2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第31练

2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第二篇 第31练

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 31 练　坐标系与参数 方程 [ 选做大题保分练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度 ：高考 主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 . 以极坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识 . 2 . 题目难度：中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 模板答题规范练 考点一　曲线的极坐标方程 方法技巧 　 (1) 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式： x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ ， ρ 2 ＝ x 2 ＋ y 2 ， 要 注意 ρ ， θ 的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧 . (2) 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解 . 核心考点突破练 解答 解　 由 ρ ＝ 4cos θ ，得 ρ 2 ＝ 4 ρ cos θ ，即 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 x ， 即 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， ∴ 圆心 C (2 ， 0) ， 解答 解答 3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1 ： x ＝－ 2 ，圆 C 2 ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1) 求 C 1 ， C 2 的极坐标方程； 解　 因为 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ ， 所以 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ ＝－ 2 ， C 2 的极坐标方程为 ρ 2 － 2 ρ cos θ － 4 ρ sin θ ＋ 4 ＝ 0. 解答 由于 C 2 的半径为 1 ，所以 △ C 2 MN 为等腰直角三角形， 解答 (1) 求圆 M 的普通方程及圆 N 的直角坐标方程； 解答 (2) 求圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点之间距离的最小值 . 所以圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点之间距离的最小值为 d min ＝ MN － 3 ＝ 4 － 3 ＝ 1. 考点二　参数方程及其应用 要点重组 　过定点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) ，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准 形式 为 方法技巧 　 (1) 参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对 x ， y 的限制 . (2) 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解 . 解答 (1) 求 C 和 l 的直角坐标方程； 当 cos α ≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y ＝ tan α · x ＋ 2 － tan α ， 当 cos α ＝ 0 时， l 的直角坐标方程为 x ＝ 1. 解答 (2) 若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1 ， 2) ，求 l 的斜率 . 解　 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程 ， 整理 得关于 t 的方程 (1 ＋ 3cos 2 α ) t 2 ＋ 4(2cos α ＋ sin α ) t － 8 ＝ 0 . ① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1 ， 2) 在 C 内， 所以 ① 有两个解，设为 t 1 ， t 2 ，则 t 1 ＋ t 2 ＝ 0. 故 2cos α ＋ sin α ＝ 0 ，于是直线 l 的斜率 k ＝ tan α ＝－ 2. 解答 (1) 写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程； 消去参数 t ，得 x ＋ y － 1 ＝ 0. 利用平方关系，得 x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 ，则 x 2 ＋ y 2 － 4 y ＝ 0. 令 ρ 2 ＝ x 2 ＋ y 2 ， y ＝ ρ sin θ ， 代入得 C 的极坐标方程为 ρ ＝ 4sin θ . 解答 (2) 若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M ， N ，直线 l 与 x 轴的交点为 P ，求 | PM |·| PN | 的值 . 解　 在直线 x ＋ y － 1 ＝ 0 中，令 y ＝ 0 ，得点 P (1 ， 0 ). 由直线参数方程的几何意义，得 | PM |·| PN | ＝ | t 1 t 2 | ＝ 1. 解答 (1) 写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程； 解答 (2) 设 A (1 ， 0) ，若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等，求点 P 的坐标 . 由 | AP | ＝ d ，得 3sin θ － 4cos θ ＝ 5 ， 又 sin 2 θ ＋ cos 2 θ ＝ 1 ， 考点三　极坐标方程与参数方程的综合应用 方法技巧 　 (1) 解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化 . 涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解 . (2) 数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 . 解答 (1) 若 a ＝－ 1 ，求 C 与 l 的交点坐标； 当 a ＝－ 1 时，直线 l 的普通方程为 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0. 解答 解　 直线 l 的普通方程是 x ＋ 4 y － 4 － a ＝ 0 ， 所以 a ＝－ 16. 综上， a ＝ 8 或 a ＝－ 16. 解答 (1) 写出 C 的普通方程； 解　 消去参数 t ，得 l 1 的普通方程 l 1 ： y ＝ k ( x － 2) ； 所以 C 的普通方程为 x 2 － y 2 ＝ 4( y ≠ 0). 解答 解　 C 的极坐标方程为 ρ 2 (cos 2 θ － sin 2 θ ) ＝ 4(0 ＜ θ ＜ 2π ， θ ≠ π) ， 代入 ρ 2 (cos 2 θ － sin 2 θ ) ＝ 4 ，得 ρ 2 ＝ 5 ， 解答 (1) 求圆 C 的直角坐标方程； 解　 由 ρ ＝ 6sin θ ，得 ρ 2 ＝ 6 ρ sin θ ， 化为直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 6 y ， 即 x 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 9. 解答 解　 将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程， 得 t 2 ＋ 2(cos α － sin α ) t － 7 ＝ 0 ， 由 Δ ＝ (2cos α － 2sin α ) 2 ＋ 4 × 7>0 ， 故可设 t 1 ， t 2 是上述方程的两根， 模板答题规范练 模 板体验 典例　 (10 分 ) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 已知直线 l 与椭圆 C 的极坐标方程分别为 cos θ ＋ 2sin θ ＝ 0 和 ρ 2 ＝ (1) 求直线 l 与椭圆 C 的直角坐标方程； (2) 若 Q 是椭圆 C 上的动点，求点 Q 到直线 l 距离的最大值 . 审题路线图 规范解答 · 评分 标准 解　 (1) 由 cos θ ＋ 2sin θ ＝ 0 ，得 ρ cos θ ＋ 2 ρ sin θ ＝ 0 ，即 x ＋ 2 y ＝ 0 ， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ 2 y ＝ 0 . 可设 Q (2cos α ， sin α ) ， 因此 点 Q 到直线 l ： x ＋ 2 y ＝ 0 的距离 构建答题模板 [ 第一步 ] 　 互化 ：将极坐标方程与直角坐标方程互化； [ 第二步 ] 　 引参 ：引进参数，建立椭圆的参数方程； [ 第三步 ] 　 列式 ：利用距离公式求出距离表达式； [ 第四步 ] 　 求最值 ：利用三角函数求出距离的最值 . 规范演练 解答 (1) 求 α 的取值范围； 解　 ⊙ O 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 1. l 与 ⊙ O 交于两点，即点 O 到 l 的距离小于半径 1 ， 解答 (2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 . 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t A ， t B ， t P ， 解答 (1) 求曲线 C 的极坐标方程，并说明方程表示什么轨迹； 所以曲线 C 的普通方程为 ( x － 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 10 ， ① 即曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝ 6cos θ ＋ 2sin θ . 解答 解　 因为直线 l 的直角坐标方程为 y － x ＝ 1 ， 解答 3. 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝ 4cos θ ，曲线 M 的直角坐标方程为 x － 2 y ＋ 2 ＝ 0( x >0). (1) 以曲线 M 上的点与点 O 连线的斜率 k 为参数，写出曲线 M 的参数方程； 解答 (2) 设曲线 C 与曲线 M 的两个交点为 A ， B ，求直线 OA 与直线 OB 的斜率之和 . 解　 由 ρ ＝ 4cos θ ，得 ρ 2 ＝ 4 ρ cos θ ， ∴ x 2 ＋ y 2 ＝ 4 x . 整理得 k 2 － 4 k ＋ 3 ＝ 0 ， ∴ k 1 ＋ k 2 ＝ 4. 故直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为 4. 解答 (1) 求 θ 的值； 得 x sin θ － y cos θ － sin θ ＝ 0. 圆 C 的极坐标方程为 ρ ＝－ 4cos α ， 即 ρ 2 ＝－ 4 ρ cos α ， 可得圆 C 的普通方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＝ 0 ， 即为 ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 ， 可知圆心为 ( － 2 ， 0) ，半径为 2 ， ∵ 0 ≤ θ <π ， 解答 解　 已知 P (1 ， 0) ，则点 P 在直线 l 上，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点， 得 (1 ＋ t cos θ ) 2 ＋ ( t sin θ ) 2 ＋ 4(1 ＋ t cos θ ) ＝ 0 ， ∴ t 2 ＋ 6 t cos θ ＋ 5 ＝ 0. 设 A ， B 对应的参数为 t 1 ， t 2 ， 则 t 1 ＋ t 2 ＝－ 6cos θ ， t 1 t 2 ＝ 5 ， ∵ t 1 t 2 >0 ， ∴ t 1 ， t 2 同号，