2018届二轮复习8-4直线、平面平行的判定与性质课件（全国通用）

2018届二轮复习8-4直线、平面平行的判定与性质课件（全国通用）

8 . 4 　 直线、平面平行的判定与性质 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 直线与平面平行的判定与性质 a ∩ α = ⌀ a ⊂ α , b ⊄ α , b ∥ a a ∥ α a ∥ α , a ⊂ β , α ∩ β =b a ∩ α = ⌀ a ∥ b - 4 - 知识梳理 考点自测 2 . 面面平行的判定与性质 α ∩ β = ⌀ a ⊂ β , b ⊂ β , a ∩ b=P , a ∥ α , b ∥ α α ∥ β , α ∩ γ =a , β ∩ γ =b - 5 - 知识梳理 考点自测 1 . 平面与平面平行的三个性质 (1) 两个平面平行 , 其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 . (2) 夹在两个平行平面间的平行线段长度相等 . (3) 两条直线被三个平行平面所截 , 截得的对应线段成比例 . 2 . 判断两个平面平行的三个结论 (1) 垂直于同一条直线的两个平面平行 . (2) 平行于同一平面的两个平面平行 . (3) 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线 , 那么这两个平面平行 . - 6 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 若一条直线平行于一个平面内的一条直线 , 则这条直线平行于这个平面 . ( 　　 ) (2) 若一条直线平行于一个平面 , 则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 . ( 　　 ) (3) 若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行 , 则 a ∥ α . ( 　　 ) (4) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 , 那么这两个平面平行 . ( 　　 ) (5) 如果两个平面平行 , 那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 . ( 　　 ) × × × × √ - 7 - 知识梳理 考点自测 2 . 设 m , l 表示直线 , α 表示平面 , 若 m ⊂ α , 则 l ∥ α 是 l ∥ m 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 D 3 . 已知直线 l ∥ 平面 α , P ∈ α , 则过点 P 且平行于直线 l 的直线 ( 　　 ) A. 只有一条 , 不在平面 α 内 B. 只有一条 , 且在平面 α 内 C. 有无数条 , 不一定在平面 α 内 D. 有无数条 , 一定在平面 α 内 B 解析 : 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β , 则平面 α , β 有公共点 , 因此它们只有一条公共直线 , 设该公共直线为 m , 因为 l ∥ α , 所以 l ∥ m , 故过点 P 且平行于直线 l 的直线只有一条 , 且在平面 α 内 , 选 B . - 8 - 知识梳理 考点自测 4 . 下列命题错误的是 ( 　　 ) A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行 , 则这两个平面平行 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行 , 则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行 , 则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 C 解析 : 由面面平行的判定定理和性质知 A,B,D 正确 . 对于 C, 位于两个平行平面内的直线也可能异面 . - 9 - 知识梳理 考点自测 5 . 如图所示 , ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长为 a 的正方体 , M , N 分别是下底面的棱 A 1 B 1 , B 1 C 1 的中点 , P 是上底面的棱 AD 上的一点 , AP= , 过 P , M , N 的平面交上底面于 PQ , Q 在 CD 上 , 则 PQ= 　　　　　 .   - 10 - 知识梳理 考点自测 - 11 - 考点一 考点二 考点三 证明空间线面平行 例 1 (2017 福建泉州一模 , 文 18) 在如图所示的多面体中 , DE ⊥ 平面 ABCD , AF ∥ DE , AD ∥ BC , AB=CD , ∠ ABC= 60 ° , BC= 2 AD= 4 DE= 4 . (1) 在 AC 上求作点 P , 使 PE ∥ 平面 ABF , 请写出作法并说明理由 ; (2) 求三棱锥 A-CDE 的高 . - 12 - 考点一 考点二 考点三 解 (1) 取 BC 的中点 G , 连接 DG , 交 AC 于 P , 连接 PE , 此时 P 为所求作的点 , 如图所示 . 下面给出证明 : ∵ BC= 2 AD , ∴ BG=AD , 又 BC ∥ AD , ∴ 四边形 BGDA 为平行四边形 , ∴ DG ∥ AB , 即 DP ∥ AB , 又 AB ⊂ 平面 ABF , DP ⊄ 平面 ABF , ∴ DP ∥ 平面 ABF , ∵ AF ∥ DE , AF ⊂ 平面 ABF , DE ⊄ 平面 ABF , ∴ DE ∥ 平面 ABF , 又 DP ⊂ 平面 PDE , DE ⊂ 平面 PDE , PD ∩ DE=D , ∴ 平面 ABF ∥ 平面 PDE , 又 PE ⊂ 平面 PDE , ∴ PE ∥ 平面 ABF. - 13 - 考点一 考点二 考点三 - 14 - 考点一 考点二 考点三 思考 判断或证明线面平行的常用方法有哪些 ? 解题心得 1 . 判断或证明线面平行的常用方法有 : (1) 利用线面平行的定义 ( 无公共点 ); (2) 利用线面平行的判定定理 ( a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α ); (3) 利用面面平行的性质 ( α ∥ β , a ⊂ α ⇒ a ∥ β ) . 2 . 证明线面平行往往先证明线线平行 , 证明线线平行的途径有 : 利用几何体的特征 , 合理利用中位线定理、线面平行的性质 , 或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 对点训练 1 (2017 福建莆田一模 , 文 19) 如图 , 在四棱锥 S-ABCD 中 , 四边形 ABCD 为矩形 , E 为 SA 的中点 , SA=SB= 2, AB= , BC= 3 . (1) 证明 : SC ∥ 平面 BDE ; (2) 若 BC ⊥ SB , 求三棱锥 C-BDE 的体积 . - 16 - 考点一 考点二 考点三 (1) 证明 连接 AC , 设 AC ∩ BD=O , 连接 OE , ∵ 四边形 ABCD 为矩形 , ∴ O 为 AC 的中点 , 在 △ ASC 中 , E 为 AS 的中点 , ∴ SC ∥ OE , 又 OE ⊂ 平面 BDE , SC ⊄ 平面 BDE , ∴ SC ∥ 平面 BDE. - 17 - 考点一 考点二 考点三 (2) 解 过点 E 作 EH ⊥ AB , 垂足为 H , ∵ BC ⊥ AB , 且 BC ⊥ SB , AB ∩ SB=B , ∴ BC ⊥ 平面 SAB , ∵ EH ⊂ 平面 ABS , ∴ EH ⊥ BC , 又 EH ⊥ AB , AB ∩ BC=B , ∴ EH ⊥ 平面 ABCD , 在 △ SAB 中 , 取 AB 中点 M , 连接 SM , ∵ SA=SB , ∴ SM ⊥ AB , ∴ SM= 1 . - 18 - 考点一 考点二 考点三 证明空间两条直线平行 例 2 如图 , 四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为梯形 , PD ⊥ 底面 ABCD , AB ∥ CD , AD ⊥ CD , E 为 PD 上异于 P , D 的一点 . - 19 - 考点一 考点二 考点三 - 20 - 考点一 考点二 考点三 思考 空间中证明两条直线平行的常用方法有哪些 ? 解题心得 空间中证明两条直线平行的常用方法 : (1) 利用线面平行的性质定理 , 即 a ∥ α , a ⊂ β , α ∩ β =b ⇒ a ∥ b. (2) 利用平行公理推论 : 平行于同一直线的两条直线互相平行 . (3) 利用垂直于同一平面的两条直线互相平行 . - 21 - 考点一 考点二 考点三 对点训练 2 如图 , 在多面体 ABCDEF 中 , DE ⊥ 平面 ABCD , AD ∥ BC , 平面 BCEF ∩ 平面 ADEF=EF , ∠ BAD= 60 ° , AB= 2, DE=EF= 1 . (1) 求证 : BC ∥ EF ; (2) 求三棱锥 B-DEF 的体积 . - 22 - 考点一 考点二 考点三 (1) 证明 ∵ AD ∥ BC , AD ⊂ 平面 ADEF , BC ⊄ 平面 ADEF , ∴ BC ∥ 平面 ADEF. 又 BC ⊂ 平面 BCEF , 平面 BCEF ∩ 平面 ADEF=EF , ∴ BC ∥ EF. (2) 解 过点 B 作 BH ⊥ AD 于点 H. ∵ DE ⊥ 平面 ABCD , BH ⊂ 平面 ABCD , ∴ DE ⊥ BH. ∵ AD ⊂ 平面 ADEF , DE ⊂ 平面 ADEF , AD ∩ DE=D , ∴ BH ⊥ 平面 ADEF. ∴ BH 是三棱锥 B-DEF 的高 . - 23 - 考点一 考点二 考点三 证明空间两平面平行 例 3 如图所示 , 在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , E , F , G , H 分别是 AB , AC , A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点 . 求证 : (1) B , C , H , G 四点共面 ; (2) 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG. - 24 - 考点一 考点二 考点三 证明 (1) ∵ G , H 分别是 A 1 B 1 , A 1 C 1 的中点 , ∴ GH 是 △ A 1 B 1 C 1 的中位线 , ∴ GH ∥ B 1 C 1 . 又 B 1 C 1 ∥ BC , ∴ GH ∥ BC , ∴ B , C , H , G 四点共面 . (2) ∵ E , F 分别是 AB , AC 的中点 , ∴ EF ∥ BC. ∵ EF ⊄ 平面 BCHG , BC ⊂ 平面 BCHG , ∴ EF ∥ 平面 BCHG. ∵ A 1 G EB , ∴ 四边形 A 1 EBG 是平行四边形 , ∴ A 1 E ∥ GB. ∵ A 1 E ⊄ 平面 BCHG , GB ⊂ 平面 BCHG , ∴ A 1 E ∥ 平面 BCHG. ∵ A 1 E ∩ EF=E , ∴ 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG. - 25 - 考点一 考点二 考点三 思考 判断或证明面面平行的方法有哪些 ? 解题心得 判定面面平行的方法 (1) 利用定义 : 即证两个平面没有公共点 ( 不常用 ) . (2) 利用面面平行的判定定理 ( 主要方法 ) . (3) 利用垂直于同一条直线的两平面平行 ( 客观题可用 ) . (4) 利用平面平行的传递性 , 即两个平面同时平行于第三个平面 , 则这两个平面平行 ( 客观题可用 ) . - 26 - 考点一 考点二 考点三 对点训练 3 如图所示的几何体 ABCEFD 中 , △ ABC , △ DFE 都是等边三角形 , 且所在平面平行 , 四边形 BCED 是边长为 2 的正方形 , 且所在平面垂直于平面 ABC. (1) 求几何体 ABCEFD 的体积 ; (2) 证明 : 平面 ADE ∥ 平面 BCF. - 27 - 考点一 考点二 考点三 (1) 解 取 BC 的中点 O , ED 的中点 G , 连接 AO , OF , FG , AG. ∵ AO ⊥ BC , AO ⊂ 平面 ABC , 平面 BCED ⊥ 平面 ABC , ∴ AO ⊥ 平面 BCED. 同理 FG ⊥ 平面 BCED. (2) 证明 由 (1) 知 AO ∥ FG , AO=FG , ∴ 四边形 AOFG 为平行四边形 , ∴ AG ∥ OF. 又 DE ∥ BC , DE ∩ AG=G , DE ⊂ 平面 ADE , AG ⊂ 平面 ADE , FO ∩ BC=O , FO ⊂ 平面 BCF , BC ⊂ 平面 BCF , ∴ 平面 ADE ∥ 平面 BCF. - 28 - 考点一 考点二 考点三 平行关系中的存在问题 例 4 如图 , 已知四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 为菱形 . (1) 证明 : 平面 AB 1 C ∥ 平面 DA 1 C 1 ; (2) 在直线 CC 1 上是否存在点 P , 使 BP ∥ 平面 DA 1 C 1 ? 若存在 , 确定点 P 的位置 ; 若不存在 , 请说明理由 . - 29 - 考点一 考点二 考点三 (1) 证明 由棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的性质知 , AB 1 ∥ DC 1 , ∵ AB 1 ⊄ 平面 DA 1 C 1 , DC 1 ⊂ 平面 DA 1 C 1 , ∴ AB 1 ∥ 平面 DA 1 C 1 , 同理可证 B 1 C ∥ 平面 DA 1 C 1 , 又 AB 1 ∩ B 1 C=B 1 , ∴ 平面 AB 1 C ∥ 平面 DA 1 C 1 . (2) 解 存在这样的点 P , 使 BP ∥ 平面 DA 1 C 1 . ∵ A 1 B 1 AB DC , ∴ 四边形 A 1 B 1 CD 为平行四边形 . ∴ A 1 D ∥ B 1 C. 在 C 1 C 的延长线上取点 P , 使 C 1 C=CP , 连接 BP , ∵ B 1 B C 1 C , ∴ B 1 B CP , ∴ 四边形 BB 1 CP 为平行四边形 , 则 BP ∥ B 1 C , ∴ BP ∥ A 1 D , ∴ BP ∥ 平面 DA 1 C 1 . - 30 - 考点一 考点二 考点三 思考 解决存在性问题的一般思路是什么 ? 解题心得 解决存在性问题一般先假设求解的结果存在 , 从这个结果出发 , 寻找使这个结论成立的充分条件 , 若找到了使结论成立的充分条件 , 则存在 ; 若找不到使结论成立的充分条件 ( 出现矛盾 ), 则不存在 . 而对于探求点的问题 , 一般是先探求点的位置 , 多为线段的中点或某个三等分点 , 然后给出符合要求的证明 . - 31 - 考点一 考点二 考点三 对点训练 4 (2017 辽宁沈阳三模 , 文 19) 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为菱形 , ∠ PAD= ∠ PAB , AC 交 BD 于 O , (1) 求证 : 平面 PAC ⊥ 平面 PBD. (2) 延长 BC 至 G , 使 BC=CG , 连接 PG , DG. 试在棱 PA 上确定一点 E , 使 PG ∥ 平面 BDE , 并求此时 的值 . - 32 - 考点一 考点二 考点三 (1) 证明 ∵ ∠ PAD= ∠ PAB , AD=AB , AP=AP , ∴ △ PAD ≌ △ PAB , ∴ PB=PD , ∵ O 为 BD 中点 , ∴ PO ⊥ BD , ∵ 底面 ABCD 为菱形 , ∴ AC ⊥ BD , ∵ AC ∩ PO=O , ∴ BD ⊥ 平面 PAC , ∵ BD ⊂ 平面 PBD , ∴ 平面 PAC ⊥ 平面 PBD. (2) 解 连接 AG 交 BD 于 M , 在 △ PAG 中 , 过点 M 作 ME ∥ PG 交 PA 于点 E , 连接 ED 和 EB , ∵ PG ⊄ 平面 BDE , ME ⊂ 平面 BDE , ∴ PG ∥ 平面 BDE. - 33 - 考点一 考点二 考点三 1 . 平行关系的转化方向如图所示 :   2 . 直线与平面平行的主要判定方法 : (1) 定义法 ;(2) 判定定理 ;(3) 面与面平行的性质 . 3 . 平面与平面平行的主要判定方法 : (1) 定义法 ;(2) 判定定理 ;(3) 推论 ;(4) a ⊥ α , a ⊥ β ⇒ α ∥ β . - 34 - 考点一 考点二 考点三 1 . 在推证线面平行时 , 一定要强调直线不在平面内 , 否则会出现错误 . 2 . 在解决线面、面面平行的判定时 , 一般遵循从 “ 低维 ” 到 “ 高维 ” 的转化 , 即从 “ 线线平行 ” 到 “ 线面平行 ”, 再到 “ 面面平行 ”; 而在应用性质定理时 , 其顺序恰好相反 , 但也要注意 , 转化的方向总是由题目的具体条件而定 , 决不可过于 “ 模式化 ” . 3 . 解题中注意符号语言的规范应用 .