2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练13

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练13

小题专项训练13　数　列 一、选择题 ‎1．已知等比数列{an}中，a2＝1，a6＝4，则a3a4a5＝(　　)‎ A．8　 B．±8　　‎ C．16　 D．－16‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的性质可知a2a6＝a＝4，而a2，a4，a6同号，所以a4＝2，则a3a4a5＝a＝8.‎ ‎2．(2019年北京丰台区二模)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a2＝2，S9＝9，则a8＝(　　)‎ A．　 B．　　‎ C．0　 D．－ ‎【答案】C ‎【解析】设{an}的公差为d，则解得d＝－，a1＝，所以a8＝a1＋7d＝0.‎ ‎3．(2019年湖南邵阳模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)‎ A．29　　 B．31　　‎ C．33　 D．36‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a2a3＝2a1，所以aq3＝2a1①.因为a4与2a7的等差中项为，所以a4＋2a7＝，即a1q3＋2a1q6＝②.联立①②解得a1＝16，q＝，所以S5＝＝31.‎ ‎4．已知等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】可举例a1＝－1，q＝，得数列的前几项依次为－1，－，－，…，显然不是递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{an}为递减数列”；可举例等比数列－1，－2，－4，－8，…，显然为递减数列，但其公比q＝2，不满足0＜q＜1.故选D．‎ ‎5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天？”在这个问题中，第5天应发大米(　　)‎ A．894升　 B．1 170升　　‎ C．1 275升　 D．1 467升 ‎【答案】B ‎【解析】由题意知每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升．‎ ‎6．(2019年湖南岳阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 019＝(　　)‎ A．2 018　 B．2 019　　‎ C．4 036　 D．4 038‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵a1＝1，Sn＝，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，即＝.‎ ‎∴＝＝…＝＝1.∴an＝n.∴a2 019＝2 019.‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2，Sn，an成等差数列，则S17＝(　　)‎ A．0　　 B．－2　　　　 ‎ C．2　　 D．34‎ ‎【答案】C ‎【解析】由2，Sn，an成等差数列，得2Sn＝an＋2，①　即2Sn＋1＝an＋1＋2.②　②－①，整理得＝－1.又2a1＝a1＋2，∴a1＝2.∴数列{an}是首项为2，公比为－1的等比数列，∴S17＝＝2.‎ ‎8．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是(　　)‎ A．2 017　 B．2 018　　　　　　　 　　‎ C．4 034　　　　 D．4 035‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，∴d＜0，a2 017＞0，a2 018＜0，∴S4 034‎ ‎＝＝＞0，S4 035＝＝4 035a2 018＜0，∴使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 034.‎ ‎9．(2019年江西南昌二模)数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)‎ A．－5　　　　　 B．10　　　‎ C．15　 D．20‎ ‎【答案】D ‎【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3n－3＝4n－5.a1＝S1＝－1适合上式，所以an＝4n－5.所以ap－aq＝4(p－q)．因为p－q＝5，所以ap－aq＝20.‎ ‎10．已知数列{an}中，a1＝a，an＋1＝3an＋8n＋6，若{an}为递增数列，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－7，＋∞)　 B．(－5，＋∞)‎ C．(3,7)　 D．(5,7)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由an＋1＝3an＋8n＋6，得an＋1＋4(n＋1)＋5＝3(an＋4n＋5)，即＝3，∴数列{an＋4n＋5}是首项为a＋9，公比为3的等比数列．∴an＋4n＋5＝(a＋9)3n－1，即an＝(a＋9)3n－1－4n－5.∴an＋1＝(a＋9)3n－4n－9.∵数列{an}为递增数列，∴an＋1>an，即(a＋9)3n－4n－9>(a＋9)·3n－1－4n－5，即(a＋9)3n>6恒成立．∵n∈N*，‎ ‎∴a＋9>＝2恒成立，解得a>－7.故选A．‎ ‎11．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－的最大值与最小值的比值为(　　)‎ A．－　 B．－　　　　 ‎ C．　 D． ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，Sn＝＝1－n.当n为奇数时，Sn＝1＋n，n≥1，则有1＜Sn≤；当n为偶数时，Sn＝1－n，n≥2，则有≤Sn＜1.∴≤Sn≤，且Sn≠1.设Sn＝t，f(t)＝Sn－＝t－，则f′(t)＝1＋＞0，∴f(t)在区间和上都是增函数，∴Sn－的最大值为f＝，最小值为f＝－，则Sn－的最大值与最小值的比值为－.‎ ‎12．已知函数f(x)＝把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列{an}，则该数列的通项公式为(　　)‎ A．an＝　 B．an＝n－1‎ ‎ C．an＝(n－1)2　 D．an＝2n－2‎ ‎【答案】B ‎【解析】当x≤0时，令f(x)＝x，即2x－1＝x，解得x＝0；当0＜x≤1时，令f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－1)＝x－1，故x－1＝0，解得x＝1；当n－1＜x≤n时，令f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－2)＋2＝x，即f(x－3)＋3＝x，…，即f(x－n)＋n＝x，即f(x－n)＝x－n，故x－n＝0，解得x＝n.故g(x)＝f(x)－x的零点为0,1,2,3,4,5，…，n－1，…，所以其通项公式为an＝n－1.故选B．‎ 二、填空题 ‎13．设公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，a4＋5是a2＋5和a8＋5的等比中项，则a10＝________.‎ ‎【答案】75‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，由已知可得(a4＋5)2＝(a2＋5)(a8＋5)，∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)．∵d≠0，∴d＝8，∴a10＝a1＋9d＝75.‎ ‎14．(2019年江苏无锡一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设公比为q，当q＝1时显然不符合题意，则由题意得得a1q＝8，q3＝－，∴a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×＝2.‎ ‎15．(2019年陕西西安一模)已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－4成立的最小自然数n的值为________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】因为an＝log2，所以Sn＝log2＋log2＋log2＋…＋log2＝log2＝log2.若Sn<－4，则<，即n>15，则使Sn<－4成立的最小自然数n的值为16.‎ ‎16．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则a3＝________，S1＋S2＋…＋S100＝________.‎ ‎【答案】－　 ‎【解析】由已知得S3＝－a3－，S4＝a4－，两式相减，得a4＝a4＋a3－＋，∴a3＝－＝－.已知Sn＝(－1)nan－，①当n为奇数时，两式相减，得an＋1＝an＋1＋an＋，∴an＝－；②当n为偶数时，两式相减，得an＋1＝－an＋1－an＋，即an＝－2an＋1＋＝.综上，an＝∴Sn＝ ‎∴S1＋S2＋…＋S100＝－＝－＝.‎