江西省临川二中临川二中实验学校2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

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‎2019-2020学年度第一学期期中考试 临川二中 临川二中实验学校 高三年级文科数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共有12小题，四个选项中只有一个正确，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合 ， 则=（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2． （ ） ‎ A.-1 B. C.1 D. ‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4． 已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. [‎ ‎5．已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）‎ A． 1 B． C． D．‎ ‎8．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．4‎ ‎9．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．函数的大致图象是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．在中，，，点在双曲线上，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12． 已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知向量，若,则向量的模为__________．‎ ‎14．已知均为锐角且，则__________．‎ ‎15．设D为所在平面内一点，,若，则______．‎ ‎16．已知函数，，若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是________．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记 ，求数列 的前项和 .‎ ‎18．（本小题满分12分）在中，内角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若面面，，， ‎ ‎，求到平面的距离.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）若，求的最大值；‎ ‎（2）当时，求证：．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过分别作抛物线的切线，设相交于点.‎ ‎（1） 求的值；‎ ‎（2）如果圆的方程为，且点在圆内部，设直线与相交于两点，求的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在极坐标系中，已知两点，．‎ ‎（1）求以为直径的圆的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；‎ ‎（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于，两点，圆的圆心为，求的面积．‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4-5；不等式选讲] ‎ 已知函数 .‎ ‎（1）当 时，求不等式 的解集；‎ ‎（2）当 时，不等式 恒成立，求的取值范围.‎ 文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A D A A C D D C C A D A 二、填空题 ‎13．10 14. 15. -3 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 .‎ 由 得 ，由 得 ‎ 所以 …………….3分 所以的通项公式为 …………6分 ‎（2）由（1）知， ……….8分 ‎ ‎ ‎ ……12分 ‎18.（1）【解法一】由正弦定理得，…………1分 ，‎ ‎；…………2分 ‎，…………3分 ‎，…………4分 ‎，…………5分 ‎…………6分 ‎（1）【解法二】由余弦定理得…………1分 化简得，…………2分 ‎…………4分 ‎，…………5分 ‎…………6分 ‎（2）由，，得，…………7分 在中，，……9分 由正弦定理，得，…………11分 ‎…………12分 ‎19.解：（1）连接交于，连接. …………1分 在菱形中，，是的中点，又因为，所以所以，又，‎ 所以 …………4分 又，所以. …………5分 ‎（2）因为面面，面面， ，，所以，即是三棱锥的高 …………7分 依题意可得，是等边三角形，所以，，‎ 在等腰，， …………9分 经计算得，，‎ 等腰三角形的面积为 …………10分 设到平面的距离为，则由可得 ‎，解得 所以到平面的距离为 …………12分 ‎20.解（1）当时，，………..1分 由，得，所以时，；时，，‎ 因此的单调递减区间为，单调递增区间为，……..4分 ‎∴的最大值为．………..5分 ‎（2）证明：先证，……………6分 令，‎ 则，‎ 由，与的图象易知，‎ 存在，使得，‎ 故时，；时，，‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，……….9分 所以的最大值为，而，，‎ 又由，，所以，‎ 当且仅当，或，取“”成立，即．……..12分 ‎21.解：（Ⅰ）设，因为，所以设AB的方程为，代入抛物线方程得，所以为方程的解，从而，…3分 又因为 ，，因此，即，所以．…6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，得到交点 ．…8分 由点P在圆内得，又因为，，其中d为O到直线AB的距离．‎ 所以. 又的方程为，所以，令，由得．又由 ‎，所以，从而．‎ 所以，当m=2时，．…12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。‎ ‎22. 解（1）设为圆上任意一点，则，，‎ 在中，，即．…..3分 ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为．…….5分 ‎（2）作于，到直线的距离，‎ 在中，，‎ ‎∴的面积为．……10分 ‎23.解：（1）当 时， ，因为 ，所以，不等式等价于：‎ ‎ 或 或 ‎ 解得： 或 ， 不等式的解集为 ………5分 ‎（2）当 时， ‎ ‎ 恒成立，即 ，整理得：（ ，‎ 令 ，则 在 恒成立，即 ‎ 解得： ，所以，的取值范围是：（ ……10分