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文档介绍
广东省2013届高三数学理科试题精选分类汇编9：圆锥曲线
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为 （ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于的不等式的解集叫的邻域.已知的邻域为区间,其中分别为椭圆的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合,则椭圆的方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为,则椭圆的方程为 【答案】B ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 双曲线的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则. ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））设F1,F2是椭圆的左右焦点,若直线x =ma (m>1)上存在一点P,使ΔF2PF1是底角为300 的等腰三角形,则m的取值范围是 （ ） A．1 < m < 2 B．m > 2 C．1 < m < D．m > 【答案】A ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线的渐近线方程为,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于 （ ） A． B． C． D．1 【答案】A ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））方程=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 二、填空题 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________. 【答案】 ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线 的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率的值为__________ . 【答案】 ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___. 【答案】 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P在抛物线y2=4x 上,那么使得点P到定点Q(2,,-1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和最小的点P的坐标为___ 【答案】 ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线的两条近线的夹角为,则双曲线的离心率为___ 【答案】 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____ 【答案】 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线的一个焦点是(),则其渐近线方程为________. 【答案】; ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点,且经过抛物线的焦点,则圆C的方程为______________. 【答案】 [或]; 易得圆心坐标为,半径为, 故所求圆的方程为【或. 】 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系中,若双曲线的焦距为,则_______. 【答案】(未排除,给3分) ．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线上一点P到焦点的距离是,则点P的横坐标是_____. 【答案】 ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点是双曲线与圆在第一象限的交点,其中分别是双曲线的左、右焦点,若,则双曲线的离心率为______________. 【答案】; ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米. 【答案】 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________. 【答案】双曲线的右焦点为,渐近线的方程为,所以所求直线方程为即. 三、解答题 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word版） ）在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, . (Ⅰ)求动点的轨迹的方程; (Ⅱ) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、 的中点分别为.求证:直线必过定点. 【答案】 解:(Ⅰ)依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且⊥,∴是线段的垂直平分线 ∴是点到直线的距离. ∵点在线段的垂直平分线,∴ 故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为: (Ⅱ) 设,,直线AB的方程为 则 (1)—(2)得,即, 代入方程,解得. 所以点M的坐标为 同理可得:的坐标为. 直线的斜率为,方程为 ,整理得, 显然,不论为何值,均满足方程, 所以直线恒过定点.14 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点、,是平面内一动点,直线、的斜率之积为. (1)求动点的轨迹的方程; (2)过点作直线与轨迹交于、两点,线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. 2013年4月汕头一中高三模拟考 【答案】(1)依题意,有(), ----------------------------- 化简得: (),为所求动点的轨迹的方程------------------------ (2)依题意,可设、、,则有 , 两式相减,得, 由此得点的轨迹方程为:().------------------------------ 设直线:(其中),则 , ------------------------------ 故由,即, 解得:的取值范围是. --------------------------- ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线:,过焦点的动直线交抛物线于、两点,为坐标原点. (1)求证:为定值; (2)设是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点,证明:抛物线在点处的切线与平行. 【答案】(1)设直线的方程为:,,. ------------------------- 由得:,∴ ------------------------ ∴为定值---------------------------- (2)由(1)得:点的横坐标为,∴点的横坐标为---------------------------- ∵ ∴ ---------------------------- ∴平行 另解:设,则, ---------------------------- 设抛物线在点处的切线为 [来源:Z*xx*k.Com] 由得: ------------------------------- ∴,解得: ------------------------------- ∴平行 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆O相切. (1)求椭圆C1的方程; (2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于,垂足为点P,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程; (3)设与轴交于点Q,不同的两点R、S在上,且满足,求的取值范围. 【答案】解:(1)由直线与圆相切,得,即 由,得,所以, 所以椭圆的方程是 (2)由条件,知,即动点M到定点的距离等于它到直线的距离,由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是 (3)由(2),知,设, ∴ 由,得 ∵,∴, ∴,当且仅当,即时等号成立 又, ∵,∴当,即时,, 故的取值范围是 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆的圆心分别为,为一个动点,且. (1)求动点的轨迹M的方程;(2)是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D,使得?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为和 ∵ ∴根据椭圆的定义可知,动点的轨迹为以原点为中心,和为焦点,长轴长为的椭圆, ∴椭圆的方程为,即动点的轨迹M的方程为 (2)(i)当直线l的斜率不存在时,易知点在椭圆M的外部,直线l与椭圆M无交点,所以直线l不存在. (ii)设直线l斜率存在,设为,则直线l的方程为 由方程组得① 依题意解得 当时,设交点,CD的中点为, 方程①的解为 ,则 ∴ 要使,必须,即 ∴,即② ∵或,∴无解 所以不存在直线,使得 综上所述,不存在直线l,使得 ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的方程;[来源:Zxxk.Com] (2)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.[来源:Zxxk.Com] 【答案】 (2)设,. ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为的直线与双曲线(,),相交于、两点,且的中点为 (1)求双曲线的离心率; (2)设的右顶点为,右焦点为,,证明:过、、三点的圆与轴相切. 【答案】解:(1)由题设知,直线的方程为 代入双曲线的方程,并化简得: 设,,则, ① 由为的中点知:,故,即 ② 所以,即 故 所以双曲线的离心率为 (注:本题也可用点差法解决) (2)由①、②知,双曲线的方程为: ,,, 同理 又因为 且 所以 解得:,(舍去) 连结,则由,知,从而,且轴, 因此以为圆心,为半径的圆经过、、三点,且在点处与轴相切. 所以过、、三点的圆与轴相切 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线经过椭圆:()的一个顶点和一个焦点. ⑴求椭圆的标准方程; ⑵设是椭圆上动点,求的取值范围,并求取最小值时点的坐标. 【答案】【答案】⑴依题意,,, 所以, , ,所以椭圆的标准方程为5分. ⑵,当且仅当时, ,当且仅当是直线与椭圆的交点时, ,,所以的取值范围是 . 设,由得 ,[来源:学.科.网] 由 ,解得或 , 所求点为和 . ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点. (1)求曲线的轨迹方程; (2)是否存在△面积的最大值,若存在,求出△的面积;若不存在,说明理由. 【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点的轨迹C是以,为焦点,长半轴长为 的椭圆. 故曲线的方程为 (Ⅱ)存在△面积的最大值 因为直线过点,可设直线的方程为 或(舍). 则 整理得 由. 设. 解得 , . 则 . 因为 设,,. 则在区间上为增函数. 所以. 所以,当且仅当时取等号,即. 所以的最大值为 ．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点且=1 . (I)求椭圆的标准方程; (II)设P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ.连接AQ并延长交直线l于点M.N为MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系. 【答案】解:(Ⅰ)易知A, B 又 ,解得 (Ⅱ)设则 所以直线AQ方程 又点P的坐标满足椭圆方程得到: ,所以 直线 的方程: 化简整理得到: 即 [来源:学#科#网] 所以 点 到直线的距离 直线与AB为直径的圆相切. ．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分) 已知F1,F2分别是椭圆C:的上、下焦点,其中F1也是抛物线C1:的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且. (1)求椭圆C1的方程; (2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆C1相交于点E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值. 【答案】 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P. (1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围; (2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】解:(1)由椭圆得:, 切线的斜率为:k=,所以,直线l1的方程为:, 与y轴交点纵坐标为:y=-= 因为,所以,,,所以,当切点在第一、二象限时 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:,则对称性可知 l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:. (2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在T(0,t),M0(x0,y0) 由(1)得点P的坐标(,2),由可求得t=1[来源:学科网ZXXK] 所以存在点T(0,1)满足条件. ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆: ()的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹的方程; (3)设O为坐标原点,取上不同于O的点S,以OS为直径作圆与相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标. 【答案】解:(1)解:由,得,再由,解得 由题意可知,即 解方程组得 所以椭圆C1的方程是 (2)因为,所以动点到定直线的距离等于它到定点(1,0)的距离,所以动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线, 所以点的轨迹的方程为 (3)因为以为直径的圆与相交于点,所以∠ORS = 90°,即 设S (,),R(,),=(-,-),=(,) 所以 因为,,化简得 所以, 当且仅当即=16,y2=±4时等号成立 圆的直径|OS|= [来源:Z#xx#k.Com] 因为≥64,所以当=64即=±8时,, [来源:学科网ZXXK] 所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,±8) ．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为. (1)求椭圆的方程; (2)若动直线均与椭圆相切,且,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)设,则有, 由最小值为得, ∴椭圆的方程为 (2)①当直线斜率存在时,设其方程为 把的方程代入椭圆方程得 ∵直线与椭圆相切,∴,化简得 同理, ∴,若,则重合,不合题意,∴ 设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则 ,即,--- 把代入并去绝对值整理, 或者 前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立 则,解得;--------------------------------------------------------- ②当直线斜率不存在时,其方程为和, 定点到直线的距离之积为; 定点到直线的距离之积为; 综上所述,满足题意的定点为或 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆的中心在原点,离心率,右焦点为. ⑴求椭圆的方程; ⑵设椭圆的上顶点为,在椭圆上是否存在点,使得向量与共线?若存在,求直线的方程;若不存在,简要说明理由. 【答案】解:⑴设椭圆的方程为, 椭圆的离心率,右焦点为, [来源:Z#xx#k.Com] , , , 故椭圆的方程为 ⑵假设椭圆上是存在点(),使得向量与共线, ,, ,即,(1) 又点()在椭圆上, (2) 由⑴、⑵组成方程组解得,或, ,或, 当点的坐标为时,直线的方程为, 当点的坐标为时,直线的方程为, 故直线的方程为或 [来源:Z.xx.k.Com] ．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D(0,)为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C的一个焦点与D关于直线y=x对称. (Ⅰ)求双曲线C的方程; (Ⅱ)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过 M(-2,0)及AB的中点,求直线在y轴上的截距b的取值范围; (Ⅲ)若Q是双曲线C上的任一点,F1F2为双曲线C的左,右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程. 【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0 ∵该直线与圆x2+(y-)2=1相切,有= 1 Þ k =±1. ∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x, 故设双曲线C的方程为 . 易求得双曲线C的一个焦点为 (,0),∴2a2=2,a2=1. ∴双曲线C的方程为x2-y2=1. (Ⅱ)由 得(1-m2)x2-2mx-2=0. 令f(x)= (1-m2)x2-2mx-2 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在(-¥,0)上有两个不等实根. 因此 解得1查看更多