2019-2020学年湖南省邵东县第一中学、娄底三中高二上学期第一次月考数学试题 Word版

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湖南省邵东县第一中学、娄底三中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试卷 ‎ 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（每题5分）‎ ‎1．函数的定义域为） （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知函数，则 （ ）‎ A．-5 B．‎5 ‎C． D．‎ ‎3．设是不共线的两个向量，已知，，则 ( )‎ A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5．根据如下样本数据得到的回归方程为.若＝7.9，则x每增加1个单位，y就(　　)‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎0.5‎ ‎0.5‎ ‎2.0‎ A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位 C.增加1.2个单位 D.减少1.2个单位 ‎6．在中，则 （ ）‎ A． B． C． D．或 ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出的，‎ 则判断框中应填入的条件可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知数列满足，，则（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图中阴影部分)中的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10．在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列图象中可能正确的是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．在中，，，面积为，则边长=_________.‎ ‎14．假设要考察某公司生产的流感疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号_______．‎ ‎(下面摘取了随机数表第7行至第9行)‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ ‎15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．‎ ‎16．设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________．‎ 三、解答题 ‎17．（10分）已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期及函数的单调增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的取值范围.‎ ‎18．（10分）已知数列是等比数列，公比，若，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19．（12分）如图,在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．‎ ‎(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；‎ ‎(2)求证：AC⊥EF.‎ ‎20．（12分）某小区内有一块以为圆心半径为‎20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过‎60米.设.‎ ‎（1）求的长（用表示）；‎ ‎（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？‎ ‎21．（13分）已知二次函数的图象与轴交于点,图象关于对称,且.‎ ‎（1）求的解析式;‎ ‎（2）是否存在实数,使的定义域与值域分别是,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.‎ ‎22．（13分）设数列的前项和为，已知（），且.‎ ‎（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； ‎ ‎（2）设，且证明；‎ 一、单选题 ‎1．函数的定义域为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．已知函数，则（ ）‎ A．-5 B．‎5 ‎C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．设是不共线的两个向量，已知，，则( )‎ A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 ‎【答案】D ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎5．根据如下样本数据得到的回归方程为.若＝7.9，则x每增加1个单位，y就(　　)‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎0.5‎ ‎0.5‎ ‎2.0‎ A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位 C.增加1.2个单位 D.减少1.2个单位 ‎【答案】D ‎6．在中，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】D ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框中应填入的条件可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．已知数列满足，，则（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎9．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图中阴影部分)中的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎10．在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列图象中可能正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎11．已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 在上为奇函数，故代入得，当时，，令，则上式即为，当偶数时，‎ ‎，当奇数时，，综上所述，，故选C.‎ ‎12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 三角形为锐角三角形，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎=‎ ‎=，‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以.‎ 故选：A 二、填空题 ‎13．在中，，，面积为，则边长=_________.‎ ‎【答案】4‎ ‎14．假设要考察某公司生产的流感疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号_______．‎ ‎(下面摘取了随机数表第7行至第9行)‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ ‎【答案】176‎ ‎15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．‎ ‎【答案】0. -10. ‎ ‎16．设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ 由及余弦定理可得，即，所以．又为锐角三角形，所以．‎ 由正弦定理可得．由且可得，所以，所以，即．故的取值范围为．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的单调增区间；‎ ‎（3）求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ 所以．‎ ‎（2）由，得 ，‎ 所以函数的单调递增区间是.‎ ‎（3）由得，所以，‎ 所以．‎ ‎18．已知数列是等比数列，公比，若，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得 ‎ 则或（舍去）.‎ 所以 .‎ ‎（2）因为.‎ 所以数列是首项为2，公差为-1的等差数列.‎ 设数列的前项和为 ,‎ 所以.‎ ‎19．如图,在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．‎ ‎(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；‎ ‎(2)求证：AC⊥EF.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)如图所示，连接CD1.‎ ‎∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.‎ 而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，‎ ‎∴PQ∥平面DCC1D1.‎ ‎(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.‎ ‎∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD‎1C1中，FH//D1D.‎ 而D1D⊥面ABCD，‎ ‎∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，‎ ‎∴AC⊥FH.‎ 又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.‎ 而AC⊥BD，∴AC⊥EH.‎ 因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，‎ 而EF平面EFH，所以AC⊥EF.‎ ‎20．某小区内有一块以为圆心半径为‎20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过‎60米.设.‎ ‎（1）求的长（用表示）；‎ ‎（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？‎ ‎【答案】(1) (2)能符合要求 ‎【解析】‎ 解：（1）过点作垂直于，垂足为 在直角三角形中，，‎ 所以，因此 ‎ ‎（2）由图可知，点处的观众离点最远 在三角形中，由余弦定理可知 ‎． ‎ 因为，所以当，即时，‎ ‎＝800＋1600，‎ 又＝800＋1600‎ 所以 ‎ 所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米．‎ 故对于任意，上述设计方案均能符合要求．‎ ‎21．已知二次函数的图象与轴交于点,图象关于对称,且.‎ ‎（1）求的解析式;‎ ‎（2）是否存在实数,使的定义域与值域分别是,若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）1；（3）存在，使的定义域与值域分别是.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的图象与轴交于点，∴,‎ 图象关于对称，∴，‎ 由得，解得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）存在，使的定义域与值域分别是.‎ ‎,对称轴为，‎ ‎①  ,‎ 是方程的其中两根,‎ ‎,或或,即,不满足.‎ ‎②,,,‎ 或,‎ ‎（i）,∴ (舍去)；‎ ‎（ii）,∴.‎ ‎③若,,‎ ‎⇒,‎ ‎⇒.‎ ‎∵,∴ (舍去),‎ 故存在，使的定义域与值域分别是.‎ ‎22．设数列的前项和为，已知（），且.‎ ‎（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； ‎ ‎（2）设，且证明；‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】分析：（1）根据题设条件，利用等比数列的定义，即可判定数列是等比数列，进而求解数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1），得，进而得到，即可利用放缩法，证得；‎ 详解：（1）在中 令，得即，‎ ‎∵ 解得 ‎ 当时，由，得到 则 又，则 是以为首项，为公比的等比数列， ‎ ‎，即 ‎，则， ‎ 当时，‎ 当时，， ‎ 综上， ‎