【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第19讲三角函数的图像与性质学案

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第19讲三角函数的图像与性质学案

第19讲　三角函数的图像与性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)‎ 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图像 定义域 R R x‎　‎‎　‎x∈R,且x≠‎ kπ+π‎2‎,k∈Z 值域 ‎　　　 ‎ ‎　　　 ‎ ‎　　　 ‎ 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 ‎　　　 ‎ ‎　　　 ‎ 奇函数 单调性 ‎2kπ-π‎2‎,2kπ+π‎2‎上为增函数;　　　　　　　上为减函数 ‎ ‎[2kπ,2kπ+π]上为减函数;　　　　　　上为增函数 ‎ kπ-π‎2‎,kπ+π‎2‎上为增函数 对称 中心 ‎　　　　 ‎ kπ+π‎2‎,0‎ kπ‎2‎‎,0‎ 对称轴 x=kπ+‎π‎2‎ ‎　　　　 ‎ 无 常用结论 ‎1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=‎2π‎|ω|‎,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=π‎|ω|‎.‎ ‎2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是‎1‎‎4‎周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.‎ ‎3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 若函数y=Asin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是　　　　. ‎ ‎3.[教材改编] 函数y=2cos x在[-π,0]上是　　　　函数,在[0,π]上是　　　　函数. ‎ ‎4.[教材改编] 函数f(x)=tanx-1‎的定义域为　　　　　　　. ‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:忽视y=Asin x(或y=Acos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.‎ ‎5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是　　　　　　　. ‎ ‎6.函数y=cos xtan x的值域是　　　　　. ‎ ‎7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为 　　　　. ‎ ‎8.函数y=tanx+‎π‎4‎图像的对称中心是　　　　　　. ‎ 探究点一　三角函数的定义域 例1 (1)函数f(x)=‎2-log‎2‎x+tanx+‎π‎3‎的定义域为　　　　　　　　　. ‎ ‎(2)函数y=ln(2cos x+1)+sinx的定义域为　　　　　　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.‎ 变式题 (1)函数y=sinx-cosx的定义域为　　　　　　　　　. ‎ ‎(2)函数f(x)=sinx-1‎‎3‎‎+2sinx的定义域是　　　　　　　　　. ‎ 探究点二　三角函数的值域或最值 例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是　　　　. ‎ ‎(2)[2018·沧州质检] 已知x∈‎-π‎4‎,‎π‎6‎,则函数f(x)=2cos xsinx+π‎3‎-‎3‎sin2x+sin xcos x的最大值与最小值之和为　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:‎ ‎①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);‎ ‎②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);‎ ‎③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).‎ 变式题 (1)函数f(x)=sinx-‎π‎4‎-cosx-‎π‎4‎的最大值为 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2 B.‎2‎ ‎ C.2‎2‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎(2)函数y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是　　　　　　. ‎ 探究点三　三角函数性质的有关问题 微点1　三角函数的周期性 例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos‎2x+‎π‎6‎,④y=tan‎2x-‎π‎4‎中,最小正周期为π的所有函数为 (　　)‎ A.①②③ B.①③④‎ C.②④ D.①③‎ ‎(2)若函数f(x)=1+asinax+π‎6‎(a>0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=‎2π‎|ω|‎,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=π‎|ω|‎;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.‎ 微点2　三角函数的对称性 例4 (1)[2018·广西贺州联考] 若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f(x)=‎1‎‎2‎x2-x互为同轴函数的是(　　)‎ A.g(x)=cos(2x-1) B.g(x)=sin πx C.g(x)=tan x D.g(x)=cos πx ‎(2)[2018·重庆合川区三模] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎的图像关于直线x=π‎3‎对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)的图像的一个对称中心是(　　)‎ A.π‎3‎‎,0‎ B.‎π‎12‎‎,0‎ C.‎5π‎12‎‎,0‎ D.‎‎-π‎12‎,0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.‎ ‎(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=a与x=b,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则最小正周期T=4|b-a|.‎ 微点3　三角函数的单调性 例5 (1)[2018·乌鲁木齐一检] 已知π‎3‎为函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π‎2‎的一个零点,则函数f(x)的单调递增区间是 (　　)‎ A.‎2kπ-‎5π‎12‎,2kπ+‎π‎12‎(k∈Z) ‎ B.‎2kπ+π‎12‎,2kπ+‎‎7π‎12‎(k∈Z)‎ C.kπ-‎5π‎12‎,kπ+‎π‎12‎(k∈Z)‎ D.kπ+π‎12‎,kπ+‎‎7π‎12‎(k∈Z)‎ ‎(2)[2018·合肥一中月考] 已知ω>0,函数f(x)=cosωx+π‎3‎在π‎3‎‎,‎π‎2‎上单调递增,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎2‎‎3‎‎,‎‎10‎‎3‎ B.‎‎2‎‎3‎‎,‎‎10‎‎3‎ C.‎2,‎‎10‎‎3‎ D.‎‎2,‎‎10‎‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.‎ 应用演练 ‎1.【微点3】[2018·西安八校联考] 已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π‎3‎处取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是 (　　)‎ A.π‎3‎‎,π B.‎π‎3‎‎,‎‎2π‎3‎ C.‎0,‎‎2π‎3‎ D.‎‎2π‎3‎‎,π ‎2.【微点3】[2018·浙江余姚中学月考] 设f(x)=cos x,若a=f(ln 2),b=f(ln π),c=fln‎1‎‎3‎,则下列关系式正确的是 (　　)‎ A.a>b>c ‎ B.b>c>a C.a>c>b ‎ D.b>a>c ‎3.【微点2】[2019·九江一中月考] 已知函数f(x)=Asinωx+‎π‎6‎的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是 (　　)‎ A.x=1 B.x=‎1‎‎4‎ ‎ C.x=‎2‎‎3‎ D.x=-1‎ ‎4.【微点1】[2018·上海金山区二模] 函数y=3sin2x+π‎3‎的最小正周期T=　　　　. ‎ 第19讲　三角函数的图像与性质 考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.‎ ‎2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间-π‎2‎,π‎2‎内的单调性.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.[-1,1]　[-1,1]　R　奇函数　偶函数　2kπ+π‎2‎,2kπ+‎3π‎2‎　[2kπ-π,2kπ]　(kπ,0)　x=kπ 对点演练 ‎1.π　[解析] 最小正周期T=‎2πω=‎2π‎2‎=π.‎ ‎2.-1　[解析] 依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.‎ ‎3.增　减　[解析] 由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.‎ ‎4.π‎4‎‎+kπ,π‎2‎+kπ(k∈Z)　[解析] 由题意知tan x≥1,所以π‎4‎+kπ≤x<π‎2‎+kπ(k∈Z).‎ ‎5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[解析] 函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,即为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).‎ ‎6.(-1,1)　[解析] ∵x≠π‎2‎+kπ(k∈Z),y=cos xtan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函数y=cos xtan x的值域是(-1,1).‎ ‎7.1　[解析] 设t=cos x,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-‎3‎‎2‎2+‎5‎‎4‎,当t=1时,函数取得最大值1.‎ ‎8.kπ‎2‎‎-π‎4‎,0‎(k∈Z)　[解析] 由x+π‎4‎=kπ‎2‎(k∈Z),得x=kπ‎2‎-π‎4‎(k∈Z),所以函数y=tanx+‎π‎4‎图像的对称中心为kπ‎2‎‎-π‎4‎,0‎(k∈Z).‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨] 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x的不等式组求解.‎ ‎(1)x00,‎sinx≥0,‎即cosx>-‎1‎‎2‎,‎sinx≥0,‎解得‎2kπ-‎2π‎3‎0,即sin x>-‎3‎‎2‎,结合函数y=sin x的图像(图略),可得函数f(x)的定义域为x2kπ-π‎3‎0)的最大值为1+a,∴1+a=3,∴a=2,‎ 因此f(x)的最小正周期为‎2πa=π.‎ 例4　[思路点拨] (1)函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出ω=2,再由图像关于直线x=π‎3‎对称,求得φ=-π‎6‎,进而可求得f(x)的图像的对称中心.‎ ‎(1)D　(2)B　[解析] (1)易知f(x)=‎1‎‎2‎x2-x的图像关于直线x=1对称.对于选项A,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=‎1‎‎2‎+kπ‎2‎(k∈Z);对于选项B,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=‎1‎‎2‎+k(k∈Z);对于选项C,函数g(x)的 图像不存在对称轴;对于选项D,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k(k∈Z),当k=1时,其中有一条对称轴为直线x=1,符合题意.故选D.‎ ‎(2)由题意可得‎2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=Asin(2x+φ).‎ ‎∵函数f(x)的图像关于直线x=π‎3‎对称,∴fπ‎3‎=Asin‎2π‎3‎‎+φ=±A,即sin‎2π‎3‎‎+φ=±1.∵|φ|<π‎2‎,∴φ=-π‎6‎,故函数f(x)=Asin‎2x-‎π‎6‎.令2x-π‎6‎=kπ,k∈Z,可得x=kπ‎2‎+π‎12‎,k∈Z,故函数f(x)的图像的对称中心为kπ‎2‎+π‎12‎,0,k∈Z.结合选项可知, ‎ 函数f(x)的图像的一个对称中心是π‎12‎‎,0‎.故选B.‎ 例5　[思路点拨] (1)由条件求出φ,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f(x)的单调递增区间,由π‎3‎‎,‎π‎2‎是所求单调递增区间的子集得出ω的取值范围.‎ ‎(1)C　(2)C　[解析] (1)∵π‎3‎为函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π‎2‎的一个零点,‎ ‎∴fπ‎3‎=sin‎2π‎3‎‎+φ=0,‎ ‎∴‎2π‎3‎+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-‎2π‎3‎(k∈Z).‎ ‎∵0<φ<π‎2‎,∴φ=π‎3‎,‎ ‎∴f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎,令-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎3‎≤π‎2‎+2kπ(k∈Z),则kπ-‎5π‎12‎≤x≤kπ+π‎12‎(k∈Z),‎ 故选C.‎ ‎(2)令2kπ-π≤ωx+π‎3‎≤2kπ,k∈Z,∵ω>0,∴‎2kπω-‎4π‎3ω≤x≤‎2kπω-π‎3ω,k∈Z,‎ ‎∴函数f(x)=cosωx+‎π‎3‎的单调递增区间为‎2kπω‎-‎4π‎3ω,‎2kπω-‎π‎3ω,k∈Z.‎ ‎∵f(x)在π‎3‎‎,‎π‎2‎上单调递增,‎ ‎∴π‎2‎‎≤‎2kπω-π‎3ω,‎π‎3‎‎≥‎2kπω-‎4π‎3ω,‎k∈Z,‎ 解得6k-4≤ω≤4k-‎2‎‎3‎,k∈Z.由题意知,π‎2‎-π‎3‎≤‎1‎‎2‎×‎2πω,∴0<ω≤6,∴2≤ω≤‎10‎‎3‎.‎ 应用演练 ‎1.A　[解析] ∵函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π‎3‎处取得最小值,∴cosπ‎3‎‎+θ=-1,∴π‎3‎+θ=π+2kπ,k∈Z,又∵0<θ<π,∴θ=‎2π‎3‎,即f(x)=cosx+‎‎2π‎3‎.令-π+2kπ≤x+‎2π‎3‎≤2kπ,k∈Z,解得-‎5π‎3‎+2kπ≤x≤-‎2π‎3‎+2kπ,k∈Z,又∵x∈[0,π],∴k=1,∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间是π‎3‎‎,π,故选A.‎ ‎2.C　[解析] 因为函数f(x)=cos x是偶函数,所以c=fln‎1‎‎3‎=f(ln 3).因为0f(ln 3)>f(ln π),即a>c>b.故选C.‎ ‎3.C　[解析] 由题可知,函数的最小正周期T=2×2=4,所以ω=‎2π‎4‎=π‎2‎.令π‎2‎x+π‎6‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,解得x=2k+‎2‎‎3‎,k∈Z,结合选项可知,x=‎2‎‎3‎满足条件.故选C.‎ ‎4.π　[解析] 易知T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以及三角函数的知识,是较好的综合题;例4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查.‎ 例1　[配合例2使用] 已知函数f(x)=1+4cos x-4sin2x,x∈-π‎4‎,‎2π‎3‎,则f(x)的值域为　　　　. ‎ ‎[答案] [-4,5]‎ ‎[解析] f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4cosx+‎‎1‎‎2‎‎2‎-4,因为x∈‎-π‎4‎,‎‎2π‎3‎,所以cos x∈‎-‎1‎‎2‎,1‎,所以4cosx+‎‎1‎‎2‎‎2‎-4∈[-4,5],故函数f(x)的值域为[-4,5].‎ 例2　[配合例2使用] 若函数f(x)=sinωx+‎π‎6‎(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取值范围是 (　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎12‎∪‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ B.‎0,‎‎1‎‎6‎∪‎‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎ ‎[解析] B　由正弦函数的单调性可知,函数y=sin x的单调区间为kπ+π‎2‎,kπ+‎3π‎2‎,k∈Z.‎ 由kπ+π‎2‎≤ωx+π‎6‎≤kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ+‎π‎3‎ω≤x≤kπ+‎‎4π‎3‎ω,k∈Z.‎ ‎∵函数f(x)=sinωx+‎π‎6‎(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,‎ ‎∴函数f(x)在区间(π,2π)内单调,‎ ‎∴(π,2π)⊆kπ+‎π‎3‎ω‎,‎kπ+‎‎4π‎3‎ω,k∈Z,‎ 即kπ+‎π‎3‎ω‎≤π,‎kπ+‎‎4π‎3‎ω‎≥2π,‎k∈Z,解得k+‎1‎‎3‎≤ω≤k‎2‎+‎2‎‎3‎,k∈Z.‎ 由k+‎1‎‎3‎0,故0<ω≤‎1‎‎6‎.‎ 综上得,ω的取值范围是‎0,‎‎1‎‎6‎∪‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎.‎ 故选B.‎ 例3　[配合例4使用] [2018·豫西南示范性高中联考] 已知定义在R上的函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,若α,β是钝角三角形中的两个锐角,则f(sin α)和f(cos β)的大小关系为 (　　)‎ A.f(sin α)>f(cos β) B.f(sin α)

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