北京市大兴区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市大兴区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

大兴区2019～2020学年度第一学期期中检测试卷 高二数学 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.设，则一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用不等式的性质即可判断出D的正误．‎ ‎【详解】因为，‎ 选项A中，取，，可知，因此不正确；‎ 选项B中，取，，可知和不存在，因此不正确；‎ 选项C中，取，，可知，因此不正确；‎ 选项D中，由，根据不等式的性质，可知正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题.‎ ‎2.若数列满足，，则（ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的递推关系，逐步求解，得到答案.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列中的项，属于简单题.‎ ‎3.若，，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式，求出的最大值，得到答案.‎ ‎【详解】因为，，且，‎ 由基本不等式得，‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据基本不等式求积的最大值，属于简单题.‎ ‎4.若数列满足，则的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据裂项相消法求出其前项的和.‎ ‎【详解】因为 所以前项和 ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查裂项相消法求数列的和，属于简单题.‎ ‎5.设是任意实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案.‎ ‎【详解】根据基本不等式可知，‎ 所以由可以得到，‎ 当，，时，满足，但不满足 所以由不能得到，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题.‎ ‎6.已知地球运行的轨道是焦距为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率得到椭圆的，根据椭圆的几何性质，得到最小距离，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为地球椭圆轨道的焦距为，离心率为，‎ 所以由，得，‎ 而太阳在这个椭圆的一个焦点上，‎ 所以地球到太阳的最小距离为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的定义，椭圆上的点到焦点的距离，属于简单题.‎ ‎7.若椭圆的右焦点关于直线的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线斜率以及对称点的性质，求出到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出与之间的关系，然后求解离心率，得到答案.‎ ‎【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，‎ 设与直线交于点，‎ 由题意可知为线段的中点，‎ 所以，‎ 又因，‎ 所以，，‎ 在中，，，可得，，‎ 故，，‎ 根据椭圆的定义，得，‎ 即，得，‎ 所以，‎ 所以椭圆离心率.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义和几何性质，点关于直线的对称点，属于中档题.‎ ‎8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是函数的零点，得到的大小关系，从而得到成等差数列和等比数列的情况，得到关于的方程，求出的值，从而得到 ‎【详解】因为是函数的两个不同的零点，‎ 所以，，‎ 可得都是正数，‎ 由，可得，‎ 所以，‎ 不妨假设，‎ 这三个数可适当排序后成等差数列，‎ 则需按从大到小或从小到大排列，‎ 为的等差中项，即或成等差数列，‎ 所以，‎ 这三个数可适当排序后成等比数列，‎ 则需为的等比中项，即或成等比数列，‎ 即 所以解得，，（舍去负值）‎ 从而得到，，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.‎ 二、填空题共6小题，每题5分，共30分.‎ ‎9.不等式的解集为________________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将原不等式变形为，∴不等式的解集为.‎ 考点：解一元二次不等式.‎ ‎10.命题“”的否定是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据全称命题的否定为特称命题可得：“”的否定是，故答案为.‎ ‎11.椭圆上点的纵坐标的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将椭圆化为标准方程，从而得到答案.‎ ‎【详解】椭圆的标准方程为，‎ 从而得到点的纵坐标的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆上点的范围，属于简单题.‎ ‎12.已知数列的前项和，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到关于的方程，得到的值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.‎ ‎13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 问题转化为对恒成立，根据基本不等式，得到的最小值，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为不等式对恒成立，‎ 所以问题转化对恒成立，‎ 即，‎ 因为，由基本不等式，得，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以得到.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于简单题.‎ ‎14.定义“等积数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.已知数列是，公积为的等积数列，则______；数列的前项和______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等积数列的定义，得到，，，，，得到为周期为的数列，从而得到数列的第三项以及前项的和.‎ ‎【详解】数列是等积数列，，公积为，‎ 所以，，，‎ 所以前项的和 ‎，有个，个，‎ 所以，得到当为偶数时，‎ ‎，有个，个，‎ 所以，得到当为奇数时，‎ 所以 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查数列的新定义，数列的周期性，属于中档题.‎ 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.（1）已知，求证：.‎ ‎（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）时，最小值是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过作差法，进行证明；‎ ‎（2）配凑基本不等式形式，利用基本不等式，得到和的最小值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以当时，的值最小，最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查作差法证明不等式，根据基本不等式求和的最小值，属于简单题.‎ ‎16.设是等差数列，，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和的最小值；‎ ‎（3）若是等差数列，与的公差不相等，且，问：和中除第 ‎5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）‎ ‎【答案】（1）；（2），或时，取得最小值；（3）和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的基本量和等比中项的性质，得到关于公差的方程，从而得到通项公式；‎ ‎（2）根据（1）所得的通项，从而得到前项的和；‎ ‎（3）设的通项，根据列出方程组，得到方程组无解，得到答案.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，.‎ 因为，，成等比数列，‎ 所以，‎ 即有，‎ 解得，‎ 则.‎ ‎（2）由（1）中等差数列的通项，‎ 所以的前项和，‎ 由于为自然数，可得或时，取得最小值.‎ ‎（3）设和中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项，‎ 设为第项，和相同，则，‎ 设 根据与的公差不相等，可知 由，得，即，‎ 由和相同，得到 则，‎ 即 整理得，‎ 因为且，所以方程无解.‎ 故和中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项.‎ ‎【点睛】本题考查等比中项的应用，等差数列通项中基本量的计算，等差数列的和的最小值，属于中档题.‎ ‎17.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）求使的的取值范围；‎ ‎（3）写出“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据解一元二次不等式，得到答案；‎ ‎（2）按，，进行分类讨论，得到满足的的取值范围；‎ ‎（3）由（2）可知满足题意.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 所以不等式，即为 所以解集为.‎ ‎（2）由，可得，‎ 即，‎ 所以当时，不等式的解集为，‎ 当时，不等式的解集为，‎ 当时，不等式的解集为 ‎（3）由（2）可知，当时，‎ ‎，恒成立，‎ 所以“函数在上的图象在轴上方”的一个充分条件为.‎ ‎【点睛】本题考查解不含参的一元二次不等式，分类讨论解一元二次不等式，写出充分条件，属于简单题.‎ ‎18.已知椭圆两个焦点分别是，，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）当取何值时，直线与椭圆有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？‎ ‎【答案】（1）；（2）时，直线与椭圆有两个公共点；或时，直线与椭圆只有一个公共点；或时，直线与椭圆没有公共点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的焦点，得到，将点代入椭圆方程，得到的方程，解出的值，从而得到答案；‎ ‎（2）直线与椭圆联立，根据与的关系，得到关于的不等式，得到答案.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的标准方程为，‎ 因为椭圆的焦点分别是，，‎ 所以，‎ 将点代入椭圆方程得，‎ 根据，得到，，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）直线与椭圆联立，‎ ‎，得，‎ 则，‎ ‎①当，即，解得，‎ 方程有两个不同的实数根，‎ 即直线与椭圆有两个公共点；‎ ‎②当，即，解得或，‎ 方程有两个相同的实数根，‎ 即直线与椭圆只有一个公共点；‎ ‎③当，即，解得或，‎ 方程没有实数根，‎ 即直线与椭圆没有公共点；‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆上的点求椭圆方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求参数的范围，属于中档题.‎ ‎19.设是等比数列，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）在和之间插入个数，其中，，使这个数成等差数列.记插入的个数的和为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据得到公比，再结合，得到的通项；‎ ‎（2）由（1）得到的通项，然后根据等比数列的求和公式，得到答案；‎ ‎（3）根据个数成等差数列，得到，再由，从而解得的值，得到的最大值.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，‎ 因为，所以；‎ ‎（2），‎ 所以 ‎；‎ ‎（3）因为，‎ 所以，‎ 因为在和之间插入个数，这个数成等差数列，‎ 所以，‎ 设的第项最大，则，‎ 即，解得，‎ 所以或时，取得最大值，.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的求法，等比数列前项和的求法，求数列中的最大项，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆经过点，离心率为.过原点的直线与椭圆有两个不同的交点.‎ ‎（1）求椭圆长半轴长；‎ ‎（2）求最大值；‎ ‎（3）若直线分别与轴交于点，求证：的面积与的面积的乘积为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆过点得到的值，结合离心率得到的值，得到答案；‎ ‎（2）根据椭圆的几何特点，得到与轴重合时，最大，从而得到答案；‎ ‎（3）根据对称性设，，表示出直线、，得到、坐标，从而表示出的面积与的面积，得到面积的乘积为定值.‎ ‎【详解】（1）因为椭圆过点，所以，‎ 因为离心率为，所以，‎ 而，所以，‎ 所以求椭圆长半轴长为；‎ ‎（2）由（1）可得椭圆的标准方程为，‎ 过原点的直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 可知当为长轴时候最长，‎ 此时.‎ ‎（3）由对称性可知、两点关于原点对称，‎ 所以设，则，‎ 不妨假设，‎ 则直线的方程为，‎ 令，得到，‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以，‎ 所以 而在椭圆上，所以，即，‎ 所以.‎ 所以的面积与的面积的乘积为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆几何性质，求椭圆的长轴长，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，属于中档题.‎