2018-2019学年广东省化州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省化州市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省化州市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．集合，那么 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据并集定义计算．‎ ‎【详解】‎ 由题意．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的并集运算，属于基础题．‎ ‎2．己知x与y之间的几组数据如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎1‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ 则y与x的线性回归直线必过点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别求出均值即得．‎ ‎【详解】‎ ‎，，因此回归直线必过点．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点．‎ ‎3．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得．‎ ‎【详解】‎ 圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型，属于基础题．‎ ‎4．已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若＝2，S3＝12，则S4＝(　　)‎ A．10 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的前n项和公式，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 因为S3＝3＋d＝6＋3d＝12，解得d＝2，所以S4＝4＋ d＝20.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题.‎ ‎5．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（ ）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.‎ ‎【考点】三角形的面积公式.‎ ‎6．设，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不难发现从而可得 ‎【详解】‎ ‎,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．‎ ‎7．已知函数，则f（1）- f（9）=（　 　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．6 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，，所以，故选.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.‎ ‎8．设，函数在区间上是增函数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用二次函数的性质，配方后可得，由函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 函数在区间上是增函数，‎ 所以 .故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．‎ ‎9．己知，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先用诱导公式，再由二倍角余弦公式可求．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式．三角函数的公式较多，要根据题意选取恰当的公式才能做到事半功倍，为此常常研究“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用的公式．‎ ‎10．函数的零点有两个，求实数的取值范围（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：‎ 故有或，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .‎ ‎11．设函数的图象为，则下列结论正确的是（ ）‎ A．函数的最小正周期是 B．图象关于直线对称 C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在区间上是增函数 ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的周期判断A的正误；通过x=函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误, 利用函数的单调区间判断D的正误．‎ ‎【详解】‎ 对于A，f（x）的最小正周期为π,判断A错误；‎ 对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1，∴选项B正确；‎ 对于C，把的图象向左平移个单位，得到函数sin[2（x+）]=sin(2x+，∴选项C不正确．‎ 对于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒为增函数，∴选项D错误； ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．‎ 二、多选题 ‎12．若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ）‎ A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”‎ C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．‎ ‎【详解】‎ 排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．‎ 故选BCD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件．‎ ‎13．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．与均为的最大值 ‎【答案】ABD ‎【解析】根据前项和的定义进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎，则，，则，则，，．，∴，‎ 由知是中的最大值．‎ 从而ABD均正确．‎ 故选ABD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前项和，考查前项和的性质．解题时直接从前项和的定义寻找结论，这是一种最基本的方法，简单而实用．‎ 三、填空题 ‎14．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】利用分层抽样的定义求解.‎ ‎【详解】‎ 设从高一年级的学生中抽取x名，由分层抽样的知识可知，解得x＝6.‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．设a＞0，b＞0，若是与3b的等比中项，则的最小值是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知, 是与的等比中项，则 ‎ 则 ‎ ，当且仅当时等号成立 故答案为2‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．‎ ‎16．设函数的部分图象如图所示，则的表达式______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据图象的最高点得到，由图象得到，故得，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到，进而可得函数的解析式．‎ ‎【详解】‎ 由图象可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又点在函数的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 已知图象确定函数解析式的方法 ‎（1）由图象直接得到，即最高点的纵坐标．‎ ‎（2）由图象得到函数的周期，进而得到的值．‎ ‎（3）的确定方法有两种．‎ ‎①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出的值；‎ ‎②运用“五点法”求解，即由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令，)确定．‎ ‎17．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中，由余弦定理可得，∵ ，∴ ，化简可得 ．∵，∴，解得 （当且仅当 时，取等号）．故 ．再由任意两边之和大于第三边可得 ，故有 ，故的周长的取值范围是，故答案为．‎ 点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得 ，由此求得△ABC的周长的取值范围．‎ 四、解答题 ‎18．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．‎ ‎（1）求cos∠C的值；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值．‎ ‎（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，BC=7，AB=3，∠A=60°．‎ ‎∴由正弦定理可得：sinC= ‎ ‎∵BC＞AB，∴C为锐角，∴cosC===， ‎ ‎（2）因为A+B+C=π，A=60°，‎ ‎∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+=， ‎ ‎∴S△ABC=BC•AB•sinB=．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎19．已知数列满足：，‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，数列的前n项和，求证：‎ ‎【答案】(1) ； ；(2) (3)见证明；‎ ‎【解析】（1）令可求得；‎ ‎（2）在已知等式基础上，用代得另一等式，然后相减，可求得，并检验一下是否适合此表达式；‎ ‎（3）用裂项相消法求和．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知得 ‎，∴ ‎ ‎(2)由，①得 时，，②‎ ‎①-②得 ‎∴，‎ 也适合此式，‎ ‎∴（）．‎ ‎（3）由（2）得，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和．求通项公式时的方法与已知求的方法一样，本题就相当于已知数列的前项和，要求．注意首项求法的区别．‎ ‎20．某家具厂有方木料90，五合板600，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l，五合板2，生产每个书橱而要方木料0.2，五合板1，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.‎ ‎（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？‎ ‎（2）怎样安排生产可使所得利润最大？‎ ‎【答案】(1) 只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2) 生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大 ‎【解析】（1）设只生产书桌x个，可获得利润z元，则，由此可得最大值；‎ ‎（2）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．‎ 则 ，，由线性规划知识可求得的最大值．即作可行域，作直线，平移此直线得最优解．‎ ‎【详解】‎ 由题意可画表格如下：‎ 方木料（）‎ 五合板（）‎ 利润（元）‎ 书桌（个）‎ ‎0.1‎ ‎2‎ ‎80‎ 书橱（个）‎ ‎0.2‎ ‎1‎ ‎120‎ ‎ (1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，‎ 则， ∴ ∴ ‎ 所以当时，(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元 ‎(2)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．‎ 则 ，∴‎ 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域 作直线，即直线．‎ 把直线l向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M，‎ 此时取得最大值 由解得点M的坐标为.‎ ‎∴当，时，(元)．‎ 因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大 所以当，时，．‎ 因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划的实际应用，解题时需根据已知条件设出变量，列出二元一次不等式组表示的约束条件，列出目标函数，然后由解决线性规划的方法求最优解．‎ ‎21．设函数，其中向量，．‎ ‎（1）求函数的最小正周期与单调递减区间；‎ ‎（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，求外接圆半径．‎ ‎【答案】（1），的单调递减区间是；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）用坐标表示向量条件，代入函数解析式中，运用向量的坐标运算法则求出函数解析式并应用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式，由三角函数的性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将条件代入函数解析式可求出角，由三角形面积公式 求出边，再由余弦定理求出边，再由正弦定理可求外接圆半径．‎ 试题解析：（1）由题意得：．‎ 所以，函数的最小正周期为，由得 函数的单调递减区间是 ‎（2），解得，‎ 又的面积为．得．‎ 再由余弦定理，解得 ‎，即△为直角三角形．‎ ‎【考点】1．向量坐标运算；2．三角函数图象与性质；3．正弦定理与余弦定理．‎ ‎22．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）‎ ‎【解析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；‎ ‎（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；‎ ‎（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，‎ 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，‎ 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，‎ 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).‎ ‎(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.‎ ‎(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：‎ ‎，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：‎ ‎，共9种.‎ 所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.‎ ‎23．已知函数 ‎（1）若，求函数的零点；‎ ‎（2）若在恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）设函数，解不等式.‎ ‎【答案】(1)1；(2) (3)见解析 ‎【解析】（1）解方程可得零点；‎ ‎（2）恒成立，可分离参数得，这样只要求得在上的最大值即可；‎ ‎（3）注意到的定义域，不等式等价于，这样可根据与0，1的大小关系分类讨论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时， ‎ 令得，，∵，∴函数的零点是1‎ ‎（2）在恒成立，即在恒成立， ‎ 分离参数得：， ‎ ‎∵，∴ ‎ 从而有：.‎ ‎（3） ‎ 令，得，，‎ 因为函数的定义域为，所以等价于 ‎ ‎（1）当，即时，恒成立，原不等式的解集是 ‎ ‎（2）当，即时，原不等式的解集是 ‎ ‎（3）当，即时，原不等式的解集是 ‎ ‎（4）当，即时，原不等式的解集是 综上所述：当时，原不等式的解集是 当时，原不等式的解集是 ‎ 当时，原不等式的解集是 ‎ 当时，原不等式的解集是 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点，考查不等式恒成立问题，考查解含参数的一元二次不等式．其中不等式恒成立问题可采用参数法转化为求函数的最值问题，而解一元二次不等式，必须对参数分类讨论，解题关键是确定分类标准．解一元二次不等式的分类标准有三个方面：一是二次的系数正负或者为0问题，二是一元二次方程的判别式的正负或0的问题，三是一元二次方程两根的大小关系．‎