2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章　第8讲　曲线与方程

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章　第8讲　曲线与方程

第8讲　曲线与方程 一、知识梳理 ‎1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．‎ ‎2．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．‎ ‎3．求动点的轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建系——建立适当的坐标系．‎ ‎(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．‎ ‎(3)列式——列出动点P所满足的关系式．‎ ‎(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简．‎ ‎(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．‎ 常用结论 ‎1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．‎ ‎2．曲线的交点与方程组的关系 ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；‎ ‎(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．‎ 二、教材衍化 ‎1．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)‎ A．双曲线　　　　　 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 解析：选D.由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．‎ ‎2．曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________．‎ 解析：在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为________．‎ 解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．‎ 答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．(　　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)‎ ‎(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)‎ ‎(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；‎ ‎(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．‎ ‎1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．‎ ‎(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．‎ 解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则 ＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．‎ ‎(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距离相等，其轨迹是抛物线，且＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．‎ 答案：(1)圆　(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)‎ ‎2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．‎ 解析：由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．‎ 答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)‎ ‎　　　　　　直接法求轨迹方程(师生共研)‎ ‎ 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，2)，定点P(1，1)．‎ ‎(1)求△ABC外接圆的标准方程；‎ ‎(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．‎ ‎【解】　(1)由题意得AC的中点坐标为(0，)，AB的中点坐标为，kAC＝，kAB＝1，故AC中垂线的斜率为－，AB中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y－＝－x，AB的中垂线的方程为y－＝－.‎ 由 得 所以△ABC的外接圆圆心为(2，0)，半径r＝2＋1＝3，故△ABC外接圆的标准方程为(x ‎－2)2＋y2＝9.‎ ‎(2)设弦EF的中点为M(x，y)，△ABC外接圆的圆心为N，则N(2，0)，‎ 由MN⊥MP，得·＝0，‎ 所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，‎ 整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0，‎ 所以弦EF中点的轨迹方程为＋＝.‎ ‎(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．‎ ‎(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．　 ‎ ‎　已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.‎ ‎(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎(2)记(1)中轨迹为C，若过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．‎ 解：(1)由|MP|＝5|MQ|，得＝5，‎ 化简得x2＋y2－2x－2y－23＝0，‎ 所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为2×＝8，‎ 所以l：x＝－2符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＋3＝0，‎ 圆心(1，1)到l的距离d＝，‎ 由题意，得＋42＝52，解得k＝，‎ 所以直线l的方程为x－y＋＝0，‎ 即5x－12y＋46＝0.‎ 综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.‎ ‎　　　　　　定义法求轨迹方程(师生共研)‎ ‎ 已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0，1)与点M(x，y)的距离为n.‎ ‎(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；‎ ‎(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．‎ ‎【解】　(1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，－4)，C2(0，2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率不存在，所以圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.‎ ‎(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0，1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.‎ 定义法求轨迹方程 ‎(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．‎ ‎(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．　 ‎ ‎1．已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________________．‎ 解析：设A(x，y)，由题意可知D.又因为|CD|＝3，所以＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y≠0，所以点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．‎ 答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)‎ ‎2.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M，求曲线M的方程．‎ 解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，‎ 所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．‎ 设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，‎ 则a2＝4，b2＝a2－＝3，‎ 所以曲线M的方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎　　　　　　相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)‎ ‎ 如图所示，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)求动点M的轨迹方程．‎ ‎【解】　(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，‎ 代入y2＝2px，解得p＝1.‎ ‎(2)由(1)知抛物线E：y2＝2x.‎ 设C，D，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝k，代入y2＝2x，‎ 得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0，解得k＝，‎ 所以l1的方程为y＝x＋，‎ 同理l2的方程为y＝x＋.‎ 联立解得 易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，‎ 其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2，2 ]，‎ 由得x0y2＋2y0y－16＝0，‎ 则代入 可得M(x，y)满足可得 代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，‎ 考虑到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]，‎ 所以动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．‎ ‎　 ‎ ‎1.如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.‎ ‎(1)求N点的轨迹方程；‎ ‎(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．‎ 解：(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，‎ 则M的坐标为(x1，0)，且x＝x1，‎ 所以＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，‎ ＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，‎ 由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．‎ 所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.‎ 因为P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，‎ 则＋y＝1，所以＋(1＋λ)2y2＝1，‎ 故＋(1＋λ)2y2＝1为所求的N点的轨迹方程．‎ ‎(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，‎ 解得λ＝－或λ＝－.‎ 故当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．‎ ‎2．已知曲线E：ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0，2)，求曲线E的方程．‎ 解：设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M，‎ 故＝，＝.‎ 由于＝－2，‎ 所以＝－2.‎ 所以x0＝，y0＝－1，即A.‎ 因为A，B都在曲线E上，‎ 所以解得 所以曲线E的方程为x2＋＝1.‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)‎ A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔ 故或 ‎2．(2020·银川模拟)设D为椭圆＋x2＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．x2＋(y－2)2＝20‎ B．x2＋(y＋2)2＝20‎ C．x2＋(y－2)2＝5‎ D．x2＋(y＋2)2＝5‎ 解析：选B.设点P坐标为(x，y)．因为D为椭圆＋x2＝1上任意一点，且A，B为椭圆的焦点，所以|DA|＋|DB|＝2.又|PD|＝|BD|，所以|PA|＝|PD|＋|DA|＝|DA|＋|DB|＝2，所以＝2，所以x2＋(y＋2)2＝20，所以点P的轨迹方程为x2＋(y＋2)2＝20.故选B.‎ ‎3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　　)‎ 解析：选D.当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，故y′＝1－(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D项图象所示，故选D.‎ ‎4．(2020·兰州模拟)已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝－8x　　　　　　　 B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 解析：选A.设P(x，y)，M(－2，0)，N(2，0)，||＝4.则＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由||·||＋·＝0，得4＋4(x－2)＝0，化简整理得y2＝－8x.故选A.‎ ‎5．(2020·郑州模拟)动点M在圆x2＋y2＝25上移动，过点M作x轴的垂线段MD，D为垂足，则线段MD中点的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1 B．＋＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ 解析：选B.如图，设线段MD中点为P(x，y)，M(x0，y0)，D(x0，0)，因为P是MD的中点，‎ 所以又M在圆x2＋y2＝25上，所以x＋y＝25，即x2＋4y2＝25，＋＝1，所以线段MD的中点P的轨迹方程是＋＝1.故选B.‎ ‎6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．‎ 解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.‎ 答案：y＝2x－2‎ ‎7．△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．‎ 解析：如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.‎ ‎|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，‎ 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为－＝1(x>3)．‎ 答案：－＝1(x>3)‎ ‎8．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．‎ 解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.‎ 答案：x2＋y2＝4‎ ‎9．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．‎ ‎(1)△PAB的周长为10；‎ ‎(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；‎ ‎(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．‎ 解：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.‎ 因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，‎ 因此|PA|－|PB|＝1.‎ 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，‎ 且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.‎ ‎(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.‎ 因此其轨迹方程为y2＝－8x.‎ ‎10．(2020·宝鸡模拟)已知动圆P恒过定点，且与直线x＝－相切．‎ ‎(1)求动圆P圆心的轨迹M的方程；‎ ‎(2)在正方形ABCD中，AB边在直线y＝x＋4上，另外C，D两点在轨迹M上，求该正方形的面积．‎ 解：(1)由题意得动圆P的圆心到点的距离与它到直线x＝－的距离相等，‎ 所以圆心P的轨迹是以为焦点，直线x＝－为准线的抛物线，且p＝，所以动圆P圆心的轨迹M的方程为y2＝x.‎ ‎(2)由题意设CD边所在直线方程为y＝x＋t.‎ 联立消去y，整理得x2＋(2t－1)x＋t2＝0.‎ 因为直线CD和抛物线交于两点，‎ 所以Δ＝(2t－1)2－4t2＝1－4t＞0，解得t＜.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝1－2t，x1x2＝t2.‎ 所以|CD|＝ ‎＝＝.‎ 又直线AB与直线CD之间的距离为|AD|＝，|AD|＝|CD|，‎ 所以＝，解得t＝－2或t＝－6，‎ 经检验t＝－2和t＝－6都满足Δ＞0.‎ 所以正方形边长|AD|＝3或|AD|＝5，‎ 所以正方形ABCD的面积S＝18或S＝50.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)‎ A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)‎ D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)‎ 解析：选A.设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．‎ ‎2．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)‎ A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9‎ C.＋＝1 D．x2＝16y 解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.‎ A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．‎ ‎3.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.‎ ‎4．(2020·四川成都石室中学模拟)已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)和一动点P，给出下列结论：‎ ‎①若|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆；‎ ‎②若|PF1|－|PF2|＝1，则点P的轨迹是双曲线；‎ ‎③若＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P的轨迹是圆；‎ ‎④若|PF1|·|PF2|＝a2(a≠0)，则点P的轨迹关于原点对称；‎ ‎⑤若直线PF1与PF2的斜率之积为m(m≠0)，则点P的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．‎ 其中正确的是________．(填序号)‎ 解析：对于①，由于|PF1|＋|PF2|＝2＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2，故①不正确．‎ 对于②，由于|PF1|－|PF2|＝1，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．‎ 对于③，设P(x，y)，由题意得＝λ，整理得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋(2＋2λ2)x＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x2＋y2＋x＋＝0，所以点P的轨迹是圆，故③正确．‎ 对于④，设P(x，y)，则|PF1|·|PF2|＝·＝a2.又点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因为·＝·＝a2，所以点P′(－x，－y)也在曲线·＝a2上，即点P的轨迹关于原点对称，故④正确．‎ 对于⑤，设P(x，y)，则kPF1＝，kPF2＝，由题意得kPF1·kPF2＝·＝＝m(m≠0)，整理得x2－＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确．‎ 综上，正确结论的序号是③④.‎ 答案：③④‎ ‎5．(一题多解)(2020·东北三省四市一模)如图，已知椭圆C：＋＝1的短轴端点分别为B ‎1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.‎ ‎(1)求动点N的轨迹方程；‎ ‎(2)求四边形MB2NB1面积的最大值．‎ 解：(1)法一：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．‎ 由题知B1(0，－3)，B2(0，3)，‎ 所以kMB1＝，kMB2＝.‎ 因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，‎ 所以直线NB1：y＋3＝－x，①‎ 直线NB2：y－3＝－x，②‎ ‎①×②得y2－9＝x2.‎ 又因为＋＝1，‎ 所以y2－9＝x2＝－2x2，‎ 整理得动点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．‎ 法二：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．‎ 由题知B1(0，－3)，B2(0，3)，‎ 所以kMB1＝，kMB2＝.‎ 因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，‎ 所以直线NB1：y＋3＝－x，①‎ 直线NB2：y－3＝－x，②‎ 联立①②，解得 又＋＝1，‎ 所以x＝－，‎ 故代入＋＝1，得＋＝1.‎ 所以动点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．‎ 法三：设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，‎ 则直线NB1：y＝－x－3，①‎ 直线MB1与椭圆C：＋＝1的交点M的坐标为.‎ 则直线MB2的斜率为kMB2＝＝－.‎ 所以直线NB2：y＝2kx＋3.②‎ 由①②得点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．‎ ‎(2)由(1)方法三得直线NB1：y＝－x－3，①‎ 直线NB2：y＝2kx＋3，②‎ 联立①②解得x＝，即xN＝，故四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×＝＝≤，当且仅当|k|＝时，S取得最大值.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝2.‎ ‎(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ＞1)，求证：＝λ.‎ 解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y＝(x＋)，①‎ 直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②‎ 设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－6)，‎ 又mn＝2，整理得＋＝1.故点M的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设过点R的直线l：x＝ty＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，‎ 由消去x，得(t2＋3)y2＋6ty＋3＝0，(*)‎ 所以y1＋y2＝－，y1y2＝.‎ 由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，‎ 由(1)得F(2，0)，要证＝λ，即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，　‎ 只需证2－x1＝λ(x2－2)，只需证＝－，即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，又x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6，所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，‎ 而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，得证．‎