数学文卷·2018届四川省双流中学高三11月月考（2017

数学文卷·2018届四川省双流中学高三11月月考（2017

四川省双流县中学11月月考 文科数学 一、选择题(本大题共12小题，共50.0分)‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.复数在复平面内对应的点的坐标是( ) A. B. C. D. ‎ ‎3.若样本平均数为，总体平均数为，则( ) A. B. C. 是的估计值 D. 是的估计值 4.若，则的值为( ) A. B. C. D. 5.已知变量满足，则的最大值是( ) A．2 B． C. -2 D．-8‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，当输入时，输出的值为( )‎ ‎ A. B. 1 C. D. 7.中国古代数学家赵爽设计的弦图(如图1) 是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100,小正方形的面积为4,则图2中菱形的一个锐角的正弦值为( )‎ ‎ A. B. C. D. 8.函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. 9.长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( ) A. B. C. 8 D.‎ ‎10.已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面,,则三棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D.‎ ‎11.已知椭圆的两个焦点是,是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. ‎ ‎ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) A. 1 B. 3 C. 4 D. 6‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20分)‎ ‎13.已知向量, , 则 ． 14.已知圆.圆与圆关于直线对称，则圆的方程是 ． 15.的三个内角所对的边分别为，,则角的最大值是 ． 16.定义在上的函数，对任意不,都有且,则 ．‎ 三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)‎ ‎17.在数列中. ,‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和． 18.城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示：‎ 组别 一 二 三 四 五 候车时间(分钟)‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）估计这15名乘客的平均候车时间； （2）估计这60 名乘客中候车时间少于10‎ ‎ 分钟的人数； （3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率． 19.如图，在四棱锥中，平面平面,且,.四边形满足,,.为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点.‎ ‎ （1）若为的中点，求证: 面平面；‎ ‎（2）是否存在点,使得直线与平面垂直? 若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由. 20.已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离之比均为. （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作两条相异直线分别与曲线相交于两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段的最大值． 21.已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1,求函数的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线,(为参数,).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，‎ 曲线,若直线与轴正半轴交于点，与曲线交于两点，其中点在第一象限． （1）写出曲线的直角坐标方程及点对应的参数(用表示)； （2）设曲线的左焦点为，若，求直线的倾斜角的值． 23.选修4-5: 不等式选讲 设函数 ‎ ‎（1）若对于恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数的最小值为，且正实数满足，求证：． ‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BADCB 6-10: CADBA 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 1 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）的两边同时除以，得,‎ 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列． 易得，所以．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以． 18.解:（1）这15名乘客的平均候车时间 约为(分钟) ‎ ‎（2）这15名乘客中候车时间少于10分钟的频率为，所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为． （3）将第三组乘客编号为,第四组乘客编号为，从6人中任选2人共包含以下15个基本事件，其中2‎ ‎ 人恰好来自不同组包含以下8个基本事件:‎ ‎，于是所求概率为．‎ ‎19.解:（1）∵分别为侧棱的中点，∴. ∵,∴. ∵面平面,且,面平面, ∴平面,结合平面,得. 又∵, ,∴平面,可得平面. ∴ 结合平面，得平面 平面. （2）存在点，使得直线与平面垂直. 平面中，过点作,垂足为 ∵由己知,,,. ∴根据平面几何知识，可得. 又∵由（1）平面,得 ,且,‎ ‎∴平面,结合平面,得. 又∵,∴平面. 在中，, ，, ∴，.‎ ‎∴上存在点，使得直线与平面垂直，此时线段长为. 20.解:（1）设曲线上的任意一点为,由题意得，整理得．即曲线的方程为 ‎（2）由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，因为，故可设直线的方程为，由消去得 ‎，‎ ‎ 因为在圆上，所以点的横坐标一定是该方程的解， 故可得，同理，，‎ 所以,‎ 故直线的斜率为定值,设直线的方程为，则圆的圆心到直线的距离，所以，‎ 所以当时，. 21.解:（1）∵ ,∴,∴， ∴ ,记，∴, 当时，,单减； 当时，, 单增， ∴, 故恒成立，所以在上单调递增 ‎（2）∵，令,∴，‎ 当时，,∴在上单增，∴. ⅰ）当即时，恒成立，即，∴在上单增， ∴，，所以．‎ ⅱ）当即时，∵在上单增，且，‎ 当 时，，‎ ‎∴使,即. 当时，，即 单减； 当时，，即单增． ∴， ∴，，由，∴．‎ 记,‎ ‎∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴．‎ 综上.‎ 选做题： 22.解:（1）由可得 即曲线的直角坐标方程为． 又由题意可知点的横坐标为0，代入, 得，．‎ ‎（2）由（1）知，直线恒过,将代入，化简可得，设对应的参数分别为，即 ，得，又，.‎ ‎23.解:（1）表示数轴上的动点到两定点的距离之和，故当或时，对于恒成立，即实数的取值范围为．‎ ‎（2）证明:因为，所以,即，故，又为正实数，所以，‎ 当且仅当时取等号． ‎