安徽省安庆市安庆一中安师大附中铜陵一中2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

安徽省安庆市安庆一中安师大附中铜陵一中2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

‎2018-2019学年第二学期高二年级期末名校联考 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由分式不等式的解法求出集合,再由集合并集的运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由题得集合，所以，又集合，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了补集及集合的运算,属基础题.‎ ‎2.已知为虚数单位，复数，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的运算可得：，再由复数模的运算即可得解.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 即2.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的运算，属基础题.‎ ‎3.已知2016-2018年文科数学全国Ⅱ卷中各模块所占分值百分比大致如图所示：‎ 给出下列结论：‎ ‎①选修1-1所占分值比选修1-2小；‎ ‎②必修分值总和大于选修分值总和；‎ ‎③必修1分值大致为15分；‎ ‎④选修1-1的分值约占全部分值的.‎ 其中正确的是（ ）‎ A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对图表信息的分析、成立结合百分比逐一运算即可得解.‎ ‎【详解】解：对于①，选修1-1所占分值比为选修1-2所占分值比为即选修1-1所占分值比选修1-2大；‎ 对于②，必修分值总和为大于选修分值总和必修分值总和大于选修分值总和；‎ 对于③，必修1分值大致为150=15分；‎ 对于④，选修1-1的分值约占全部分值的=.‎ 即正确的是②③④，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了对图表信息的分析处理能力，属基础题.‎ ‎4.设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义有，即，，‎ 再结合题意运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由定义得，又，所以，.因为线段的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线平行于底边，得，所以，所以，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属中档题.‎ ‎5.如图在中，，动点，，分别在边，，上，四边形为矩形，剪去矩形后，将剩余部分绕所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意可知，将剩余部分绕所在直线旋转一周，所得组合体为三棱锥挖去一个棱柱，再求其表面积即可.‎ ‎【详解】解：设，，其中，由题易得，‎ 所以，则所求几何体的表面积为：‎ ‎，当且仅当，即时等号成立.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了空间组合体表面积的求法，属基础题.‎ ‎6.已知函数，则函数的图象在处的切线的斜率为（ ）‎ A. -21 B. -27 C. -24 D. -25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的运算可得：，‎ 再由导数的几何意义，即函数的图象在处的切线的斜率为，求解即可.‎ ‎【详解】由题得，所以，解得，所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了导数的运算及导数的几何意义，属基础题.‎ ‎7.如图，在梯形中，，，是中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量基本定理及线性运算可得：，得解.‎ ‎【详解】因为是中点，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属基础题.‎ ‎8.函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.‎ ‎【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为 ‎，由，‎ 得，当时，.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.‎ ‎9.已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形为平行四边形，轴，为边的中点，则平行四边形的面积为（ ）‎ A. 8 B. 16 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何体的三视图可得， ，再由斜二测画法求面积即可得解.‎ ‎【详解】解：由正视图与题意知，由侧视图与题意知，所以平行四边形的面积为.‎ 故选C.‎ 点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题.‎ ‎10.一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可设正方体的棱长为，则，求出， 再利用正方体的体积公式运算即可.‎ ‎【详解】解：圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面夹角为，所以，圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面半径和高均为，设正方体的棱长为，则，‎ 所以，‎ 所以正方体的体积为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体及正方体的体积公式，属基础题.‎ ‎11.已知双曲线的右焦点为，右顶点为，，两点在双曲线的右支上，为中点，为轴上一点，且.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意运算可得，即，运算可得解.‎ ‎【详解】解：设，由题意可知，轴，不妨令，（其中）.因为，所以，解得.‎ 由题易知，‎ 整理得，即，即，又，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率的取值范围的求法，属中档题.‎ ‎12.已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 关于的方程有两个不同的实数根等价于图象与直线有两个不同的交点，再作图像观察交点个数即可得解.‎ ‎【详解】解：作出图象，如图所示，由题意知函数的图象与直线有两个不同的交点，且直线恒过定点.‎ 当时，，则.设曲线在点处的切线过点 ‎，又曲线在点处的切线方程为，将代入上式，得，解得，所以，结合图象知当时，函数的图象与直线有两个不同的交点；‎ 当时，，则，设曲线在点处的切线过点，又曲线在点处的切线方程为，将代入上式，得，解得，所以，结合图象知当时，函数的图象与直线有两个不同的交点；‎ 设点，则，由图象知当时，方程也有两个不同的实数根.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的关系及数形结合的数学思想方法，属难题.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.，，，的夹角为，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量模的运算及数量积运算可得，‎ 再由向量的夹角公式运算可得解.‎ ‎【详解】解：，所以，‎ 设与的夹角为，‎ 则，‎ 又因，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了两向量的夹角，属基础题.‎ ‎14.设，满足约束条件，若目标函数的最大值与最小值分别为，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出不等式组表示的平面区域，再求目标函数的最值即可得解.‎ ‎【详解】解：，满足约束条件的可行域如图，由得；‎ 由得，将目标函数化为，由图可知，当直线经过点时目标函数取得最小值，所以；当直线经过点时目标函数取得最大值，所以，‎ 所以有.‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划，属基础题.‎ ‎15.已知点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，则当直线时，弦的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的切线段长的求法可得：，‎ 再由等面积法即可得解.‎ ‎【详解】解：如图连接，，.由题易知，，又，所以，则，易知，所以.‎ 由等面积法，得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的切线问题，属中档题.‎ ‎16.在中，角所对的边分别为，，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理可得：，再由三角形面积公式可得，，结合正弦定理运算即可得解.‎ ‎【详解】解：根据余弦定理，得（*）.‎ 因为，所以.‎ 代入（*）式得，所以，所以.‎ 又，‎ 所以，，，‎ 根据正弦定理，得，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理，及同角三角关系，属中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，，‎ ‎.‎ ‎（1）求角大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正余弦定理可得：，即；‎ ‎（2）由三角形的面积公式可得：，再结合余弦定理可得，得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题得，‎ 由正弦定理得，即，所以，‎ 又，所以.‎ ‎（2）由题得，所以，‎ 由（1）得，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了正余弦定理及三角形的面积公式，属中档题.‎ ‎18.已知数列前项和满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎（3）在（2）的情况下，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数列前项和及当时，，求数列通项即可；‎ ‎（2）先求数列的通项公式，再利用裂项求和法求数列的前项和即可.‎ ‎（3）由（2）求出即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）由题得当时，，‎ 当时，，‎ 当时，也符合上式，‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）得 所以 ‎；‎ ‎（3）由（2）得，‎ 当，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了数列通项公式的求法及裂项求和法，属中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，矩形，，，点在棱上.‎ ‎（1）若平面，证明：是的中点；‎ ‎（2）当为的中点时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面， 即.即为的中点，故为中点；‎ ‎（2）由等体积法运算可得解.‎ ‎【详解】解：（1）过点作交于点，连接，如图所示 则，所以四点共面.‎ 因为平面，又平面，‎ 所以.‎ 又，所以为的中点，‎ 所以为中点.‎ ‎（2）因为为中点，所以到平面的距离为点到平面的距离的，‎ 因为矩形，平面，所以.‎ 又，，平面，平面，所以平面，‎ 所以点到平面的距离为4，‎ 所以点到平面的距离为2.‎ 则 即三棱锥的体积为4.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直的性质及三棱锥的体积，属中档题.‎ ‎20.由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间（单位：）与检测效果的数据如下表所示.‎ 记题型时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 检测效果 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明（若，则认为与有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；‎ ‎（2）建立关于的回归方程，并预测该学生记题型的检测效果；‎ ‎（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率.‎ 参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，‎ ‎，相关系数 参考数据：，，，.‎ ‎【答案】（1），与有很强的线性相关关系.（2）关于的回归方程为，预测值为（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出相关系数即可得解；‎ ‎（2）由图表信息求出关于的回归方程；‎ ‎（3）先求出各种情况的基本事件的个数，再利用古典概型的概率求法，运算即可得解.‎ ‎【详解】（1）由题得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以与有很强的线性相关关系.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以，‎ 所以关于的回归方程为.‎ 当时，，‎ 所以预测该学生记题型的检测效果约为6.3.‎ ‎（3）由题知该学生检测效果不低于3.6的数据有5个，任取2个数据有，，，，，，，，，共10种情况，其中检测效果均高于4.4的有，，，共3种结果，‎ 故所求概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了变量间的相关性、回归方程及古典概型，属中档题.‎ ‎21.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，且.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线，分别交抛物线于，两点，若直线，的倾斜角互补，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义及两点的距离公式运算可得解；‎ ‎（2）由直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线方程，利用斜率公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）由题得，‎ 则，，‎ 因为，所以，①‎ 因为点在抛物线上，所以，即.②‎ 联立①②得，‎ 解得或（舍去），‎ 所以抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）由题知直线，的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设，，直线 由，‎ 得，‎ 则，‎ 又点在抛物线上，所以 同理得.‎ 则，，‎ ‎，‎ 所以 即直线的斜率为-1.‎ ‎【点睛】本题考查了曲线与方程及直线与抛物线的位置关系，属中档题.‎ ‎22.已知函数的极小值为.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：（其中为自然对数的底数）.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由函数的极小值为，求出，利用导数的应用，求函数单调区间即可；‎ ‎（2）不等式恒成立问题，通常采用最值法，方法一,令，可以证明，方法二,要证，即证 ‎，再构造函数证明即可得解.‎ ‎【详解】（1）由题得的定义域为，‎ ‎，‎ 令，解得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）方法一：要证，即证，‎ 令，则，‎ 当时，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 所以.‎ 由题知.‎ 因为，‎ 所以，即.‎ 方法二：由（1）知.‎ 解得，要证，即证.‎ 当时，易知.‎ 令，则.‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以，即.‎ 令，则，‎ 所以在区间内单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 则当时，‎ ‎，‎ 所以.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间及证明不等式，属综合性较强的题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎