2018-2019学年湖北省黄冈市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省黄冈市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省黄冈市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，分别求得集合，，再利用交集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合，，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．若，且为第三象限角，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据同角三角函数的基本关系式，得，在根据诱导公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，知，且为第三象限角，根据同角三角函数的基本关系式，得，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知角的终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数的定义，利用，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，角的终边经过点，则，‎ 由三角函数的定义，可得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．若，则下列不等式正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，根据指数函数的单调性，即可判定C正确，又由当，时，B，D不正确，当时，A不正确，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数在上为减函数，因为时，，C正确.‎ 其中当，时，B，D不正确，当时，A不正确，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了比较大小问题，其中解答中合理利用指数函数的单调性和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，得到函数在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，，当时，；‎ 当时，，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点.‎ 其余的零点两侧函数值异号.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二分的概念的判定与应用，其中解答中熟记二分法的基本概念，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，根据给出计算方法：扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，再由扇形的弧长公式列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，‎ 再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角（弧度），故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7．非零向量，互相垂直，则下面结论正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由非零向量与垂直，得到，再根据向量的模和数量积的公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，非零向量与垂直，即，‎ 则 ， ，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量模应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量的模的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．设，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据对数函数的性质，可得，，‎ 又由指数函数的性质，可得，‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中合理利用对数函数与指数函数的图象与性质，得出的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9．函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ，求得函数在递减，在递增，再根据复合函数的单调性的判定方法，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，得或，即函数的定义域为.‎ 设 ，可得函数在递减，在递增，‎ 又由在上递减，‎ 根据复合函数的单调性，可得在递减.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，同时忽视函数的定义域是解答此类问题的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎10．函数（，，）的部分图象如图所示，则以下关于性质的叙述正确的是（ ）‎ A．最小正周期为 B．是偶函数 C．是其一条对称轴 D．是其一个对称中心 ‎【答案】C ‎【解析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，进而利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据函数的图象可得，，则，，即，‎ 由，即，得，‎ 因为，取得，所以.‎ 因为函数最小正周期为，所以A错误；‎ 由，，则不是偶函数，所以B错误；‎ 由，对称轴方程为，令，解得，‎ 所以是其一条对称轴，所以C正确；‎ 由，，得，对称中心为 ，‎ 所以不是其一个对称中心，D错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象求得函数的解析式，利用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎11．已知函数是定义在上的奇函数，对于任意的，且，有.若，则的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，对于任意的，有，得到函数在是增函数，结合函数的图象，分类讨论，即可求解不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于任意的，且，有，‎ 即在是增函数，又，‎ 依题意，画出的图象（如图所示），‎ 等价于① 或 ②.‎ 由①的解集为，由②的解集为，‎ 故不等于的解集为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的应用，以及不等式的求解问题，其中解答中根据题意得出函数的单调性，画出出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎12．设函数.若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，把函数恰有个零点，转化为函数与的图象恰有个不同的交点，进而转化为只需和的图象有两个交点，联立方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，，函数恰有个零点，‎ 等价于函数与的图象恰有个不同的交点，作出两个函数的图象，易知.‎ 因为的图象过，则只需保证和的图象有两个交点，则函数与的图象恰有个不同的交点，‎ 又由，得，‎ 由，得舍去），‎ 故，即实数的取值范围为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点个数，作出函数的图象，列出相应的关系式求解是解答的关键，着重考查了转化思想、数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．已知命题为，，，则为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据全称命题与存在性命题的关系可得：命题命题：，，则为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎14．函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式，即可求解函数的定义域，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数满足，解得，‎ 即，所以函数的定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式（组）求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎15．已知向量，，若与共线，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量的与共线，列出相应的方程，即可求解实数的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，向量，则，‎ 又由与共线得，则，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记根据向量的共线，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，对于，恒成立等价于，，分类讨论，求得函数的最大值，列出不等式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于，恒成立等价于，.‎ 当时，，不等式恒成立；‎ 当时， ，‎ 二次函数的对称轴为.‎ 若，，由，得；‎ 若，，由，得，.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，其中解答中把对于，恒成立转化为，，再利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 的图象过点.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）计算.‎ ‎【答案】（1）-1（2）‎ ‎【解析】（1）由函数的图象过点，解得，得到函数的解析式，代入即可求解；‎ ‎（2）由（1）知，借助实数指数幂和对数的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的图象过点，即，即，‎ 因为，所以，所以，则.‎ ‎（2）由（1）可知，，则 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了实数指数幂与对数运算的化简求值，其中解答中根据题意，利用函数的解析式，求得是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．在平行四边形中，为的中点，，设，.‎ ‎（1）用向量，表示向量，，；‎ ‎（2）若，，与的夹角为，求.‎ ‎【答案】（1） , ;（2）‎ ‎【解析】（1）根据向量运算的三角形法则，即可化简求得结果.‎ ‎（2）根据向量的数量积的运算公式，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据向量运算的三角形法则，可得；‎ ‎； .‎ ‎（2）根据向量的数量积的运算公式，可得 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的线性运算，及向量的数量积的运算，其中解答中合理利用平面向量的运算的三角形法则，以及熟记平面向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数是奇函数，当时，.‎ ‎（1）求时，的解析式；‎ ‎（2）当时，判断的单调性并加以证明.‎ ‎【答案】（1）（2）函数在上为单调增函数,证明过程详见解析 ‎【解析】（1）设，则，利用函数是奇函数，利用，即可求解函数的解析式；‎ ‎（2）利用函数单调性的定义，即可判定函数的单调性；‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则，‎ 由已知得，，而是奇函数，所以，，‎ 因此，，，‎ 即当时，.‎ ‎（2）函数在上为单调增函数.‎ 证明：设，‎ 则，‎ 因为，所以，所以，‎ 又，所以，即.‎ 所以函数在上为单调增函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数单调性的判定，其中解答中熟记函数单调性的定义，以及熟练应用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知函数，将的图象向右平移单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象.‎ ‎（1）求函数的递增区间；‎ ‎（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合.‎ ‎【答案】（1）（2）最小值为0，此时的取值集合为 ‎【解析】（1）根据三角函数的图象变换，可得 ‎，利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间；‎ ‎（2）由，求得，进而得到，即可求得函数的最小值及对应的x的集合.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，根据三角函数的图象变换，‎ 可得 由 ，‎ 得.‎ 所以，函数的递增区间为.‎ ‎（2）由，得，‎ ‎，，‎ 即，所以，，即时，‎ 的最小值为.取最小值时，的取值集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金 ‎（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.‎ ‎（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；‎ ‎（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？‎ ‎（3）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所过利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金）‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大.最大利润千万元.‎ ‎【解析】（1）将 代入，求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由题意，根据和的大小关系，可进行判定，得到答案.‎ ‎（3）设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片，列出公司获利的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设投入资金千万元，则生产芯片的毛收入；‎ 将 代入，得 ‎ 所以，生产芯片的毛收入.‎ ‎（2）由，得；由，得；‎ 由，得.‎ 所以，当投入资金大于千万元时，生产芯片的毛收入大；‎ 当投入资金等于千万元时，生产、芯片的毛收入相等；‎ 当投入资金小于千万元，生产芯片的毛收入大.‎ ‎（3）公司投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片.公司所获利润 ‎ 故当，即千万元时，公司所获利润最大.最大利润千万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.‎ ‎22．已知向量，，其中，且，设函数，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，是否存在实数使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）3；（2）存在实数使的最小值为.‎ ‎【解析】（1）由题意，根据向量的数量积的运算，可得函数，又由，列出关于的方程，即可求解.‎ ‎（2）当时， ，令，把函数化为 ‎，，分类讨论，求得函数的最小值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，由，‎ 即，，‎ ‎，（舍去）.‎ ‎（2）当时， .‎ 当时，假设存在实数使的最小值为，‎ 令 ‎，在上是增函数，，‎ 函数可化为，，‎ 若，当时，，‎ 若，当时，，不可能；‎ 若，当时， ，解得，舍去.‎ 故当时，存在实数使的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及函数的综合应用问题，其中解答中根据向量的数量积的运算得到函数的解析式，再利用换元法，结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎