湖南省长沙市第二十一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省长沙市第二十一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 长沙市第二十一中学2019年下学期期中考试高一试卷 数学 时量：120分钟满分：150分 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 元素属于集合用“”连接,由此即可得到选项 ‎【详解】显然,,则0是集合中的元素,则有,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查元素与集合的关系,属于基础题 ‎2.下列等式中不成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将根式用指数幂表示,依次排除选项即可 ‎【详解】对于选项A,,故A正确；‎ 对于选项B,,故B正确；‎ 对于选项C,,故C错误；‎ 对于选项D,,故D正确；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查根式与指数幂的转化,属于基础题 ‎3.已知幂函数①，②，③在第一象限的图象如图所示，则，，分别对应的解析式为（ ）‎ A. ①②③ B. ③①② C. ③②① D. ①③②‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的单调性进行判断即可 ‎【详解】由题,根据幂函数的性质可知,在第一象限：单调递增,且越增越慢；、单调递增,且越增越快；对于,当时,越大,图象越陡峭,则可判断A为③,B为②,C为①,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查幂函数的单调性,考查幂函数的图象性质,属于基础题 ‎4.下列四组函数，表示同一函数的是（ ）‎ A. B. ，‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断两个函数的定义域值域、和对应法则是否一致，即可得结果.‎ ‎【详解】对于，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；‎ 对于的定义域为，而的定义域为 定义域不同，不是同一函数.‎ 对于，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.‎ 对于定义域、值域为， 的定义域、值域为，两个函数的定义域、值域和对应法则相同，是同一函数，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.‎ ‎5. 下列式子中成立的是（ ）‎ A. log76＜log67 B. 1.013.4＞1.013.5‎ C. 3.50.3＜3.40.3 D. log0.44＜log0.46‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：利用对数函数、幂函数与指数函数的单调性即可判断出结论．‎ 解：A．∵log76＜1＜log67，∴log76＜log67，因此正确；‎ B．∵函数y=1.01x在R上单调递增，∴1.013.4＜1.013.5，因此不正确；‎ C．∵函数y=xα在（0，+∞）上单调递增，∴3.50.3＞3.40.3，因此不正确；‎ D．∵函数y=log0.4x在（0，+∞）上单调递减，∴log0.44＞log0.46，因此不正确．‎ 故选A．‎ 考点：对数值大小的比较．‎ ‎6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数是定义在上的奇函数，，故答案为D．‎ 考点：奇函数的应用．‎ ‎7.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）‎ ‎-0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-0.69‎ ‎0‎ ‎0.69‎ ‎1.10‎ ‎1.39‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设,将方程根的分布问题转化为函数的零点分布问题,根据表格,利用零点存在性定理判断即可 ‎【详解】设,则根据表格,,‎ 则在中至少有一个零点,即方程在上至少有一个根 故选：C ‎【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间问题,属于基础题 ‎8.已知函数，则函数（ ）‎ A. 是奇函数，且在上是减函数 B. 偶函数，且在上是减函数 C. 是奇函数，且在上是增函数 D. 是偶函数，且在上是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于已知中函数，那么可知函数定义域 ‎, 关于原点对称，同时满足，因此是奇函数，排除B,D。然后利用函数在定义域内是递增函数，则根据单调性的性质可知，增函数加上增函数为增函数，故选C.‎ 考点：本试题主要是考查了函数的基本性质的判定和简单的应用。属于基础题型。‎ 点评：解决该试题可以采用排除法，先确定奇偶性，排除两个答案，然后对于单调性质，利用单调性的性质可以判定得到。增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数。‎ ‎9.函数的图像可能是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，‎ 当时，∴，所以排除B，‎ 当时，∴，所以排除C，故选D.‎ 考点：函数图象的平移.‎ ‎10.对于函数的定义域中的任意的，（），有如下的结论：‎ ‎①；②；③；④，‎ 当时，上述结论中正确的是（ ）‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的运算性质可得,则②正确；再利用对数函数单调性可判断单调递增,则③正确 ‎【详解】由题,,则②正确；‎ 因为单调递增,则③正确,故②③正确 故选：B ‎【点睛】本题考查对数的运算,考查对数函数的单调性,属于基础题 ‎11.已知，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先由题可得,,代入中,利用换底公式及对数的性质求解即可 ‎【详解】由题,因为,则,,‎ 所以,‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查对数的性质及换底公式的应用,考查指数与对数互化 ‎12.定义新运算“”：，设函数，，若函数有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得,画出图象,找到与有两个交点时的范围即可 ‎【详解】由题,,画出函数图象,‎ 由图可知,当有两个不同零点时,即与有两个交点,则,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查已知函数零点个数求参问题,考查新定义运算,考查转化思想与数相结合思想 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数的定义域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,该函数的定义域需满足,求解即可 ‎【详解】由题,,解得且,所以函数的定义域为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查具体函数求定义域,属于基础题 ‎14.函数（且）的图象必经过定点__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先,即,再将代入到中求得函数值,即可得到定点坐标 ‎【详解】令,则,所以,故经过定点,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数恒过定点问题,属于基础题 ‎15.若奇函数在上是减函数，则不等式的解集是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用奇函数可得,再根据单调递减可得,求解即可 ‎【详解】由题,因为,且是奇函数,所以,‎ 又因为在上是减函数,则,解得,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查抽象函数利用单调性解不等式,解题时需注意定义域 ‎16.若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[]，则m的取值范围是　‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，由图象可得函数取值在[]上的x的范围，由题函数的定义域为[0，m]，即可得解．‎ ‎【详解】解：函数y＝x2﹣3x﹣4的图象如图，‎ 当x时，函数有最小值，‎ 当x＝0或x＝3时函数值为﹣4，‎ 原题给出函数的定义域为[0，m]，‎ 所以，从图象中直观看出，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17.（1）计算：.‎ ‎（2）已知，，计算.‎ ‎【答案】（1）10（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数幂与对数的性质求解即可；‎ ‎（2）利用指数、对数的关系可得,,代入求解即可 ‎【详解】（1）原式 ‎（2）∵,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查指数幂与对数的运算,考查指数、对数互化,考查运算能力 ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值集合.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先解不等式可得,,再利用交集的定义求解即可；‎ ‎（2）分别讨论和的情况,进而求解即可 ‎【详解】（1）∵,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎（2）∵,,‎ ‎∴①当时,；‎ ‎②当时,,∴‎ 综上所述,的取值范围为 ‎【点睛】本题考查解指数不等式、对数不等式,考查交集,考查已知包含关系求参数范围问题,考查运算能力 ‎19.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.‎ ‎（1）作出函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；‎ ‎（2）求出函数的解析式和值域.‎ ‎【答案】（1）作图见解析，增区间：，（2），值域 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先画出时函数图象,再根据偶函数的性质即可得到另一半图象,由图象即可得知函数的增区间；‎ ‎（2）令,则,则,即可得到函数的解析式,进而解得值域 ‎【详解】（1）‎ 当时,对称轴为,根据偶函数图象关于轴对称可得,当时,对称轴为,‎ 所以增区间：,‎ ‎（2）令则 ‎∵时,,‎ ‎∴,‎ ‎∵为偶函数,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵时,；时,,‎ ‎∴的值域为 ‎【点睛】本题考查利用函数图象判断单调性,考查利用奇偶性求解析式,考查分段函数的值域 ‎20.已知函数.‎ ‎ （1）用定义证明函数在上为减函数.‎ ‎ （2）求在上的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据函数单调性定义法证明，作差后分析差的正负即可；‎ ‎（2）根据（1），利用函数的单调性，当自变量最大时，可求出函数的最小值.‎ 试题解析：（1）证明：设，且，‎ ‎， ‎ ‎∵，且，‎ ‎∴ ，且，，，即.‎ 根据函数单调性的定义知:函数在上为减函数. ‎ ‎（2）∵函数在上为减函数,‎ ‎∴函数在上为减函数, ‎ ‎∴当时, . ‎ 点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求函数的定义域并证明其为奇函数；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）定义域为，证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数函数的定义可得,即可解得定义域；再根据,可证明为奇函数；‎ ‎（2）根据题意,则,解出即可 ‎【详解】（1）∵,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴或,‎ ‎∴定义域为 ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ 又∵的定义域关于原点对称,‎ ‎∴为奇函数 ‎（2）∵,‎ ‎∴当,,‎ ‎∵恒成立,‎ ‎∴,‎ ‎∴取值范围为 ‎【点睛】本题考查具体函数求定义域,考查函数奇偶性的证明,考查利用对数函数单调性处理不等式恒成立问题,考查运算能力 ‎22.某服装批发商经营的某种服装，进货成本元/件，对外批发价定为元/件，该商场为了鼓励购买者大批量购买，推出优惠政策：一次购买不超过件时，只享受批发价；一次购买超过件时，每多购买件，购买者所购买的所有服装可在享受批发价的基础上，再降低元/件，但最低价不低于元/件.‎ ‎（1）问一次购买多少件时，售价恰好是元/件；‎ ‎（2）设购买者一次购买件，商场的利润为元（利润=销售总额-成本），试写出函数的表达式，并说明在售价高于元/件时，购买者一次购买多少件，商场利润最大？‎ ‎【答案】（1）一次性购买件时，售价恰好是元/件（2）当一次性购买件时，商场利润最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得（件）；‎ ‎（2）由（1）可知,购买150件时售价为50元/件分别讨论,,的情况,从而求得在售价高于元/件时,商场利润最大时,购买者一次购买的件数 ‎【详解】（1）（件）‎ 答：一次性购买件时，售价恰好是元/件 ‎（2）①当时,；‎ ‎②当时,；‎ ‎③当时,；‎ ‎∴‎ 当时,‎ 时,（元）；‎ 当时,‎ ‎∴时,（元）‎ 综上可得：当一次性购买件时,商场利润最大 ‎【点睛】本题考查分段函数在实际生活中的应用,考查二次函数求最值,考查运算能力 ‎ ‎