【推荐】专题2-8 函数与方程-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学
【真题回放】
1.【2017山东文9】设,若,则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【考点解读】本题考查了分段函数，方程思想及分类思想等，为基础题。求解时首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
2．【2017课标3文12】已知函数有唯一零点，则a=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+ =0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=有唯一解，等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），的图象的最高点为
B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与的图象有两个
交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且 在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即，符合条件； 综上所述，, 故选：C．
【考点解读】本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性，运算求解能力，数形结合能力，考查转化与化归思想，分类讨论的思想等，属于难题。解题可通过等价转化为函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
3.【2017高考江苏文14】设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中
集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .
【答案】8
解法二；∵在区间[0，1）上，，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合D的解读）
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
函数的零点
B
二分法
A
函数与方程是运用函数思想解决方程问题，体现了函数的统领作用。这部分内容要求学生掌握零点的概念（三种等价表达），零点判定定理及二分法，进一步感悟函数思想及数形结合的思想方法。高考对该部分考查主要为，求函数的零点所在区间，判断零点的个数，已知零点求参数的取值范围等。解决问题中要注意数形结合思想的运用。
融会贯通
题型一 确定函数零点所在的区间
典例1. （1）(2017山东潍坊市高一期末) 函数的零点是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】函数的零点等价与方程的根，即故选A.
（2）(2016福州模拟)若a
0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1,2)．
解题技巧与方法总结
确定函数零点所在区间的方法
1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
2．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
3．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式训练】
（1）（2017银川一中期末）函数的零点所在的大致区间是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
（2）（2017兰州一中期末）在同一坐标系中，曲线与抛物线的交点横坐标所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】曲线与抛物线的交点,即为曲线与抛物线的交点
令, ，，
，;则在区间上存在零点，故选B.
（3）（2017广东高三七校联考）若函数的零点在区间上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】单调递增, ,故选C.
知识链接：
知识点1 函数的零点
1．函数零点的定义；
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．三个等价关系；
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的判定(零点存在性定理)；
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
题型二 确定函数零点的个数
典例2. （1） (2016济南模拟)已知函数f(x)＝cos x－logx，则f(x)在其定义域上零点的个数为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
(2)（2017武汉模拟）已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点个数为________．
【答案】3
【解析】sgn(ln x)＝故函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点有3个，分别为；e, 1， .
解题技巧与方法总结
判断函数零点个数的方法
1．解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式训练】
（1） (2017梅州模拟)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
（2）(2017三明高三检测)函数f(x)＝的零点个数是________．
【答案】 2
【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，
f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.
（3）（2017届四川双流中学高三月考）记表示不超过的最大整数，如，.设函数，若方程有且仅有个实数根，则正实数的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
【答案】B
（4）（2017届黑龙江宝清县高三质检）若偶函数，，满足，且 时，，则方程在内的根的个数为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【解析】,将原命题转化为方程组
在内的根的个数，进而转化为交点个数，易得是偶函数，先做出两函数在上的图象，从而得到两函数在上有个交点，再根据偶函数的性质可得两函数在上有个交点，从而可得方程在内的根的个数为个，故选D.
知识链接：
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
必会结论
(1)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
必知联系
(1)研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
(2)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
(3)f(a)·f(b)<0是f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件．
题型三 函数零点的应用
典例3.（1）(2016北京模拟)已知x1，x2是函数f(x)＝|ln x|－e－x的两个零点，则x1x2所在区间是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，e)
【答案】B
由图看出0<－ln x1<1，－1ln x2，∴ln x1x2<0，x1x2<1，∴x1x2的范围是.
（2）（2017银川一中高考模拟）已知函数的周期为,当时,
如果，则函数的所有零点之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
（3）（2017衡水金卷）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意在上单调递增，要满足题意“对任意的且，均存在唯一实数，使得，且”，则在上递减，且，即，函数图象如图所示，显然方程最多有两解，方程有4个不等实根，则与都有两解，因此，即，解得．
解题技巧与方法总结
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式训练】
（1）（2017兰州模拟）定义； ， ，若 有四个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
其中红色线为的图象，由图可知当时，直线和函数有4个不同的公共点，
故方程有四个不同的实数解，故选D.
（2）（2016天津河东区高三一模）已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)
【解析】 设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x
－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解．消去y得
x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a＞0，即a2－10a＋9＞0，
解得a＜1或a＞9，又由图象得a＞0，∴0＜a＜1或a＞9。
（3）（2017哈尔滨模拟）设定义域为的函数，则关于的方程，有个不同的实数解，则________．
【答案】1
课本典例解析与变式
例1.【必修1第八十八页例1】求函数的零点的个数.
【解析】用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
由上表和图可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点．
由于函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．
【原题解读】本题为运用函数思想解决方程的求解问题，需要理解零点的概念（三种等价的解释）。
由函数思想丰富了求解方程的思路。感受函数思想的作用及数形结合的方法。
变式1. (2015湖北高考) 函数的零点个数为_________.
【答案】.
变式2.（2016届宁夏银川一中期中）已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
【答案】C
【解析】因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．
变式3.（2016兰州模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，，
.所以零点在区间.
变式4.（2016山东高考）已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
【答案】
即，解得
【课本回眸反思】
1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；
2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；
3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。
练习检测
1.（2017天水一中高一期末) 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由故零点所在的区间为
考点：零点判定定理
2．(2016济南模拟)若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
【答案】 C
【解析】 ∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴g(x)的零点为0和－.
考点：零点的概念
3．（2017哈尔滨模拟）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】 A
考点：零点判定定理及函数性质
4．(2017襄阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g (x
)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
【答案】 D
【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.
令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.
令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}．
考点：函数的奇偶性及零点的概念
5.（2017泰安模拟）已知函数若方程 有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】
考点：零点的概念及数形结合思想
6.（2017衡水金卷）定义域为R的偶函数满足对任意的，有且
当时， ，若函数在上恰有六个零点，
则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
考点：函数的奇偶性与周期性，零点概念及数形结合的数学思想方法.
7.(2017盐城模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－2,0)
【解析】 函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得－2
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