天津市西青区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津市西青区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.‎ 第I卷1至2页，第II卷3至5页.‎ 注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答卷时，考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效. ‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. 已知集合，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎2. 已知函数，则的零点所在的区间为 A． B． C． D． ‎ ‎3. 下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的函数是 A． B． C． D． ‎ ‎4．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎5. 下列说法中，正确的个数是 ‎①A=的子集有个；‎ ‎②命题“”的否定是“使得”；‎ ‎③“”是“函数取得最大值”的充分不必要条件；‎ ‎④根据对数定义，对数式化为指数式；‎ ⑤若，则的取值范围为；‎ ⑥.‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎6. 函数是偶函数，则函数的单调递增区间为 A． B． C． D． ‎ ‎7. 已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则 A． B． C． D．‎ ‎8. 当时,函数的图象恒过定点，已知函数 ，若有两个零点，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 共110分）‎ 温馨提示：请将答案写在答题纸上，写在卷面上无效.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 已知，若= ．‎ ‎10. ．‎ ‎11. 若，则的最小值为 ．‎ ‎12. 已知三个式子，，同时成立，则的取值范围为 ．‎ ‎13.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为米，径长（两段半径的和）为米，则该扇形田的面积为　 　平方米．‎ ‎14. 关于函数 (x∈R)有下列命题：‎ ‎①是以为最小正周期的周期函数； ②可改写为；‎ ‎③的图象关于对称； ④ 的图象关于直线对称；‎ ⑤函数向右平移个单位长度所得图象的函数解析式为.‎ 其中正确的序号为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.‎ ‎15. （本小题满分13分）‎ 已知，，‎ ‎（I） 的值；‎ ‎（II）.‎ ‎16.（本小题满分13分） ‎ 求关于不等式：（）的解集.‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 已知命题函数是上的减函数， 命题：对都成立.若命题和命题中有且只有一个真命题，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（I） 求函数在上的单调递增区间.；‎ ‎（II） 若，求的值. ‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎ ‎ 已知幂函数的图象过点， 函数是上的奇函数.‎ ‎(I) 求的解析式； ‎ ‎(II) 判断并证明在上的单调性；‎ ‎(III) 解不等式.‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中为常数.‎ ‎(I) 若不等式的解集是,求此时的解析式；‎ ‎(II) 在(Ⅰ)的条件下，设函数，若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎(III) 是否存在实数使得函数在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 数学试卷答案 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ C Ｂ D.‎ A Ｂ A C D.‎ 二、填空题 ‎9. 10. 11. 12. 13. 120 14.② ③‎ 三、解答题：‎ ‎15. ‎ ‎（Ⅰ）.‎ ‎ ………………………………….2分 ‎=........................................3分 ‎.........................................5分 ‎ =…………………………………………………………………6‎ ‎ .........................................8分 ‎ =……………………………………………………..9分 ‎=………………………………………….11分 ‎==…………………13分 ‎ ‎ ‎16.（本题满分13分）‎ 解：a=0时，不等式变为，解得＜1；‎ 则不等式的解集为（-∞，1） …………..2分 ‎ 当时， ，…………..3分 的根为 若a＞2，则＜1，解得＞1或＜----------5分 ‎ 若a=2，则=1，，解得≠1 ----------7分 ‎ 若0＜a＜2，则＞1，解得＞或＜1 ----------9分 ‎ a＜0时，不等式变为（ -）（ -1）＜0，解得＜＜1 ----------12分 综上所述， =0时，不等式的解集为（-∞，1）；‎ ‎0＜a＜2时，不等式的解集（-∞，1）∪（，+∞）；‎ a=2时，不等式的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；‎ a＞2时，不等式的解集（-∞，）∪（1，+∞）；‎ a＜0时，不等式的解集（，1）； ----------13分 ‎ ‎17.解：函数是上的减函数 解得：‎ 对都成立 则：‎ 解得：‎ 当命题成立时：‎ ‎ 解得：不存在 当命题成立时，‎ 解得：‎ 实数取值范围为： ‎ ‎18.‎ ‎（I）‎ ‎ =……………………2分 ‎ = ‎ ‎ =………………………………………………3分 法一：令：…………………………………………………………………..4分 ‎ ‎ 由，即………………………………5分 因为：在的单调递增区间为……………………6分 ‎，解得 函数f（x）在上为增…………………………8分 法二：‎ ‎（I）‎ ‎ =……………………2分 ‎ = ‎ ‎ =………………………………………………3分 由，‎ 得 ，k∈Z………………………………………………5分 x∈，画数轴可知：‎ 函数f（x）在上为增…………………………8分 ‎（Ⅱ）………………….9分 ‎ ‎ ‎……………………..11分 ‎……………12分 ‎ =…………………………………13分 ‎19. (Ⅰ) 幂函数的图象过点，，得……..1分 在上为奇函数.‎ ‎，………………………………………………………………………………………………2分 ‎，得………………………………………………………………………………………..4分 ‎…………………………………………………………………………………………5分 ‎(Ⅱ) 在上单调增…………………………………6分 ‎（此判断结果必须有，没有扣1分）‎ 证明:任取,且 ‎ 则=‎ ‎=…………………8分 因为，…………………………9分 所以 ‎,……………………………………………………..10分 即：函数在区间上是增函数.…………………………11分 ‎ (Ⅲ) ‎ 即 在上单调增 ‎…………………………………………13分（只写第三个不等式给1分）‎ 解得：‎ ‎ ………………………14分 ‎ ‎ ‎20.解：(I)由题意得：是的根…………………1分 ‎∵， 解得 ………………2分 ‎ ∴ ………………3分 ‎（另解：将根分别代入方程求解，也可，具体解法略）‎ ‎(II)由（1）可得 ，……..4分 其对称轴方程为 ‎ 若在上为增函数，则，解得 ………………6分 ‎ 综上可知，的取值范围为 ‎ ‎(III)当时， ‎ ‎，函数在上的最大值是15，不满足条件 …………………7分 当时，假设存在满足条件的，则的最大值只可能在对称轴处取得， ‎ 其中对称轴 ……………… …………8分 ‎① 若，则有 ， 的值不存在，………9分 ‎ ② 若，则，解得 ，此时，对称轴，则最大值应在处取得，与条件矛盾，舍去 ……………11分 ‎ ‎ ③ 若，则：，且， ……………12分 化简得，解得或 ，满足 ………………13分 ‎ 综上可知，当或时，函数在上的最大值是4. …………14分 ‎ (III另解：当时， ‎ ‎，函数在上的最大值是15，不满足条件 …………………7分 所以，此时的对称轴为 若，，此时在上最大值为 ‎，解得，与假设矛盾，舍……………8分 若 （1） 当，即，函数在为增，在上最大值为，解得，矛盾舍……..10分 （2） 当，即，矛盾舍……………………….11分 （3） 当。即，在上最大值为 若，则 。‎ 化简得，解得或 ，满足 ……………………..13分 综上可知，当或时，函数在上的最大值是4…………….14分