数学理卷·2018届安徽省江南十校高三3月综合素质检测（2018

数学理卷·2018届安徽省江南十校高三3月综合素质检测（2018

‎2018年安徽省“江南十校”综合素质检测 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.为虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3.是上奇函数，对任意实数都有，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.在区间上随机取两个数，，则函数有零点的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①“，都有”的否定是“，使”.‎ ‎②已知是等比数列，是其前项和，则，，也成等比数列.‎ ‎③“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件.‎ ‎④已知变量，的回归方程是，则变量，具有负线性相关关系.‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．③④‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，输出的和的值分别是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎7.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.意思是：“今有蒲草第一天，长为尺；莞生长第一天，长为尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”以下给出了问题的个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：，）（ ）‎ A．日 B．日 C．日 D．日 ‎8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若函数的导函数，的部分图象如图所示，，当时，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知，，实数满足，则 ．‎ ‎14.实数、满足，则的取值范围是 ．‎ ‎15.正四棱柱底面边长为，侧棱长为，、分别为棱、的中点，则四面体的外接球的表面积为 ．‎ ‎16.已知双曲线，的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为 ‎，离心率分别为，.则的最小值为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.等差数列的首项，公差，前项和满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，求证.‎ ‎18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；‎ ‎（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为，求该校被抽取的名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；‎ ‎（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人元；“一般生活方式者”奖励金额每人元；“超健康生活方式者”奖励金额每人元.求工会慰问奖励金额的分布列和数学期望.‎ 附：若随机变量服从正态分布，‎ 则，.‎ ‎19.如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20.线段为圆：的一条直径，其端点，在抛物线：上，且，两点到抛物线焦点的距离之和为.‎ ‎（1）求直径所在的直线方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线相交于点，求面积的最小值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.‎ 如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，等边的顶点都在上，且点，，依逆时针次序排列，点的极坐标为.‎ ‎（1）求点，，的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求点到直线距离的取值范围.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数，.‎ ‎（1）当，解不等式；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎2018年安徽省“江南十校”综合素质检测 数学（理科）解析及评分标准 一、选择题 ‎1-5: CBADD 6-10: ACDAD 11、12：CD 二、填空题 ‎13. 或 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，∴，得，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，∴，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴，∴，‎ ‎.‎ ‎18.解：（1）.‎ ‎（2）∵，∴，，‎ ‎∴.‎ 走路步数的总人数为人.‎ ‎（3）由题意知的可能取值为，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 则的分布列为：‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，∴，‎ 由已知得为等腰直角三角形，因此，又，‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎（2）∵，平面，平面，∴平面，‎ ‎∵平面平面，∴，‎ 由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可得，进而可得，，，，，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 可取，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 可取，‎ 则，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）设，，抛物线的焦点为，则，‎ 又，故，∴，‎ 于是的方程为.‎ ‎，则，‎ ‎∴的直线方程为.‎ ‎（2）不妨记，，，直线的方程为，‎ 联立得，‎ 则，，‎ 又因为，则，‎ 同理可得：，‎ 故，为一元二次方程的两根，‎ ‎∴，‎ 点到直线的距离，‎ ‎，‎ ‎∴时，的面积取得最值.‎ ‎21.解：（1）当时，的定义域为，‎ ‎，令得：‎ ‎，，‎ ‎∴的单调递增区间为.‎ 当时，的定义域为，，‎ 当即时，的单调增区间为，‎ 当，即时，.‎ 的单调递增区间为和.‎ ‎（2）由（1）知当时，在内单调递增，，‎ 故只有一个零点，‎ 当时，在处取极大值，处取极小值.‎ 由知，而，则，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴当时，函数只有一个零点，‎ 当时，‎ 令，‎ ‎，在单调递减，在单调递增，‎ ‎，∴（当且仅当时，等号成立），‎ i）时，‎ ‎，，，‎ 由（1）函数单调性知，，所以函数在存在零点，‎ ‎∴在有两个零点.‎ ii）时，‎ ‎，，，‎ 同理可得函数在存在零点，‎ ‎∴在有两个零点.‎ iii）时，‎ ‎，函数在有一个零点.‎ 综上所述：‎ 当或时，函数有一个零点，‎ 当且时，函数有两个零点.‎ ‎22.解：（1）由，可得点的直角坐标，‎ 由已知，点的极坐标为，可得两点的直角坐标为，‎ 点的极坐标为，同理可得两点的直角坐标为.‎ ‎（2）直线的方程为，‎ 设点，则点到直线距离 ‎（其中，），‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.‎ ‎23.解：（1）当，‎ 或或 或或 或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）.‎