【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量与其他知识的综合问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量与其他知识的综合问题学案

专题7 平面向量与其他知识的综合问题 平面向量与其他知识的综合问题 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ 平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路 ‎(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合 此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．‎ ‎(2)向量的模与三角函数综合 此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．　‎ 平面向量与几何综合问题的求解方法 ‎(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．‎ ‎[例]　已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，‎ 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎1.(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1, 则AB的长为________．‎ ‎(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F 分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则 λ的值为________．‎ ‎[解析]　(1)设||＝x，x＞0，则·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.‎ ‎(2)由题意可得·＝||·||cos 120°＝2×2×＝－2，‎ 在菱形ABCD中，易知＝，＝，‎ 所以＝＋＝＋，‎ ‎＝＋＝＋，‎ ‎·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2.‎ ‎[答案]　(1)　(2)2‎ ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO―→＝(＋)，则与的夹角为________．‎ 解析：由AO―→＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.‎ 答案：90°‎ ‎3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.‎ ‎1.在△ABC中，“△ABC为直角三角形”是“·＝‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若△ABC为直角三角形，角B不一定为直角，即·不一定等于0，充分性不成立；若·＝0，则AB⊥BC，故角B为直角，即△ABC为直角三角形，必要性成立．故“△ABC为直角三角形”是“·＝‎0”‎的必要不充分条件．‎ ‎2.若非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为(　　)‎ A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 解析：选C　由·＝0知，角A的平分线与BC垂直，∴||＝||；由·＝知，cos A＝，∴A＝60°.∴△ABC为等边三角形．‎ ‎3.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则B＝________.‎ ‎4.已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求tan 2x的值；‎ ‎(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．‎ 解：(1)∵a∥b，‎ ‎∴sin x·(－1)－·cos x＝0，‎ 即sin x＋cos x＝0，tan x＝－，‎ ‎∴tan 2x＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sin xcos x－＋cos2x＋1‎ ‎＝sin 2x－＋cos 2x＋＋1＝sin.‎ ‎∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，‎ ‎∴－≤sin≤，‎ ‎∴f(x)在上的值域为.‎ ‎5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ 解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝2－2－·＝4－2＝2.‎ 答案：2‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎