2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

南通市海安高级中学2018-2019学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 ‎ ‎ 一.填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ 1. 已知集合 集合，则中元素的个数为 ‎ ▲ .‎ 2. 已知是等差数列，是其前项和，若=10，，则的值是 ▲ .‎ 3. 若不等式的解集为，则的值为 ▲ .‎ 4. 曲线在点处的切线方程为 ▲ .（写出斜截式方程）‎ 5. 已知向量a，b满足，，则a·b = ▲ .‎ 6. 若，则 ▲ .‎ 7. 已知实数满足不等式组 ，则的最大值为 ▲ .‎ 8. 已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则m = ▲ .‎ 9. 在数列中，，，是其前项和，则的值是 ▲ .‎ 10. 平面上三条直线x–2y+1=0，x–1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A=____▲ ____．‎ 11. 若直线过点，则的最小值为___▲ __．‎ 12. 已知点P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，若，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e = ▲ .‎ ‎ ‎ 1. 直线与直线相交于点M，则长度的最小值为 ▲ .‎ 2. 定义：点到直线的有向距离为已知点，，直线m过点，若圆上存在一点，使得三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m斜率的取值范围是____▲ ____．‎ ‎ ‎ 二. 解答题：本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点. ‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ 如图，是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点，为正三角形.‎ ‎（1）若点坐标为，求的值；‎ ‎（2）若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 已知函数，其中R．‎ ‎（1）当时，求函数在上的值域； ‎ ‎（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.‎ ‎（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；‎ ‎（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）．则、之间的最大距离是多少海里？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上异于点A的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P． ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，‎ ‎（）．‎ ‎(1)若λ = 0，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎ 2018-2019学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷答案 一、填空题.‎ 1. 已知集合 集合，则中元素的个数为 ‎ ▲ .【答案】2‎ 2. 已知是等差数列，是其前项和，若=10，，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】-4‎ 3. 若不等式的解集为，则的值为 ▲ .【答案】-3‎ 4. 曲线在点处的切线方程为 ▲ .（写出斜截式方程）‎ ‎【答案】‎ 5. 已知向量a，b满足，，则a·b = ▲ .【答案】-1‎ 6. 若，则 ▲ .【答案】‎ 7. 已知实数满足不等式组 ，则的最大值为 ▲ .‎ ‎【答案】8‎ 8. 已知椭圆的焦点轴上，且焦距为4，则m = ▲ .【答案】13‎ 9. 在数列中，，，是其前项和，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】126‎ 10. 平面上三条直线x–2y+1=0，x–1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A= ▲ .‎ ‎【答案】{–1，0，–2}‎ 11. 若直线过点，则的最小值为 ▲ .‎ ‎【答案】19‎ 12. 已知P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e = ▲ .【答案】‎ 1. 直线与直线相交于点M，则长度的最小值为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ 2. 定义：点到直线的有向距离为已知点，，直线m过点，若圆上存在一点，使得三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m斜率的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ 二、解答题.‎ D C B A P E ‎15.如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且， ‎ ‎ 点为线段的中点. ‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面. ‎ ‎（1）证明：连结，交于点，连结.‎ ‎ 因为是正方形对角线交点，‎ ‎ 所以为中点，‎ ‎ 由已知为线段的中点，所以 ，‎ ‎ 又，，所以平面.‎ ‎（2）证明：因为，为线段的中点，所以，‎ ‎ 因为平面，所以，‎ ‎ 在正方形中，，又，‎ ‎ 所以平面，又，‎ ‎ 所以，又，所以平面. ‎ O C B D y x A ‎16.如图，是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点,为正三角形.‎ ‎（1）若点坐标为，求的值；‎ ‎（2）若，四边形CABD的周长为y， ‎ ‎ 试将y表示成x的函数，并求出y的最大值.‎ 解：‎ ‎（1）‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ 又因为，所以，所以.‎ 所以当时，.‎ ‎17.已知函数，其中R．‎ ‎（1）当时，求函数在上的值域； ‎ ‎（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)当时，，，‎ ‎ 令得，列表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎─‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 递增 极大值5‎ 递减 极小值1‎ 递增 ‎21‎ ‎ 由上表知，函数的值域为． ‎ ‎ （2），‎ ‎① 当 时， ，函数在区间单调递增，‎ 所以，即（舍）．‎ ‎② 当 时， ，函数在区间单调递减，‎ 所以，符合题意． ‎ ‎③ 当 时，‎ 当时，，在区间单调递减；‎ 当时，，区间在单调递增．‎ 所以，不符合题意．‎ 综上所述：实数取值范围为．‎ ‎18.某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.‎ ‎（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；‎ ‎ ‎ l 公海 东ON M O A N ‎（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）．则、之间的最大距离是多少海里？‎ ‎18.解：（1）以O为原点，OM为x轴建立如图坐标系，‎ 设可疑船能被截获的点为P(x，y)，‎ 由题意得OP=2AP，OA=6 (海里)，‎ ‎∠AOx=，点A的坐标(3，3)，‎ 则有=2，‎ 化简得(x－4)2+(y－4)2=16，轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆．‎ ‎ （2）设点A的坐标(t，t)，t＞0，可疑船被截获处的点为P(x，y)，‎ 由题意得OP=2AP，‎ 即有=2，化简得(x－)2+(y－)2=．‎ 因为M(40，0)，l的倾斜角，‎ 因此直线方程为l：x+y－40=0．‎ 由题意，点A在领海内，因此t+t－40＜0．即0＜t＜．‎ P的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离 ＞，‎ 即 |－5|＞，解之得 t＞(不合，舍去)或0＜t＜．‎ 又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(－1) (海里)．‎ l O B P M y x A ‎19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P． ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎18．解：（1）因为C：的离心率为，‎ ‎　　　　所以，则，又椭圆C过点，‎ 所以． ‎ ‎　 所以，，‎ ‎　则椭圆C的方程．‎ ‎　（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，‎ 将代入椭圆C的方程中并化简得：‎ ‎， ‎ 解之得，， ‎ 所以，从而．‎ 令，得，所以，． ‎ 又＝，‎ ‎　　所以， ‎ ‎　　所以．‎ ‎（3）=．‎ ‎　　所以为定值4．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，‎ ‎（）．‎ ‎(1)若λ = 0，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对一切恒成立，求实数λ的取值范围．‎ 解：（1）时，‎ 所以因为，所以.‎ 所以.因为，所以.‎ ‎(2)因为 ，，‎ 所以 则 相加，得 则 上式对也成立，‎ 所以 所以 得 即 因为，所以 因为对一切恒成立，‎ 所以对一切恒成立，‎ 即对一切恒成立，‎ 记，则 ‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以是一切中的最大项.‎ 综上所述，.‎