2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差

课时规范练62　离散型随机变量的均值与方差 基础巩固组 ‎1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则EY的值为(　　)‎ X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎7‎‎3‎ B.4 C.-1 D.1‎ ‎2.已知随机变量X+Y=8,若X~B(10,0.6),则EY,DY分别是(　　)‎ A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6‎ ‎3.若X~B(n,p),且EX=6,DX=3,则P(X=1)的值为(　　)‎ A.3·2-2 B.2-4 C.3·2-10 D.2-8‎ ‎4.已知随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎2‎ x y 若EX=‎15‎‎8‎,则DX等于(　　)‎ A.‎33‎‎64‎ B.‎55‎‎64‎ C.‎7‎‎32‎ D.‎9‎‎32‎〚导学号21500785〛‎ ‎5.袋中有6个红球,4个白球,这些球除颜色外完全相同.从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差DX的值为(　　)‎ A.‎12‎‎5‎ B.‎24‎‎25‎ C.‎8‎‎5‎ D.‎‎2‎‎6‎‎5‎ ‎6.将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则A邮箱的信件数X的均值为　　　　　. ‎ ‎7.袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同.今从袋中随机取出4个球,设取到1个红球记2分,取到1个黑球记1分,则得分X的均值为　　　　　. ‎ ‎8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是　　　　　. ‎ ‎9.某运动员的投篮命中率为p=0.6,则投篮一次命中次数X的均值为　　　　　;若重复投篮5次,命中次数Y的均值为　　　　　. ‎ ‎10.有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:‎ X ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.2‎ ‎0.6‎ ‎0.2‎ Y ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.‎ 综合提升组 ‎11.(2017北京东城模拟二,理17)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为‎1‎‎27‎.‎ ‎(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;‎ ‎(2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为X,求随机变量X的分布列及数学期望EX.‎ ‎12.《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某校的100名大学生进行了问卷调查,得到如下列联表:‎ 喜欢《最强大脑》‎ 不喜欢《最强大脑》‎ 合　计 男生 ‎15‎ 女生 ‎15‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人,抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4.‎ ‎(1)请将上述列联表补充完整,判断是否有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关,并说明理由;‎ ‎(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生,其中3名喜欢《最强大脑》,现从这5名大一学生中随机抽取2人,抽到喜欢《最强大脑》的人数为X,求X的分布列及数学期望.‎ ‎ ‎参考公式:χ2=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎,其中n=a+b+c+d‎ ‎ ‎13.(2017河北衡水中学三调,理18)某同学在研究性学习中收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y/万盒 ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎(1)该同学为了求出y关于x的线性回归方程y=bx+a,根据表中数据已经正确计算出b=0.6,试求出a的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数;‎ ‎(2)若某药店现有该制药厂今年2月份生产的甲胶囊4盒和3月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年2月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为X,求X的分布列和数学期望.‎ ‎〚导学号21500787〛‎ 创新应用组 ‎14.某次假期即将到来,喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩,初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点,每个景点有可能去的概率都是‎1‎‎3‎,且是否游览某个景点互不影响,设X表示小陈离开厦门时游览的景点数.‎ ‎(1)求X的分布列、数学期望及其方差;‎ ‎(2)记“函数f(x)=x2-3Xx+1在区间[2,+∞)内是增加的”为事件A,求事件A的概率.‎ 参考答案 课时规范练62　离散型随机 变量的均值与方差 ‎1.A　EX=-‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎6‎=-‎1‎‎3‎,EY=E(2X+3)=2EX+3=-‎2‎‎3‎+3=‎7‎‎3‎.‎ ‎2.B　由已知随机变量X+Y=8,所以有Y=8-X.因此,求得EY=8-EX=8-10×0.6=2,DY=(-1)DX=10×0.6×0.4=2.4.‎ ‎3.C　∵EX=np=6,DX=np(1-p)=3,∴p=‎1‎‎2‎,n=12,∴P(X=1)=C‎12‎‎1‎‎·‎1‎‎2‎·‎‎1‎‎2‎‎11‎=3·2-10.‎ ‎4.B　由分布列的性质得x+y=‎1‎‎2‎,‎ 又EX=‎15‎‎8‎,所以‎1‎‎2‎+2x+3y=‎15‎‎8‎,‎ 解得x=‎1‎‎8‎,y=‎3‎‎8‎.‎ 故DX=‎1-‎‎15‎‎8‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎+‎2-‎‎15‎‎8‎‎2‎×‎1‎‎8‎+‎3-‎‎15‎‎8‎‎2‎×‎3‎‎8‎=‎‎55‎‎64‎.‎ ‎5.B　因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为‎3‎‎5‎,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则X~B‎4,‎‎3‎‎5‎,故DX=4×‎3‎‎5‎‎×‎1-‎‎3‎‎5‎=‎‎24‎‎25‎.‎ ‎6.‎2‎‎3‎　X的所有可能取值为0,1,2,‎ P(X=0)=‎2×2‎‎3×3‎‎=‎‎4‎‎9‎,P(X=1)=‎2×2‎‎3×3‎‎=‎‎4‎‎9‎,P(X=2)=‎1‎‎9‎,故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎4‎‎9‎ ‎4‎‎9‎ ‎1‎‎9‎ EX=0×‎4‎‎9‎+1×‎4‎‎9‎+2×‎1‎‎9‎‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎7.‎44‎‎7‎　取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,‎ 相应的概率为P(X=5)=C‎4‎‎1‎C‎3‎‎3‎C‎7‎‎4‎‎=‎‎4‎‎35‎,P(X=6)=C‎4‎‎2‎C‎3‎‎2‎C‎7‎‎4‎‎=‎‎18‎‎35‎,P(X=7)=C‎4‎‎3‎C‎3‎‎1‎C‎7‎‎4‎‎=‎‎12‎‎35‎,P(X=8)=C‎4‎‎4‎C‎3‎‎0‎C‎7‎‎4‎‎=‎‎1‎‎35‎.‎ 则EX=5×‎4‎‎35‎+6×‎18‎‎35‎+7×‎12‎‎35‎+8×‎1‎‎35‎‎=‎‎44‎‎7‎.‎ ‎8.‎3‎‎2‎　同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-‎1‎‎2‎‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,‎ 其中P(X=0)=‎1‎‎4‎‎2‎‎=‎‎1‎‎16‎,P(X=1)=C‎2‎‎1‎‎×‎3‎‎4‎×‎1‎‎4‎=‎‎3‎‎8‎,P(X=2)=‎3‎‎4‎‎×‎3‎‎4‎=‎‎9‎‎16‎,‎ 所以在2次试验中成功次数X的均值是EX=0×‎1‎‎16‎+1×‎3‎‎8‎+2×‎9‎‎16‎‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎9.0.6　3　投篮一次,命中次数X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎0.4‎ ‎0.6‎ 则EX=0×0.4+1×0.6=0.6.‎ 重复投篮5次,命中的次数Y服从二项分布B(5,0.6),则EY=np=5×0.6=3.‎ ‎10.解 EX=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,‎ DX=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;‎ EY=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,‎ DY=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.‎ 由此可知,EX=EY=9,DX6.635,‎ 故有99%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,‎ P(X=0)=C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎‎=‎‎1‎‎10‎,‎ P(X=1)=C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎5‎‎2‎‎=‎‎3‎‎5‎,‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎C‎5‎‎2‎‎=‎‎3‎‎10‎,‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎1‎‎10‎ ‎3‎‎5‎ ‎3‎‎10‎ EX=0×‎1‎‎10‎+1×‎3‎‎5‎+2×‎3‎‎10‎‎=‎‎6‎‎5‎.‎ ‎13.解 (1)x‎=‎‎1‎‎5‎(1+2+3+4+5)=3,y‎=‎‎1‎‎5‎(4+4+5+6+6)=5.‎ ‎∵回归直线y=bx+a过点(x‎,‎y),‎ ‎∴a=y-bx=5-0.6×3=3.2,‎ ‎∴6月份生产的甲胶囊的产量数y=0.6×6+3.2=6.8(万盒).‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,‎ P(X=0)=C‎5‎‎3‎C‎9‎‎3‎‎=‎‎5‎‎42‎,‎ P(X=1)=C‎4‎‎1‎C‎5‎‎2‎C‎9‎‎3‎‎=‎‎10‎‎21‎,‎ P(X=2)=C‎4‎‎2‎C‎5‎‎1‎C‎9‎‎3‎‎=‎‎5‎‎14‎,‎ P(X=3)=C‎4‎‎3‎C‎9‎‎3‎‎=‎‎1‎‎21‎,‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎5‎‎42‎ ‎10‎‎21‎ ‎5‎‎14‎ ‎1‎‎21‎ 所以EX=‎5‎‎42‎×0+‎10‎‎21‎×1+‎5‎‎14‎×2+‎1‎‎21‎×3=‎4‎‎3‎.‎ ‎14.解 (1)依题意,得X的所有可能取值分别为0,1,2,3.‎ 因为X~B‎3,‎‎1‎‎3‎,‎ 所以P(X=0)=C‎3‎‎0‎‎×‎2‎‎3‎‎3‎=‎‎8‎‎27‎,‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎×‎1‎‎3‎‎1‎×‎2‎‎3‎‎2‎=‎‎4‎‎9‎,P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎×‎1‎‎3‎‎2‎×‎2‎‎3‎‎1‎=‎‎2‎‎9‎,P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎×‎1‎‎3‎‎3‎=‎‎1‎‎27‎.‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎8‎‎27‎ ‎4‎‎9‎ ‎2‎‎9‎ ‎1‎‎27‎ 所以X的数学期望为EX=3×‎1‎‎3‎=1,‎ X的方差为DX=3×‎1‎‎3‎‎×‎1-‎‎1‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)因为f(x)=x-‎3‎‎2‎X‎2‎+1-‎9‎‎4‎X2的图像的对称轴方程为x=‎3‎‎2‎X,‎ 又函数f(x)=x2-3Xx+1在[2,+∞)内是增加的,所以‎3‎‎2‎X≤2,即X≤‎4‎‎3‎.‎ 所以事件A的概率P(A)=PX≤‎‎4‎‎3‎=P(X=0)+P(X=1)=‎8‎‎27‎‎+‎4‎‎9‎=‎‎20‎‎27‎.‎