数学卷·2018届上海市静安区高三上学期期末教学质量监控（2018

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静安区2017学年度第一学期教学质量检测 高三数学试卷 2018.01‎ 考生注意：‎ ‎ 1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另附答题纸．‎ ‎ 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号等信息．‎ ‎ 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．‎ ‎ 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）‎ 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．‎ ‎1. 计算：__________．‎ ‎2.计算行列式 的结果是_________．（其中为虚数单位）‎ ‎3．与双曲线的渐近线相同，且经过点的双曲线的方程是_________．‎ ‎4．从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾、策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案共有__________种．（结果用数值表示）‎ ‎5．已知函数（）的反函数为，则函数的图像经过的定点的坐标为    ．‎ ‎6．在的展开式中，的系数是，则实数__________．‎ ‎7．已知点到直线的距离不小于3，则实数的取值范围是       .‎ ‎8．类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于点且单位长度相同）称为斜坐标系．在斜坐标系中，若（其中分别为斜坐标系的轴、轴正方向上的单位向量，），则点的坐标为.若在斜坐标系中，，点的坐标为，则点到原点的距离为 .‎ ‎9．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为 ‎，则该圆锥的侧面积等于 .‎ ‎10．已知函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为 ．‎ ‎11.已知函数，若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值集合为 .‎ ‎12.已知函数,若对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ ‎13. 已知无穷等比数列的各项之和为，首项，则该数列的公比为 【 】‎ A． B． C． D．或．‎ ‎14. 设全集，则 【 】 ‎ A． B． C． D．．‎ ‎15．两条相交直线、都在平面内，且都不在平面内．若有甲：和中至少有一条直线与相交；乙：平面与平面相交，则甲是乙的 【 】‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分也非必要条件．‎ ‎16．若曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为 【 】‎ A． B． C． D．．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎ 如图，在正三棱柱中, ,异面直线与所成角的大小为 ‎．‎ ‎（1）求正三棱柱的体积； ‎ ‎（2）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）．‎ B1‎ A1‎ C1‎ A C B ‎18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 在△中，角的对边分别是，设向量 且.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若，试确定实数的取值范围.‎ ‎19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为 (其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设.‎ (1) 当三点不共线时，求直角△的周长；‎ (2) 设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积为S(平方百米) ，试求S的最大值.‎ ‎20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ 如图,已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面对应点的轨迹为圆（圆心为）. 设复平面上的复数对应的点为，定直线的方程为，过的一条动直线与直线相交于点,与圆相交于两点，是弦中点. ‎ ‎（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；‎ ‎（2）当时，求直线的方程；‎ ‎（3）设,试问是否为定值？若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）‎ 已知数列的通项公式为，(N*)．‎ ‎(1) 若，，成等差数列，求的值；‎ ‎(2) 是否存在(且N*)与，使得，，成等比数列？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3) 求证：数列中的任意一项总可以表示成数列中的其它两项之积．‎ 静安区2017学年度第一学期教学质量检测 高三数学解答 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）‎ 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．‎ ‎1. 0；2.；3.；4.60种；5．；6．‎ ‎7.；8．；9．；10．‎ ‎11.；12.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ ‎13.B；14.D；15.C；16．A．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ B1‎ A1‎ C1‎ A C B 解：（1）是异面直线与所成的角，所以=………2分 因为，所以，………………4分 于是，三棱柱体积………6分 ‎（2）过B作BDAC，D为垂足，则BD平面，是直线与平面所成的角，………………8分 ‎，（），‎ 所以直线与平面所成的角为………………14分 ‎(，)‎ ‎18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 解：（1）且，………2分 又, 即 又中或即或……5分 若，则且，，‎ ‎………………………………………………6分 ‎（2）由可得 ‎………………8分 设，则，………………10分 ‎……………11分 在上单调增 实数的取值范围为((开区间)………………………………14分 ‎19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 解：（1），所以，；‎ 因为点不共线，所以，,;‎ ‎=;………………5分 直角△的周长==2………………6分 ‎(2)………………8分 ‎………………12分 当时，等号成立．………………13分 探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为平方百米．……14分 ‎20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ 解: (1)由已知，圆心, , ……………………2分 则 .故.‎ ‎ 所以直线与垂直. …………………4分 ‎（直线经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为）‎ ‎ (2) 当直线与轴垂直时,易知符合题意; ………………5分 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为. …………6分 由于,所以………………7分 由,解得. ………………9分 故直线的方程为或. ………………10分 ‎ (3)当与轴垂直时,易得,,又，则 ‎,故. ………………11分 当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得.则 ‎,即,………13分 ‎.又由得,则.‎ 故 ‎.‎ 综上,的值与直线的斜率无关,且. ……16分 ‎（3）另解:连结并延长交直线于点,连结由(1)知又,‎ 所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得 ‎. ……………16分 ‎21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）‎ 解：(1) ，，，‎ ‎∵，，成等差数列，∴，…………2分 化简得 ‎∵N*，∴．……………………4分 ‎(2) 假设存在这样的，满足条件，，，，‎ ‎∵，，成等比数列，∴，………………6分 去分母,展开得,化简得,‎ ‎∵N*，∴，当时,;当时,；等等．……………………8分 一般的,设,,则,.……9分 ‎∵N*，∴需为36的公约数,的取值集合为 ‎(或者列举)……………………11分 ‎(3) 即证存在，，使得……………………12分 即证：‎ ‎，…………15分 令，则∴对任意，,‎ 即数列中的任意一项总可以表示成数列中的其它两项之积．‎ ‎……………………18分 注:直接构造出与亦可，例如：，所以.‎