2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第六章 1 第1讲 数列的概念与简单表示法
知识点 最新考纲
数列的概念和
简单表示法
了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).
等差数列
理解等差数列的概念．
掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用．
了解等差数列与一次函数的关系．
会用数列的等差关系解决实际问题.
等比数列
理解等比数列的概念．
掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用．
了解等比数列与指数函数的关系．
会用数列的等比关系解决实际问题.
数学归纳法 会用数学归纳法证明一些简单数学问题.
第 1 讲 数列的概念与简单表示法
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第 n 项 an
通项公式 数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系式
前 n 项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an
2.数列的表示方法
列表法 列表格表示 n 与 an 的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法
公式法
递推公式 使用初始值 a1 和 an 与 an＋1 的关系式或 a1，a2 和 an－1，an，an
＋1 的关系式等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系
若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝{S1，n＝1，
Sn－Sn－1，n ≥ 2.
4．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
有穷数列 项数有限按项数
分类 无穷数列 项数无限
递增数列 an＋1>an
递减数列 an＋1
f(6)，故 f(n)＝
an
n 的最小值为
21
2 .
3．(2020·金丽衢十二校联考)已知函数 f(x)由下表定义：
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
若 a1＝5，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则 a2 018＝________．
解析：依题意得 a1＝5，a2＝f(a1)＝2，a3＝f(a2)＝1，a4＝f(a3)＝4，a5＝f(a4)＝5，a6＝f(a5)
＝2，…，易知数列{an}是以 4 为周期的数列，注意到 2 018＝4×504＋2，因此 a2 018＝a2＝
2.
答案：2
[基础题组练]
1．已知数列 1，2，7，10，13，…，则 2 19在这个数列中的项数是( )
A．16 B．24
C．26 D．28
解析：选 C.因为 a1＝1＝ 1，a2＝2＝ 4，a3＝ 7，a4＝ 10，a5＝ 13，…，所以 an＝
3n－2.令 an＝ 3n－2＝2 19＝ 76，解得 n＝26.
2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则
a3
a5的值是( )
A.
15
16 B.
15
8
C.
3
4 D.
3
8
解析：选 C.由已知得 a2＝1＋(－1)2＝2，所以 2a3＝2＋(－1)3，a3＝
1
2，所以
1
2a4＝
1
2＋(－
1)4，a4＝3，所以 3a5＝3＋(－1)5，所以 a5＝
2
3，所以
a3
a5＝
1
2×
3
2＝
3
4.
3．(2020·杭州模拟)数列{an}定义如下：a1＝1，当 n≥2 时，an＝{1＋a
n
2
，n为偶数，
1
an－1，n为奇数，
若 an＝
1
4，则 n 的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选 C.因为 a1＝1，所以 a2＝1＋a1＝2，a3＝
1
a2＝
1
2，a4＝1＋a2＝3，a5＝
1
a4＝
1
3，a6＝
1＋a3＝
3
2，a7＝
1
a6＝
2
3，a8＝1＋a4＝4，a9＝
1
a8＝
1
4，所以 n＝9，故选 C.
4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，
则 a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．44 D．44＋1
解析：选 A.由 an＋1＝3Sn，
得到 an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减得：an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
则 an＋1＝4an(n≥2)，
又 a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，
得到此数列除去第一项后，为首项是 3，公比为 4 的等比数列，所以 an＝a2qn－2＝3×4n
－2(n≥2)，a6＝3×44，故选 A.
5．一给定函数 y＝f(x)的图象在下列各图中，并且对任意 a1∈(0，1)，由关系式 an＋1＝f(an)
得到的数列{an}满足 an＋1>an(n∈N*)，则该函数的图象是( )
解析：选 A.由 an＋1＝f(an)，an＋1>an 知 f(an)>an，可以知道 x∈(0，1)时 f(x)>x，即 f(x)的
图象在 y＝x 图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A 符合条件．
6．已知数列{a n}的首项 a1＝a，其前 n 项和为 S n，且满足 Sn＋Sn － 1＝3n2＋2n＋
4(n≥2)．若对任意的 n∈N*，an＜an＋1 恒成立，则 a 的取值范围是( )
A.(23
4 ，
29
4 ) B.(20
3 ，
29
4 )
C.(23
4 ，
20
3 ) D.(－∞，
20
3 )
解析：选 C.由 Sn＋Sn－1＝3n2＋2n＋4(n≥2)，可得 Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2＋2(n＋1)＋4，
两式相减，得 an＋1＋an＝6n＋5，
故 an＋2＋an＋1＝6n＋11，两式相减，得 an＋2－an＝6.
由 n＝2，得 a1＋a2＋a1＝20，
则 a2＝20－2a，
故数列{an}的偶数项为以 20－2a 为首项，6 为公差的等差数列，
从而 a2n＝6n＋14－2a；
由 n＝3，得 a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝37，
则 a3＝2a－3，
故当 n≥3 时，奇数项是以 2a－3 为首项，6 为公差的等差数列，
从而 a2n＋1＝6n－9＋2a.
由条件得{a < 20－2a，
6n＋14－2a < 6n－9＋2a，
6n－9＋2a < 6（n＋1）＋14－2a，
解得
23
4 ＜a＜
20
3 ，故选 C.
7．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)已知数列{a n}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n－
1(n∈N*)，则 a1＝________；数列{an}的通项公式为 an＝________．
解析：因为 Sn＝n2＋2n－1，
当 n＝1 时，a1＝1＋2－1＝2，
当 n≥2 时，
所以 an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，
因为当 n＝1 时，a1＝2＋1＝3≠2，
所以 an＝{2，n＝1，
2n＋1，n ≥ 2.
答案：2 {2，n＝1，
2n＋1，n ≥ 2
8．若数列{a n}满足 a 1 ·a 2 ·a 3 ·…·a n ＝n 2 ＋3n＋2，则数列{a n}的通项公式为
________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
当 n＝1 时，a1＝6；
当 n≥2 时，{a1·a2·a3·…·an－1·an＝（n＋1）（n＋2），
a1·a2·a3·…·an－1＝n（n＋1），
故当 n≥2 时，an＝
n＋2
n ，
所以 an＝{6，n＝1，
n＋2
n ，n ≥ 2，n ∈ N * .
答案：an＝{6，n＝1，
n＋2
n ，n ≥ 2，n ∈ N *
9．(2020·宁波效实中学模拟)已知数列{a n}满足 a1＝1，an－an＋1＝
2anan＋1
n（n＋1）(n∈N*)，
则 an＝____________．
解析：由 an－an＋1＝
2anan＋1
n（n＋1）得
1
an＋1－
1
an＝
2
n（n＋1）＝2×(1
n－ 1
n＋1)，则由累加法得
1
an
－
1
a1＝2(1－1
n )，又因为 a1＝1，所以
1
an＝2(1－1
n )＋1＝
3n－2
n ，所以 an＝
n
3n－2.
答案：
n
3n－2
10．(2020·金华市东阳二中高三调研)已知数列{a n}的通项公式为 an＝－n2＋12n－32，
其前 n 项和为 Sn，则对任意 m，n∈N*(m8 时，数列中的项均为负数．在 ma2>a3>…>a8，
当 n＝8 时，a9＝a8，
当 n>8 时，an＋1>an，
即 a9
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