2019-2020学年云南省玉溪一中高二上学期第一次月考数学（文）试题 Word版

2019-2020学年云南省玉溪一中高二上学期第一次月考数学（文）试题 Word版

玉溪一中 2021 届高二上学期第一次月考文 科 数 学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 命题人：‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。‎ ‎1.若集合 A = {x 0 £ x £ 1}，B = {x x2 - 2x £ 0}，则 A I B = A.[0,2]‎ ‎B.[0,1]‎ ‎C.f D.[1,2]‎ ‎2．把二进制数10110(2) 化为十进制数为 A. 22 B. 44 C. 24 D. 36‎ ‎3．直线 x + (m +1) y + 2 = 0 与直线 mx + 2 y -1 = 0 平行，则 m = A. - 2‎ ‎B. 1或- 2‎ ‎C．1 D． 2或-1‎ ‎4．已知等比数列{an}中， a2a3a4 = 1， a6a7 a8 = 64 ，则 a4a5a6 = A. ± 8‎ ‎B. - 8‎ ‎C． 8 D．16 1‎ 5. 一个算法的程序框图如图(1)所示，若该程序输出的结果是 ，‎ ‎4‎ 则判断框中应填入的条件是 ‎‎ 图(1)‎ A. i > 4?‎ ‎B. i < 4?‎ ‎C. i < 3?‎ ‎D. i > 3?‎ 6. 已知 m, n 是两条不同的直线，a,b是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．a// b，m //a，n Ì b,则m // n B． m //a，m // n，则n //a C．a^ b, m / /n, m ^ a，则 n / /b D． m ^ a, m / /n ，则 n ^a 图（2）‎ 7. 下列函数中，与函数 y = 3 x 的奇偶性相同，且在区间(-¥,0) 上的单调性也相同的是 A．y = 1- x2‎ ‎‎ B．y = log2 | x |‎ ‎C．y = - 1‎ x ‎‎ D．y = x3 -1‎ 8. 一个四棱锥的三视图如图(2)所示，则该四棱锥的体积为 ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎6‎ A. B. 3 C. D. 3‎ ‎1 / 4‎ 5. 已知函数 f ( x) = sin æwx + pö( x Î R,w> 0) 的最小正周期为p，将 y = f ( x) 的图象向 ç 4 ÷ è ø 右平移j个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则j的一个值是 A． 5p B． p C． 3p D. p ‎8 2 8 4‎ 6. 直线 y = kx + 3与圆O : x2 + y2 = 1 相交于 A, B 两点，则DOAB 面积的最大值为 ‎1‎ A.1 B．‎ ‎2‎ C. ‎ 4‎ D. ‎ 4‎ ‎ ‎ 7. 已知平面向量 a，b ，若 a + b 与a 的夹角为 ‎p， a + b 与b 的夹角为p，则 = a b ‎6 4‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎2‎ A. B. C. D.‎ ‎2 4 3‎ 8. 定义在 R 上的奇函数 y = f ( x) 为减函数，若m 、n 满足 f (m2 - 3m) + f (3n - n2 ) ³ 0 ，‎ 则当 3 £ n £ 2 时，‎ ‎2‎ ‎m 的取值范围为 ê ú ú ë ‎2 û û n ú û A． é- 2 ù ‎B． é 3 ù ‎C． é 1 3 ù ‎ ‎ ‎D. é 1 ，ù ëê 3 ,1‎ ‎1, 2 úû ‎êë 2 ，‎ ‎êë 2 1‎ 图（3）‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。‎ ìx - y +1 ³ 0‎ í 9. 已知 x, y 满足约束条件ïx + y -1 £ 0 ，则 z = x - 2 y 的最小值 î ï y ³ -1‎ 为 ．‎ 10. 有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图（3）所示，‎ 据图知，样本数据在[8，10) 内的频数为 .‎ p 11. 若a是第四象限角， sin(‎ ‎3‎ ‎+a) = - 2‎ ‎5‎ ‎p ‎，则sin(‎ ‎6‎ ‎‎ -a) = .‎ ‎2 / 4‎ ‎16．已知实数 x > 0 ， y > 0 ， x + 2 y + 2xy = ‎21 ，则 x + 2 y 的最小值是 ．‎ ‎4‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分 10 分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取 停车距离 d（米）‎ [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 频数 ‎24‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎100 名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 试验数据分别列于表 1 和表 2.统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表.‎ 表 1‎ 平均每毫升血液酒精含量 x 毫克 ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎90‎ 平均停车距离 y 米 ‎30‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎90‎ 表 2‎ （1） 根据最小二乘法，由表 2 的数据计算 y 关于 x 的回归方程 yˆ = bˆx + aˆ ；‎ （2） 该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离” y 大于无酒状态下（表 1）的停车距离平均数的3 倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（1）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？‎ ån ( x - x )( y ‎- y ) ‎ån x y ‎- nx × y ‎ ‎ i=1 i 附：回归方程 yˆ = bˆx + aˆ 中， bˆ = ‎i=1 i i ‎= i=1 i i ‎, aˆ = y - bˆx .‎ i=1‎ i ån ( x - x )2‎ ‎ån x2 - nx 2‎ ‎)‎ ‎18．（本小题满分 12 分）设函数 f (x) = sin x cos x - cos2 (x + p .‎ ‎4‎ é p pù （1） 求函数 f (x) 在区间 êë- 8 , 2 úû 上的最值；‎ （2） 在DABC 中，若 f ( A) = 0, a = 1 ， b = c ，求DABC 的面积.‎ ‎2‎ ‎19. （本小题满分 12 分）已知 Sn 为等差数列{an }的前n 项和，且 S2 = 1 ， 2a5 + a2 = 6 ， 记bn = [an ] ，其中[x] 表示不超过 x 的最大整数，如[0.9] = 0 ，[2.6] = 2 ，[4] = 4 , Tn 表 ‎3 / 4‎ 示数列{bn }的前 n 项和.‎ （1） 求数列{an } 的通项公式；‎ （2） 求T5 和T20 .‎ ì ln x , x > 0‎ î ‎20.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = íx2 + 4x +1, x £ 0 ， g(x) = ‎‎ f (x) - a .‎ （1） 当 a = 3 时，求函数 g (x) 的零点；‎ （2） 若函数 g (x) 有三个零点，求a 的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， P 、Q 分别是 AA1 、 A1C1 的中点.‎ （1） 设棱 BB1 的中点为 D ，证明： C1D / / 平面 PQB1 ；‎ （2） 若 AB = 2 ，AC = AA = AC = 4 ，ÐAA B = 60° ，且平面 AAC C ^ 平面 AA B B ；‎ ‎1 1 1 1 1 1 1 1‎ 求三棱柱 ABC - A1B1C1 的高.‎ ‎22．（本小题满分 12 分）如图，圆 M : (x - 2)2 + y2 = 1，点 P(-1, t) 为直线l : x = -1上一 动点，过点 P 引圆 M 的两条切线，切点分别为 A,B ．‎ （1） 若t = -1，求切线所在直线方程；‎ （2） 求 AB 的最小值.‎ ‎4 / 4‎ ‎2021 届高二第一次月考参考答案文 科 数 学 一、选择题：‎ BABCC DBACB DD 二、填空题 ‎13. -2 14. 76 15.‎ ‎21 16. 3‎ ‎5‎ 三、解答题：‎ ‎5‎ ‎17．（1）依题意，可知 x = 50, y = 60 ， 1 分 åxi yi = 10 ´ 30 + 30 ´ 50 + 50 ´ 60 + 70 ´ 70 + 90 ´ 90 = 17800 ， 2 分 ‎5‎ i=1‎ åx2 = 102 + 302 + 502 + 702 + 902 = 16500 ， 3 分 i i=1‎ ‎å5 x y ‎‎ - ‎5x × y ‎‎ ‎17800 - 5´ 50 ´ 60 7‎ bˆ = ‎i=1 i i = = ‎...................4 分 å5 x2 - 5x 2‎ ‎16500 - 5´ 502 10‎ i=1 i aˆ = y - bˆx = 60 - ‎7 ´ 50 = 25‎ ‎10‎ 所以回归直线方程为 yˆ = 0.7x + 25 ． 5 分 ‎（2）停车距离的平均数为 d = 15´ ‎24‎ ‎100‎ ‎‎ + 25´ ‎40‎ ‎100‎ ‎+ 35´ 30‎ ‎100‎ ‎‎ + 45´ ‎4‎ ‎100‎ ‎‎ + 55´ ‎2‎ ‎100‎ ‎‎ = 27‎ ‎.................7 分 当 y > 3´ 27 ，即y > 81 时认定驾驶员是“醉驾”， 令 yˆ > 81，得0.7x + 25 > 81，解得x > 80 ，‎ 所以当每毫升血液酒精含量大于 80 毫克时认定为“醉驾” 10 分 sin 2x ‎18. （1）由题意知 f (x)‎ ‎1+ cos(2 x + p = - ‎)‎ ‎2‎ ‎‎ = sin 2x - ‎‎ ‎1- sin 2x ‎‎ = sin 2x - 1‎ ‎2 2 2 2‎ 令t = 2x ，则t Î[- p,p]，f (t) = sin t - 1 ，‎ ‎2 ...2 分 ‎4‎ 所以 f (x) 的最大值为 1 ，最小值为- ‎2‎ ‎2‎ ‎2 +1‎ ‎; 6 分 ‎2‎ A 1 1‎ ‎p 5p ‎（2）由 f ( ) = sin A - = 0 ，得sin A = , Q ‎2 2 2‎ ‎A Î(0,p) A = 或 A = ‎6 6 8 分 ‎3‎ A = p时， a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ， b = c 得bc = 2 + ， S = 1 bc sin A = 2 + ‎3‎ ‎；...10 分 ‎6 2 4‎ ‎3‎ A = 5p时，a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ，b = c 得bc = 2 - ，S = 1 bc sin A = 2 - ‎3‎ ‎... 12 分 ‎6 2 4‎ ìa1 + a2 = 2‎ ‎ì2a1 + d = 2‎ ‎1 3 3 2‎ ‎19.（1）有í2a + a ‎，可得í = 6‎ ‎3a ‎+ 9d = 6 ，解得 a1 = 5 ， d = 5 ，所以 an = 5 n - 5‎ î 5 2 î 1‎ ‎......6 分 ‎（2） b1 = 0,b2 = 0,b3 = 1,b4 = 2,b5 = 2 ，所以T5 = 5‎ ‎3‎ 因为 ak +5 = ak + 5´ 5 = ak + 3 ，所以bk +5 = bk + 3 ， 所以 ‎...........8 分 T20 = (b1 + b2 +L+ b5 ) + (b6 + b7 +L+ b10 ) + (b11 + b12 +L+ b15 ) + (b16 + b17 +L+ b20 )‎ = T5‎ ‎+ (T5‎ ‎+15) + (T5‎ ‎+ 45) = (T5 + T5 + 45) ´ 4 = 110LL12分 ‎2‎ ‎20.（1） x > 0 时， ln x = 3‎ ‎ln x = 2 ，得 x = e3或 1 ；‎ e3‎ x < 0 时， x2 + 4x +1 = 3 ，得 x = -2 - ‎6‎ 所以零点有三个，分别为e3, 1 ,-2 - e3‎ ‎6或- 2 + ‎.‎ ‎（舍）‎ ‎6‎ ‎..............................6 分 ‎（2）可由图像得 a Î(1, +¥) È{0}‎ ‎..........................12 分 ‎21.（1）证明：连接 AD ， Q D 是 BB1 的中点， P 是 AA1 的中点，‎ 可由棱柱的性质知 AP / / DB1 ，且 AP = DB1 ；四边形 ADB1P 是平行四边形 AD / / PB1‎ Q P, Q 分别是 AA1 、 A1C1 的中点 AC1 / / PQ 平面 AC1D / / 平面 PQB1‎ C1D Ì 平面 AC1D ，‎ ‎C1D / / 平面 PQB1‎ ‎‎ ‎............6 分 ‎（2）三棱柱的高转化成三棱锥 ‎C1 - ABC 的高，设为h 过点 B1 作 B1M ^ A1 A 交 A1 A 于点M ，‎ 因为平面 AA1C1C ^ 平面AA1B1B ，平面 AA1C1C I 平面AA1B1B = A1 A 又因为 B1M ^ A1 A ，所以 B1M ^ 平面ACC1‎ ‎3‎ ‎15‎ 在DA1B1P 中求得 B1M = 又因为S ‎‎ DABC ‎= 1 ´ 2 ´ 2‎ ‎‎ = 15, S ΔACC1‎ ‎= 1 ´ 4 ´ 4 ´ 2‎ ‎3 = 4‎ ‎2‎ ‎1‎ 所以VC - ABC ‎= VB- ACC1‎ ‎，所以 1 ´ h ´ S ‎3‎ ‎‎ ΔABC ‎= 1 ´ ‎3‎ ‎3 ´ 4‎ ‎Þ h = 4‎ ‎15 12 分 ‎5‎ ‎3‎ ‎22．（1） 由题意，切线斜率存在，可设切线方程为 y +1 = k (x +1) ，即 kx - y + k -1 = 0 ，‎ 则圆心 M 到切线的距离 d = ‎= 1，解得 k = 0 或 3 ，‎ ‎3k -1‎ k 2 +1‎ ‎4‎ 故所求切线方程为 y = -1， 3x - 4 y -1 = 0 ； ............... 6 分 ‎（2）连接 PM , AB 交于点 N ，‎ AM PM PM 设ÐMPA = ÐMAN =q，则 AB = 2 AM ‎‎ cosq= 2cosq，‎ 在 RtDMAP 中，‎ ‎sinq= ‎= 1 ，‎ ‎∵ PM ‎³ 3，∴ (sinq) ‎‎ max ‎= 1 ，∴ (cosq) ‎‎ min ‎= 2 2 ，‎ ‎3‎ ‎4 2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎∴ AB min = ； 12 分