ P(X=3)=P(A·B·C)=‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎=‎‎1‎‎36‎.‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎3‎ ‎4‎‎9‎ ‎7‎‎36‎ ‎1‎‎36‎ 所以EX=0×‎1‎‎3‎+1×‎4‎‎9‎+2×‎7‎‎36‎+3×‎1‎‎36‎‎=‎‎11‎‎12‎.‎ ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理20)为加快新能源汽车产业发展,推进节能减排,国家对消费者购买新能源汽车给予补贴,其中对纯电动乘用车补贴标准如下表:‎ 新能源汽车补贴标准 车辆类型 续驶里程R(千米)‎ ‎80≤R<150‎ ‎150≤R<250‎ R≥250‎ 纯电动乘用车 ‎3.5万元/辆 ‎5万元/辆 ‎6万元/辆 某校研究性学习小组,从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车,根据其续驶里程R(单次充电后能行驶的最大里程)作出了频率与频数的统计表:‎ 分组 频数 频率 ‎80≤R<150‎ ‎2‎ ‎0.2‎ ‎150≤R<250‎ ‎5‎ x R≥250‎ y z 合计 M ‎1‎ ‎(1)求x,y,z,M的值;‎ ‎(2)若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆,求选到的2辆车续驶里程都不低于150千米的概率;‎ ‎(3)若以频率作为概率,设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴,求X的分布列和数学期望EX.‎ 解:(1)由表格知‎2‎M=0.2,∴M=10,‎ ‎∴x=‎5‎‎10‎=0.5,y=10-2-5=3,‎ ‎∴z=‎3‎‎10‎=0.3.‎ ‎(2)设“从这10辆纯电动车中任选2辆,选到的2辆车的续驶里程都不低于150千米”为事件A,‎ 则P(A)=C‎8‎‎2‎C‎10‎‎2‎‎=‎‎28‎‎45‎.‎ ‎(3)X的可能取值为3.5,5,6,‎ P(X=3.5)=0.2,P(X=5)=0.5,P(X=6)=0.3,‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎3.5‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎∴EX=3.5×0.2+5×0.5+6×0.3=5.‎ ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任4位申请人中:‎ ‎(1)恰有2人申请A片区房源的概率;‎ ‎(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望.‎ 解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是4个人中,每一个人有3种选择,共有34种结果,‎ 满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源,共有C‎4‎‎2‎22,‎ ‎∴根据等可能事件的概率公式得到P=C‎4‎‎2‎‎2‎‎2‎‎3‎‎4‎‎=‎‎8‎‎27‎.‎ ‎(2)由题意知ξ的可能取值是1,2,3,‎ P(ξ=1)=‎3‎‎3‎‎4‎‎=‎‎1‎‎27‎,‎ P(ξ=2)=A‎3‎‎2‎C‎4‎‎3‎C‎1‎‎1‎‎+‎C‎4‎‎2‎C‎2‎‎2‎C‎3‎‎2‎‎3‎‎4‎‎=‎‎14‎‎27‎,‎ P(ξ=3)=C‎4‎‎2‎A‎3‎‎3‎‎3‎‎4‎‎=‎‎4‎‎9‎.‎ ‎∴ξ的分布列是:‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎27‎ ‎14‎‎27‎ ‎4‎‎9‎ ‎∴Eξ=1×‎1‎‎27‎+2×‎14‎‎27‎+3×‎4‎‎9‎‎=‎‎65‎‎27‎.‎ ‎12.5二项分布与正态分布 专题4‎ 正态分布下的概率 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,正态分布下的概率,填空题,理13)设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<-1)=P(ξ>1),P(ξ>2)=0.3,则P(-2<ξ<0)=　　　　. ‎ 解析:因为P(ξ<-1)=P(ξ>1),‎ 所以正态分布曲线关于y轴对称,‎ 又因为P(ξ>2)=0.3,所以P(-2<ξ<0)=‎1-2×0.3‎‎2‎=0.2,故答案为0.2.‎ 答案:0.2‎ ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,正态分布下的概率,填空题,理15)已知随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=‎1‎‎2‎,P(ξ>2)=0.4,则P(0<ξ<1)=　　　　　. ‎ 解析:∵随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴曲线关于x=1对称,‎ ‎∵P(ξ>2)=0.4,∴P(0<ξ<1)=0.1.‎ 故答案为0.1.‎ 答案:0.1‎