2019-2020学年山东省寿光现代中学高二10月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省寿光现代中学高二10月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省寿光现代中学高二10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．下列命题中，正确的是　　‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确；‎ 对于B，同向不等式均为正时，才能相乘，故不正确；‎ 对于C，c的符号不定，故不正确；‎ 对于D，，故正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．‎ ‎2．在等差数列中，已知，则该数列前11项和（ ）‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的性质可知，然后根据等差数列的求和公式求解，即可求出所求．‎ ‎【详解】‎ 解：因为等差数列，所以，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎3．已知等比数列满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，选B.‎ ‎4．已知，且满足，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．6 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用基本不等式的性质及解不等式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，有，‎ 则，即，‎ 解得：，（当且仅当时取等号）‎ 所以的最大值为3.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用以及不等式的解法，属于基础题．‎ ‎5．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，可得时，，化为：时，，解得．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 时，，化为：．‎ 时，，解得．‎ 数列为等比数列，公比为2．‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎6．等比数列的前n项和，则的值为 　　‎ A．1 B． C．17 D．18‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意易得数列的前3项，可得t的方程，解t值可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，，‎ 由等比数列可得，解得，‎ ‎ ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的求和公式，属基础题．‎ ‎7．正数满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据均值不等值，把已知条件转化成关于的不等式，解不等式即可 ‎【详解】‎ 解：因为是正数，所以，‎ 即，当，即时取等号，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得：（舍去）或，‎ 所以，即的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查均值不等式及解一元二次不等式，要注意均值不等式的条件（一正、二定、三相等）.‎ ‎8．已知x≥，则f（x）＝有 A．最小值1 B．最大值 C．最小值 D．最大值1‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，当且仅当即时等号成立 ‎【考点】均值不等式求最值 ‎9．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等差数列的性质前项和的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列和,所以,又,,‎ 故令有,即,所以 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的等和性质：‎ 若是等差数列,且,则 与等差数列前项和的性质 ‎10．下列结论正确的是（ ）‎ A．当且时, B．当时,‎ C．当时,的最小值是2 D．当时,无最大值 ‎【答案】B ‎【解析】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：A．当1＞x＞0时，lgx＜0，lgx2不成立；‎ B．当时,，正确；‎ C．当x≥2时，x2，不成立；‎ D．当0＜x≤2时，函数y＝x单调递增，当x＝2时，有最大值2，不正确．‎ 故选B．‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎11．已知等比数列满足，且，则当时，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为为等比数列，所以,.故C正确.‎ ‎【考点】1等比比数列的性质;2对数的运算法则.‎ ‎12．已知正实数满足，则的最小值为（ ）‎ A．10 B．11 C．13 D．21‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：正实数满足，‎ 则，‎ ‎，‎ 即：，‎ 当且仅当且，即时取等号，‎ 所以的最小值为11.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力．‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎14．已知数列，则其前项的和等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知此数列为，将代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公比的等差数列的前n项和，‎ 由公式可得：，所以数列通项：，‎ 求和得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.‎ ‎15．等比数列 的前 项和 ，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数列的首项是1，公比2，所以数列的首项是1，公比是4，所以数列的前项和是 .‎ ‎16．已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等式x+4y﹣xy＝0，变形得，将代数式x+y与代数式相乘并展开，利用基本不等式可求出x+y的最小值，从而可求出m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由于x+4y﹣xy＝0，即x+4y＝xy，等式两边同时除以xy得，，‎ 由基本不等式可得，‎ 当且仅当，即当x＝2y=6时，等号成立，‎ 所以，x+y的最小值为9．‎ 因此，m≤9．‎ 故答案为m≤9．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．‎ 三、解答题 ‎17．等比数列中，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式及其前项和公式.‎ ‎（2）若数列满足，求出数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）利用等比数列的通项公式求出，代入等比数列前项和公式，即可得出答案；‎ ‎（2）求出是首项为2，公差为2的等差数列，代入等差数列的前项和公式，直接计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）数列的公比为，已知，，，‎ 所以，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 则，‎ 故是首项为2，公差为2的等差数列，‎ 故数列的前项和.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，以及等比数列的通项公式，属于对公式的考查．‎ ‎18．已知不等式的解集是．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）由题意，利用根与系数的关系即可求得的值；‎ ‎（2）将的值代入分类讨论即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，，且和是方程的两根，‎ ‎，解得.‎ ‎（2）由（1）知，原不等式变为，‎ 若，即时，不等式的解为；‎ 若，即时，不等式的解为；‎ 若，即时，不等式的解为；‎ 综上：当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法和根与系数的关系，考查分类讨论思想，属于基础题.‎ ‎19．已知数列{an}为等比数列，a1=2，公比q＞0，且a2，6，a3成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=log2an，，求使的n的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）n的取值为1，2，3，4，5.‎ ‎【解析】（1）由a2，6，a3成等差数列，知12=a2+a3，由{an}为等比数列，且a1‎ ‎=2，故12=2q+2q2，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）由bn＝log22n＝n，知bnbn+1＝由此利用裂项求和法能够求出由的n的取值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由a2，6，a3成等差数列，‎ 得12=a2+a3‎ 又{an}为等比数列，且a1=2，‎ 故12=2q+2q2,解得q=2，或q=-3，‎ 又q＞0,∴q=2，‎ ‎∴,‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 故由，得n＜6，又n∈N ‎∴n的取值为1，2，3，4，5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎20．已知不等式．‎ ‎（1）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）讨论当时不是二次函数，成立；当时为二次函数要使在R上恒成立，则开口只能向下，代入计算即可。（2）通过，时为二次函数开口方向分别进行讨论即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）①当时，，显然恒成立．‎ ‎②当时，对恒成立，只需满足 解得 ‎ 综上，实数m的取值范围是．‎ ‎（2）令，‎ ‎①当时，，显然恒成立．‎ ‎②当时，的图象开口向上，对称轴为，‎ 若对恒成立，只需满足．‎ 即 ，‎ ‎.‎ ‎③当时，的图象开口向下，对称轴为 若对恒成立，只需满足，即，‎ 显然成立 ‎．‎ 综上，实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查二次函数恒成立问题，关键点通过分类讨论思想解决问题，属于较易题目。‎ ‎21．已知数列的前项和为，.当时.，，成等差数列.‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得，结合，可得与 之间的递推关系，进而可证明；‎ ‎（2）由（1）可求，进而可求，然后利用可求，然后利用错位相减可求前项和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：，，成等差数列，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ 是首项为，公比为3的等比数列，‎ ‎（2）解：由（1）可知，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 又，‎ 所以，‎ 设数列的前项和为，‎ ‎①‎ ‎②‎ 则①-②得：‎ 即.‎ 所以数列的前项和为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用数列的递推公式证明等比数列和等比数列的通项公式，以及错位相减求和方法的综合应用.‎ ‎22．东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本与科技成本的投入次数的关系是=.若水晶产品的销售价格不变,第次投入后的年利润为万元.①求出的表达式；②问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？‎ ‎【答案】（1）年利润为 ‎（2）从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元.‎ ‎【解析】解：(1). 第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，‎ 科技成本投入为100n, …………2分 所以，年利润为（）…………6分 ‎(2).由(1)（）‎ ‎=(万元) …………9分 当且仅当时 即时，利润最高，最高利润为520万元．…………11分 答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元． …………12分