湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试 数学(文科)‎ 一、选择题:本大题共15个小题．每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求．‎ ‎1.是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数的单调性可知，由此判断出两条件的充分必要性关系.‎ ‎【详解】由于函数是定义在上的增函数，由，可得，‎ 因此，是的必要不充分条件，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为集合的包含关系来进行判断，也可以利用逻辑推证法来进行判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎2.设集合，，若，则取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴．故选D．‎ 考点：集合的包含关系．‎ ‎3.若点是角的终边上一点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，点是角的终边上一点，‎ 根据三角函数的定义，可得，‎ 则，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，计算出和的值，然后利用点斜式写出所求切线方程.‎ ‎【详解】，，则，，‎ 因此，所求切线方程为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义，考查利用导数求切线的方程，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.记等差数列的前n项和为.若，则（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得值，可得可得答案.‎ ‎【详解】解：由，可得，‎ 所以，从而，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.‎ ‎6.等比数列的前项和为，已知，，则（ ）‎ A. B. C. 14 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由，得，即，‎ 又为等比数列，所以公比，‎ 又，所以.‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎7.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象 A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由图象可知，该函数的A=1，周期为，代入可得,所以函数为，而将函数图象向左平移个单位长度后得到函数.‎ 考点：本小题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的平移.‎ 点评：解决此类问题时，要特别注意图象左右平移的单位是相对于x说的.‎ ‎8.已知的内角、、的对边分别为、、，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理边角互化思想和两角和的正弦公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值.‎ ‎【详解】，‎ 由正弦定理边角互化思想得，‎ 即，即，‎ ‎，，可得出，‎ 由余弦定理得，因此，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用，也要注意两角和的正弦公式的内角和定理的应用，属于中等题.‎ ‎9.若数列满足，若对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为恒成立，又数列在时为等比数列，所以，当时，，递减，，当，为递增数列，不满足；时，，递减，，当，为递减数列，，因为成立，所以有，即，所以，本题正确选项为D．‎ 考点：数列的单调性，解不等式.‎ ‎10.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且边，则边b=（　　）‎ A. 3或5 B. 3 C. 2或5 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理即可求出b的值.‎ ‎【详解】解：，由余弦定理得，‎ 即，解得或.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的运用.熟练掌握余弦定理是解题的关键.‎ ‎11.已知函数在上有极值点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，可得，然后对进行分类：；时导函数是一次函数，时导函数是二次函数，分别考虑是否有极值点.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴．‎ ‎①当时，，‎ 故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．‎ ‎∴为函数的极大值点．符合题意．‎ ‎②当时，，，‎ 若，则恒成立，所以有两个不同的零点，函数有一个极大值点和一个极小值点，符合题意．‎ 若，则由解得，此时导函数有两个不同的零点，函数有一个极大值点和一个极小值点．‎ 综上可得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】（1）函数求导后，如果最高次项的系数中含有字母时，这时候要分析 两种情况，不能直接认为，这一点需要格外注意；‎ ‎（2）若有极值点，且对应的导函数为二次函数，则只需要让二次函数对应的即可.‎ ‎12.已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的自然数有（ ）‎ A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算性质求出的表达式，然后解不等式，可得出的取值范围，于此可得出正确选项.‎ ‎【详解】由对数的运算性质得，‎ 解不等式，即，即，得，‎ 解得，因此，自然数有大值，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查数列求和，同时也考查了对数的运算性质以及对数不等式的求解，解题的关键就是利用对数的运算性质对数列求和，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎13.在中，，，其面积，则外接圆直径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三角形的面积公式计算出的值，然后利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求出 的外接圆直径.‎ ‎【详解】由三角形的面积公式可得，可得，‎ 由余弦定理得，则，‎ 由正弦定理可知，的外接圆直径为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角形外接圆直径的计算，同时也考查了三角形的面积公式和余弦定理，求解时要根据已知元素的类型选择合适的公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎14.设数列的前项和，若，且，则等于（ ）‎ A. 5048 B. 5050 C. 10098 D. 10100‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由，则，两式相减，可得，又因为，所以，所以 ‎，故选C．‎ 考点：数列求和．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解是解得的关键．‎ ‎15.已知函数，对任意的满足，其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，其中，利用导数判断函数的单调性，然后利用函数的单调性判断出各选项的正误.‎ ‎【详解】构造函数，其中，则，‎ 当时，，则函数在上单调递增，‎ ‎，则，即，即，‎ 化简得，A选项错误，C选项正确；‎ 同理可知，即，即，‎ 化简得，B选项错误；‎ ‎，即，即，‎ 化简得，D选项错误.故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 二、填空题:本大题共5小题．每小题3分．共15分．‎ ‎16.已知复数，若，且在复平面内对应的点位于第四象限，复数_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出有关的等式和不等式，可求出实数的值，从而得出复数.‎ ‎【详解】由题意可得，解得，因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的求解，解题时要结合已知条件列等式或不等式进行求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎17.已知向量、方向相同，且，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，是与同方向的单位向量，于此得出，可得出向量的坐标.‎ ‎【详解】由题意知，是与同方向的单位向量，且，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标的计算，本题中将转化为与同向的单位向量去求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎18.函数在上的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求出函数在区间上的极大值，再利用极值与最值之间的关系可得出函数在区间上的最大值.‎ ‎【详解】，，，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，解题时要理解极值与最值的关系，熟悉导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.在数列中，，且对于任意自然数，都有，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，然后利用累加法可得出的值.‎ ‎【详解】对于任意自然数，都有，则，‎ ‎，，，，.‎ 上述等式全部相加得，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列项的求解，考查累加法在求数列项中的应用，解题时要熟悉几种求通项方法对数列递推式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.若，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设，则，根据面积公式得，①‎ 根据余弦定理得，，‎ 将其代入①式得，‎ ‎，‎ 由三角形三边关系有，解得，‎ 故当时，取得最大值 考点：解三角形 点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题.‎ 三、解答题:本大题共5小题．每小题8分，共40分．要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21.在中，角、、所对的边分别为、、．且满足，.‎ ‎（1）求角大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由辅助角公式得出，结合角的取值范围可得出角的值；‎ ‎（2）由余弦定理结合条件，可得出，由此可知为等边三角形，再利用三角形的面积公式可求出的面积.‎ ‎【详解】（1）由，得，，‎ 由得，故，；‎ ‎（2）由，‎ 由余弦定理得，‎ 故，得，故为正三角形，，‎ 因此，的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求角、以及余弦定理和三角形面积公式解三角形，解题时要根据三角形已知元素类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.已知向量＝（，），＝（2，cos2x）．‎ ‎（1）若，试判断与能否平行？‎ ‎（2）若，求函数f（x）＝的最小值．‎ ‎【答案】（1）不能；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解:(1)若与平行,则有, 因为,,所以得,这与相矛盾,故与不能平行. (2)由于,‎ ‎ 又因为,所以, 于是, 当,即时取等号. 故函数的最小值等于.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，求函数的值域.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为（-1，2）.‎ ‎ (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由.，求得f′（x）=，通过对f '（x）＞0与f '（x）＜0的分析，可求得f（x）的单调区间.‎ ‎（2）根据（1）中函数的单调性，求函数在上的最值，进而得函数在该区间上的值域.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，或；‎ 当时，.‎ 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为（-1，2）.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎.‎ 又因为，，‎ 所以函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在指定区间内的值域；函数的最大值或最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处，故求极值和端点值，即可判断函数在指定区间上的值域.‎ ‎24.已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项的和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点坐标代入函数的解析式得出，令，由求出的值，令，由可求出的表达式，再对的值是否满足的表达式进行验证，由此可得出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出的表达式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）由题意，‎ 当时，；‎ 当时，也适合上式.‎ 数列的通项公式为；‎ ‎（2）．‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎②①得，‎ ‎，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用来求数列的通项公式，以及利用错位相减法求和，解题时要注意这些方法对递推公式或数列通项结构的要求，同时要注意这些方法求解时的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎25.已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数单调性；‎ ‎（2）若不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设 ‎，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数的定义域为．‎ ‎． ‎ ‎① 若，则 ‎ 当或时，，单调递增；‎ ‎ 当时，，单调递减； ‎ ‎②若，则当时，，单调递减；‎ ‎ 当时，，单调递增； ‎ 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增． ‎ ‎（Ⅱ）原题等价于对任意，有成立，‎ 设，所以． ‎ ‎． ‎ ‎ 令，得；令，得．‎ ‎∴ 函数在上单调递减，在上单调递增， ‎ 为与 中的较大者． ‎ 设 ，‎ 则，‎ ‎∴ 在上单调递增，故，‎ 所以，‎ 从而 ． ‎ ‎∴ ，即．‎ 设 ，则．‎ 所以在上单调递增．‎ 又，‎ 所以的解为． ‎ ‎∵， ‎ ‎∴ 的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.‎ ‎ ‎