2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第二部分 专题三 不等式、向量、解三角形 作业8

2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第二部分 专题三 不等式、向量、解三角形 作业8

小题专练·作业(八)‎ 一、选择题 ‎1．(2016·安徽五校)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|y＝log2(x2－1)}，则(∁UA)∩B＝(　　)‎ A．[1，2)　　　　　　　 B．(1，2)‎ C．(1，2] D．(－∞，－1)∪[0，2]‎ 答案　B 解析　由已知得A＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，∴∁UA＝(0，2)，又B＝(－∞，‎ ‎－1)∪(1，＋∞)，∴(∁UA)∩B＝(1，2)，故选B.‎ ‎2．(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，选A.‎ ‎3．(2016·湖南四校)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　C 解析　∵＝a，＝b，∴＝＋＝＋＝a＋b，∵E是OD的中点，∴＝，∴|DF|＝|AB|，∴＝＝(－)＝×[－－(－)]＝－＝a－b，∴＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b.‎ ‎4．(2016·衡中一调)在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．－2 D. 答案　B 解析　设a＝2x，b＝3x，c＝4x(x>0)，△ABC外接圆的半径为R，则＝＝＝＝－＝－＝2.‎ ‎5．(2016·江西调研)已知向量m，n的模分别为，2，且m，n的夹角为45°.在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，＝2，则||＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．8‎ 答案　B 解析　因为＝2，所以点D为边BC的中点，所以＝(＋)＝2m－2n，所以||＝2|m－n|＝2＝2＝2.‎ ‎6．(2016·宜春模拟)已知x，y∈R＋，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是(　　)‎ A．3 B. C．4 D. 答案　C 解析　由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋，∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋＝x＋y＋，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.‎ ‎7．(2016·福建模拟)在△ABC中，A＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝(＋)·(－)＝×32－×22＋·＝＋×3×2cos＝，选C.‎ ‎8．(2016·河北五一联盟)向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a＋b|＝，则a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 答案　C 解析　因为(2a＋b)2＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|·cos〈a，b〉＝16＋9＋24cos〈a，b〉＝37，即cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝60°，故选C.‎ ‎9．(2016·山东潍坊模拟)如图，某观测站C在目标A的南偏西 ‎25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿公路向A走去，走20千米到达D，此时测得C、D间的距离为21千米，则此人在D处距A还有(　　)‎ A．5千米 B．10千米 C．15千米 D．20千米 答案　C 解析　由题知∠CAD＝60°，cosB＝＝＝，sinB＝.‎ 在△ABC中，AC＝＝24，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即312＝AB2＋242－2AB×24cos60°，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)，‎ ‎∴AD＝AB－BD＝15(千米)．‎ ‎10．(2016·长沙调研)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　C 解析　由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M，G，N三点共线，故＋＝1，∴＋＝3，则x＋2y＝(x＋2y)·(＋)·＝(3＋＋)≥(当且仅当x＝y时取等号)，故选C.‎ ‎11．(2016·山西名校联考)已知向量a，b满足a⊥b，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．3‎ 审题　解决本题时，有两种解法：(通解)利用两向量垂直得到|a＋b|＝|a－b|，结合已知条件，利用向量的夹角公式，得到关于t的等式，即可求出t的值；(优解)根据题意，作出图形，再由所给条件及三角形知识，即可求出t的值．‎ 答案　C 解析　方法一：(通解)由a⊥b，知a·b＝0且|a＋b|＝|a－b|.∵|a＋‎ b|＝t|a|，∴a2＋2a·b＋b2＝t2a2，b2＝(t2－1)a2.又a＋b与a－b的夹角为，∴＝－，将b2＝(t2－1)a2，代入整理可得t2＝4.∵t>0，∴t＝2，故选C.‎ 方法二：(优解)如图，∵a⊥b，∴四边形ABCD为矩形．又a＋b与a－b的夹角为，∴∠ACB＝，故在Rt△ACB中，AC＝2AB，即|a＋b|＝2|a|，t＝2，故选C.‎ ‎12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m＋n(m>0，n>0)，m＋n＝2，则∠AOB的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一：设圆的半径为1，将＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－(当且仅当m＝n＝1时等号成立)，因为0<∠AOB<π，所以∠AOB的最小值为.‎ 方法二：已知AB与OC的交点为M，设λ＝＝m＋n，因为A，B，M三点共线，所以λ＝m＋n＝2，说明M是OC的中点，过M作弦AB，在同一圆中相等弦所对的圆心角相等，且较短弦所对的圆心角也较小，所以当AB⊥OC且互相平分时，∠AOB最小．由平行四边形法则，四边形OACB是菱形，得 ‎∠AOB＝.‎ ‎13．(2016·洛阳调研)已知实数x，y满足约束条件向量a＝(x，y)，b＝(3，－1)，设z表示向量a在向量b方向上的投影，则z的取值范围是(　　)‎ A．[－，6] B．[－1，6]‎ C．[－，] D．[－，]‎ 答案　C 解析　画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，向量a在向量b方向上的投影 z＝＝(3x－y)，‎ 由可行域知，a＝(x，y)＝(2，0)时，向量a在b方向上的投影最大，且最大值为＝；当a＝(，3)时，向量a在b方向上的投影最小，且最小值为－＝－，所以z的取值范围是[－，]．‎ ‎14．(2015·湖北八校)若关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a，b)和(，)，则称这两个不等式为“对偶不等式”．若不等式x2－4cos2θ·x＋2<0和不等式2x2＋4sin2θ·x＋1<0为“对偶不等式”，且θ∈(，π)，则θ＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设方程x2－4cos2θ·x＋2＝0的两根分别为x1，x2，则有 设方程2x2＋4sin2θ·x＋1＝0的两根分别为x3，x4，则有由对偶不等式的定义可得x3＋x4＝⇒－2sin2θ＝2cos2θ⇒tan2θ＝－，又θ∈(，π)，所以θ＝.‎ 二、填空题 ‎15．(2016·济南一模)设向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则|a－tb|(t∈R)的最小值为________．‎ 答案　 解析　设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，所以a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2×1×1×cosθ＝1，解得cosθ＝－，即θ＝，所以a·b＝－，|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，故当t＝－时，|a－tb|取到最小值，且最小值为.‎ ‎16．(2016·太原模拟)在锐角△ABC中，已知B＝，|－|＝2，则·的取值范围是________．‎ 答案　(0，12)‎ 解析　∵B＝，△ABC是锐角三角形，∴A＋C＝，∴3.‎ ‎18．(2016·开封模拟)在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当＝x＋y时，则x－y＝________．‎ 答案　－2‎ 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∴x－y＝－2.‎ ‎1．(2016·长沙调研)设a，b，c∈R，且a>b，则(　　)‎ A．ac>bc　　　　　　　　　 B.< C．a2>b2 D．a3>b3‎ 答案　D 解析　当c＝0时，选项A错误；当a>0，b<0时，选项B错误；当a＝1，b＝－5时，选项C错误；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·[(a＋)2＋]>0成立．‎ ‎2．(2016·洛阳调研)已知平面向量a，b满足b＝(－，1)，b·(a－b)＝－3，a为单位向量，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)‎ A．4 B．1‎ C．－4 D．－10‎ 答案　B 解析　因为b＝(－，1)，b·(a－b)＝－3，所以|b|＝2，a·b＝1.又a为单位向量，则向量b在向量a方向上的投影为＝1.‎ ‎3．(2016·太原调研)△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果＋＋＝0，‎ 且||＝||，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A．6 B．－6‎ C．2 D．－2 答案　B 解析　由＋＋＝0得，＋＝，所以四边形DEOF为平行四边形，又O为△DEF的外接圆的圆心，故||＝||＝||，所以四边形DEOF为菱形，且∠FDE＝120°，且易得|EF|＝4，所以向量在方向上的投影 ‎||·cos150°＝－6.‎ ‎4．(2016·河南六市)向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意，(a－2b)·a＝0，得a2＝2a·b，(b－2a)·b＝0，得b2＝2a·b，∴a2＝b2，即|a|＝|b|，设a，b的夹角为θ，∵a2＝2a·b，∴|a|2＝2|a|·|b|·cosθ，则cosθ＝，∴θ＝，故选B.‎ ‎5．(2016·广东六校)在△ABD中，AB＝2，AD＝2，E、C分别在线段AD、BD上，且AE＝AD，BC＝BD，·＝，则∠BAD的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝－＝ －，所以·＝(＋)·(－)＝－||2＋||2－·＝－×22＋×(2)2－·＝，所以·＝－4，所以cos∠BAD＝＝＝－，因为0<∠BAD<π，所以∠BAD＝.‎