2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省安庆市高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．将三进制数转化为十进制数，下列选项中正确的是（ ）‎ A．68 B．69 C．70 D．71‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据公式可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查进位制之间的相互转化，是基础题.‎ ‎2．实数的取值如下表所示，从散点图分析，y与x有较好的线性相关关系，则y关于x的回归直线一定过点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 回归直线一定过中心点，‎ 而，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个变量的相关关系，回归直线一定过中心点，是基础题．‎ ‎3．命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】把条件与结论位置互换并都进行否定．‎ ‎【详解】‎ 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逆否命题，属于基础题．‎ ‎4．圆上总存在两个不同点关于直线对称，则实数m等于（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆心在已知直线上可求解．‎ ‎【详解】‎ 由条件知圆心在直线上，即，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的对称性．经过圆心的所有直线都是圆的对称轴，圆的对称轴一定经过圆心．‎ ‎5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形统计图：‎ 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（ ）‎ A．新农村建设后，种植收入略有增加．‎ B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上．‎ C．新农村建设后，养殖收入不变．‎ D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，通过选项逐一分析即可 ‎【详解】‎ 设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a，‎ 对于A，建设后种植收入为37%×2a＝74%a＞60%a，略有增加，故A正确；‎ 对于B，建设后其他收入为5%×2a＝10%a＞4%，增加了一倍以上，故B正确；‎ 对于C，建设后养殖收入为30%×2a＝60%a，而建设前，养殖收入为30%a，明显增加，故C错；‎ 对于D，建设后，种植收入占比为37%＜60%，明显下降，故D正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查统计知识，考查统计图表的认识，认真阅读题意是解题关键．题中有新农村建设后经济收入增加了一倍，即收入总量翻番了，即使所占比例相同，但收入也翻番了．‎ ‎6．椭圆的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化方程为椭圆的标准方程，然后可得，从而求得，得焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为，，，，而焦点在轴上，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质，掌握椭圆标准方程是解题关键．‎ ‎7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为7，3，则输出的等于（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化可得．‎ ‎【详解】‎ 当可得：‎ ‎，不满足条件，执行循环体，‎ ‎，不满足条件，执行循环体，‎ ‎，满足条件，退出循环体，‎ 输出，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，考查循环结构，解题模拟运行即可得结论．‎ ‎8．已知圆，圆，则圆与的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 ‎【答案】D ‎【解析】求出两圆心的距离，与半径的和或差进行比较，可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，圆心，半径，‎ ‎，圆心，半径 ‎，两圆外切，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆的位置关系的判断，是基础题.‎ ‎9．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先解出不等式的解集，找到其为哪个选项的真子集即可．‎ ‎【详解】‎ 的解集为，‎ 由条件知是目标选项的真子集，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，是基础题.‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据以为圆心，以半实轴长为半径的圆与渐近线相切可得，整理化简即可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由已知双曲线的渐近线为，选取其中一条计算，即，‎ 由点到渐近线的距离得，‎ 故有，‎ 从而离心率，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的离心率的求解，关键是要找到之间的等量关系，是基础题.‎ ‎11．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成．在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为P，则P等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设四分之一圆半径为，求出整个图形的面积和阴影部分面积后可求概率．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，‎ 整个图形面积 阴影部分的面积，‎ 由几何概型知，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型．属于基础题．‎ ‎12．已知函数，，对，使得，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出的值域，由题意可得，列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，当时，的值域为，‎ ‎，，的值域，‎ 由条件可知，‎ 即，从而有，‎ 可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用，关键是要将问题进行转化，转化为值域之间的包含问题，是中档题.‎ 二、填空题 ‎13．方程表示双曲线，则实数m的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的系数异号，可得结果．‎ ‎【详解】‎ 化成标准方程形式，由 可得，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的标准方程形式，是基础题.‎ ‎14．掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量，，则向量与共线的概率为_______________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】首先求出向量共有多少个，然后求出与平行的向量有几个，再由概率公式计算概率．‎ ‎【详解】‎ 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，又由向量，共线，即，即，满足这种条件的基本事件有：，，共有3种结果，所以向量与共线的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型．关键是求出基本事件的个数．‎ ‎15．直线l：与圆C：有公共点，则实数的取值范围是__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据直线与圆有公共点即为圆心到直线的距离小于等于圆的半径列不等式求解．‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心，半径为，‎ 从而有，即，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，关键是几何法的熟练应用，是基础题.‎ ‎16．命题“”是假命题，则实数的最小值为____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题可得恒成立，则计算可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎“”是假命题，其否定命题为真命题，‎ 即恒成立，从而有即，‎ 故，‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题及否定命题的真假关系，原命题为假可转化为其否定为真命题来研究，是基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知实数满足不等式，实数满足不等式，‎ ‎（1）当时，为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）代入，求出，，求其交集即可；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，则Ü，进而可得不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，实数满足，‎ 实数满足不等式，即满足；‎ 为真命题，‎ 都为真命题， ‎ 于是有，即，‎ 故；‎ ‎（2）记， ‎ 由是的充分不必要条件知Ü，‎ 从而有，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集的运算以及根据充分不必要条件求参数范围，是中档题.‎ ‎18．十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念．某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积y（单位：平方公里）的数据如下表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 绿化面积y ‎2.8‎ ‎3.5‎ ‎4.3‎ ‎4.7‎ ‎5.2‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积．‎ ‎（参考公式：线性回归方程：，，为数据平均数）‎ ‎【答案】（1）；（2）预测2025年初该地区绿化面积约为8.9平方公里．‎ ‎【解析】（1）根据所给数据，所给公式计算系数得回归直线方程；‎ ‎（2）代入回归方程可估算结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ ‎，，‎ 从而回归方程为； ‎ ‎（2）到2025年初时，即，解得 故预测2025年初该地区绿化面积约为8.9平方公里．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线方程，考查回归方程的应用．考查学生的运算求解能力．‎ ‎19．某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，得到的如下的频率分布表：‎ 组号 分数区间 频数 频率 ‎1‎ ‎70‎ ‎0.35‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎0.05‎ ‎3‎ ‎①‎ ‎0.20‎ ‎4‎ ‎60‎ ‎0.30‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎②‎ ‎（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；‎ ‎（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组各组抽取多少名学生进入第二轮面试；‎ ‎（3）在（2）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率.‎ ‎【答案】（1）①40，②0.10；直方图见解析；（2）第3，4，5组抽取的人数分别为2人，3人，1人；（3）‎ ‎【解析】（1）直接根据样本容量和频数求解；‎ ‎（2）求出3，4，5组的频数比，根据比例求解即可；‎ ‎（3）先列举6名学生中随机抽取2名学生的总的基本事件数，再求出2名学生来自同一组的基本事件数，利用古典概型公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解析：（1）①数据，‎ ‎②位置数据，‎ 所以①40，②0.10；‎ 频率分布直方图如下图所示：‎ ‎（2）第3，4，5组的比例是，用分层抽样抽取6人，‎ 则第3，4，5组的人数分别为2人，3人，1人；‎ ‎（3）记A为事件“这两名学生均来自同一组”‎ 记第3组学生为，第4组学生为，第5组学生为；‎ 从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：‎ 其中事件A共有4种，为，‎ 由古典概型公式得，‎ 故这两名学生均来自同一组的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，考核古典概型的计算，是基础题.‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为，的周长为6，离心率等于．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线l交椭圆C于M、N两点，且,求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由的周长为6，得，再由离心率得，求得后可得，从而得椭圆标准方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆C于，直线方程与椭圆方程联立并消元后应用韦达定理得，代入所得中可求得，得直线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件知可得： ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎（2）显然直线l的斜率存在，且斜率不为0，‎ 设直线交椭圆C于 由 ‎ 当时，‎ 有，， ‎ 又条件可得，,即 ‎ 从而有 ‎ ‎ 解得，故且满足 ‎ 从而直线方程为或 ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题中采取的是设而不求思想，即设交点坐标为，设出直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，把这个结论代入题设中其他条件后求得相应参数．‎ ‎21．已知圆C过点和点，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）P为圆上异于两点的任意点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）求出线段的中垂线方程，联立，可得圆心，进而可得半径，则圆的方程可求；‎ ‎（2）可得，设点到直线的距离为，利用圆的性质可得，进而可得三角面积最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）线段的中垂线方程为：， ‎ 由，得圆心，‎ 圆的半径.‎ 从而圆的方程为；‎ ‎（2）如图 由条件知，‎ 设点到直线的距离为，点到直线的距离为，‎ ‎，则，‎ 三角形的面积的最大值，‎ ‎，‎ 故三角形的面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程的求解，以及圆上一点到定直线的距离最值问题，是基础题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于M、N两点，P点是直线上任意一点.证明：直线的斜率依次成等差数列.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】（1）设抛物线为，将点代入即可得答案；‎ ‎（2）设交抛物线于，联立，由韦达定理可得根与系数的关系，代入计算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由条件设抛物线为，而点在抛物线上， ‎ 从而有，得，‎ 故抛物线方程为；‎ ‎（2）设点是直线上任意一点，‎ 由条件知直线的斜率不等于0，‎ 设交抛物线于，‎ 由可得：‎ 从而有 ‎，‎ 而，即证.‎ 即证直线，，的斜率成等差数列.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，要熟练应用韦达定理进行计算，是中档题.‎