高考数学二轮重难点荟萃(8)
2013 年高考数学重难点详解(8)
重难点 8 集合与常用逻辑用语
考试大纲新解
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系,知道常用数集及其记号,了解
集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.
2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,
了解有限集与无限集的概念.
3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相等
关系.
4．理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们
正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.
5．了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确
地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握补集的求法.
6.理解命题的概念;了解“若 p ,则 q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分
析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
考点突破
主编：章晓峰（高考数学教学研究组教研员）
副主编：林晓玲（中学优秀数学教师）
董洋洋（一线数学教师）
编委会成员：（排名不分先后）
刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌
胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉
3.注意弄清元素与集合、集合与集合之间的包含关系.
4.能根据 Venn 图表达的集合关系进行相关的运算.
5.注意区分否命题与命题的否定,前者是同时否定条件和结论,而后者只否定结论.
6.原命题与其逆否命题等价,当直接判定命题条件的充要性有困难时，可等价地转化为对该
命题的逆否命题进行判断.
7.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.
重难点导航
考点一 集合的概念
例 1.已知集合 M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则 M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}
C．{y|y=1,或 y=2} D．{y|y≥1}
从而选 B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽
视了集合的元素是什么．事实上 M、N 的元素是数而不是点，因此 M、N 是数集而不是点集．②
集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、
{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．这类题目主要考察不等式的性质成立的条件，以
及条件与结论的充要关系.
【备考提示】：正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键.
练习 1:若 P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则 P∩Q 等于（ ）
A．P B．Q C． D．不知道
【答案】B
【解析】事实上，P、Q 中的代表元素都是 y，它们分别表示函数 y=x2,y= x2＋1 的值域，由 P={y|y
≥0},Q={y|y≥1}，知 Q P，即 P∩Q=Q．∴应选 B．
考点二 集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被
学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素
互异性的认识．
例 2. 若 A={2，4, a 3－2 2－ ＋7},B={1, ＋1, 2－2 ＋2,－ 1
2
( 2－3 －8), 3＋ 2
＋3 ＋7}，且 A∩B={2，5}，则实数 的值是________．
【答案】2
【解析】∵A∩B={2，5}，∴ 3－2 2－ ＋7=5,由此求得 =2 或 =±1． A={2,4,5}.
当 =1 时， 2－2 ＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去 =1．
当 =－1 时，B={1,0,5,2,4}，与 A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去 =－1．
当 =2 时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时 A∩B={2，5}，满足题设．
故 =2 为所求．
【解析】分两种情况进行讨论．
（1）若 ＋b= c 且 ＋2b= c2，消去 b 得： ＋ c2－2 c=0，
=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 ≠0．
∴c2－2c＋1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解．
（2）若 ＋b= c2 且 ＋2b= c，消去 b 得：2 c2－ c－ =0，
∵ ≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又 c≠1，故 c=－ 1
2
．
考点三 集合间的关系
例 3.设集合 A={ a | =3n＋2,n∈Z}，集合 B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合 A、B 的关系是
________．
【答案】A=B
【解析】任设 ∈A，则 =3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故 AB ． ①
又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 BA ②
由①、②知 A=B．
【名师点睛】这里说明 ∈B 或 b∈A 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
【备考提示】：集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须
解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系
来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
考点四 要注意利用数形结合思想解决集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具
将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观
地获解．
例 4.设全集 U={x|0
0}，求 A∪B 和 A∩B．
【答案】A∪B=R, A∩B={x|－6≤x＜－3 或 00}={x|x<－3，或 x>0}． 如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或 x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或 x>0}={x|－6≤x＜－3，或 00 得 ∈R 且 ≠2，把 x=1 代入方程得 ∈R，把 x=2 代入方程得 =3．
1.（2011 年高考山东卷文科 1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( )
（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
【答案】A
【解析】因为 | 3 2Mx x ，所以 |1 2MNx x ，故选 A.
2. （2011 年高考海南卷文科 1)已知集合 0,1,2,3,4M , 1,3,5N , PMN,则 P
的子集共有( )
A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个
【答案】B
【解析】因为 1,3MN 中有两个元素，所以其子集个数为 224 个，选 B.
3．(2011 年高考安徽卷文科 2)集合 ,,,,,U， ,,S , ,,T ,则
()US CTI 等于( )
（A） , , , (B) , (C) (D) , , , ,
【答案】B
【解析】 1,5,6UTð ，所以 1,6USTð .故选 B.
4．(2011 年高考广东卷文科 2)已知集合 ,|A xy x y 、为实数，且 221xy，
5． （2011 年高考江西卷文科 2)若全集 {1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U MN ,则集合
{5,6}等于（ ）
A. MN B. MN C.( ) ( )UUCMCN D.( ) ( )UUCMCN
【答案】D
【解析】
4,3,2,1NM , NM , 6,5,4,3,2,1NCMC UU , 6,5NCMC UU .
6.（2011 年高考福建卷文科 1)若集合 M=｛-1，0，1｝， N=｛0，1，2｝，则 M∩N 等于
A.｛0，1｝ B.｛-1，0，1｝
C.｛0，1，2｝ D.｛-1，0，1，2｝
【答案】A
【解析】因为 1,0,10,1,20,1MN ,故选 A.
7．（2011 年高考湖南卷文科 1)设全集 {1,2,3,4,5}, {2,4},UUMNMCN 则 N
（ ）
A．{1,2,3} B．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}
答案：B
解析：画出韦恩图，可知 。
8．（2011 年高考湖北卷文科 1)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 ()C A B =
A.{6,8} B. {5,7} C. {4,6,7} D. {1,3,5,6,8}
10 ．（ 2011 年 高 考 全 国 卷 文 科 1) 设 集 合 U= 1,2,3,4 , 1,2,3,M 2,3,4,N 则
=（MN）Uð （ ）
（A） 12， （B） 23， （C） 2，4 （D） 1，4
【答案】D
【解析】 {2,3}MN ， ()UCMN .
11. （2011 年高考陕西卷文科 8)设集合 22| |cossin|,Myy x xxR ，
1{ || | 2,N x x i }i xR为虚数单位， 则 MN为
（A）(0,1) （B）(0,1] （C）[0,1) （D）[0,1]
【答案】C
【解析】：由 22|cossin||cos2|[0,1]y x x x 即 M
由 1| | 2x i 得 2| | 121 1xi x x即 N ( 1,1) [0,1)MN 故选 C
12.（2011 年高考浙江卷文科 1) 若 { 1},{ 1}Pxx Qxx ，则( )
（A） PQ （B）QP （C） RPQð （D） RQPð
【答案】 C
【解析】： | 1,RRPxx PQ 痧 ，故选 C
13. (2011 年高考天津卷文科 4)设集合
| 20,AxRx | 0,B xRx |( 2)0,CxRxx 则“ x A B”是
“ xC ”的( )
15．（2011 年高考重庆卷文科 2)设 2, {| 20},URMxxx ，则 U Mð =（ ）
A．[0，2] B． 0, 2
C． ,0 2, D． ,0 2,
【答案】A
16. （2011 年高考山东卷文科 5)已知 a，b，c∈R，命题“若 abc=3，则 2 2 2abc≥3”，
的否命题是
(A)若 a+b+c≠3，则 2 2 2abc<3
(B)若 a+b+c=3，则 <3
(C)若 a+b+c≠3，则 ≥3
(D)若 ≥3，则 a+b+c=3
【答案】A
【解析】命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 p ,则 q ”,故选 A.
17. (2011 年高考天津卷文科 4)设集合
| 20,AxRx | 0,B xRx |( 2)0,CxRxx 则“ x A B”是
“ xC ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
解析：因" 1""||1"xx，反之
"||1""1 1"x x x或，不一定有" 1"x 。
20. （2011 年高考陕西卷文科 1)设 ,ab是向量，命题“若 ab ，则 ab ”的逆命题是
（A）若 ab 则 ab （B）若 ab 则
（C）若 则 （D）若 ab 则 ab
【答案】D
【解析】：交换一个命题的题设与结论，所得到的命题与原命题是（互逆）命题。故选 D
21. (2011 年高考天津卷文科 9)已知集合 || 1|2,AxRx Z 为整数集,则集合 AZ
中所有元素的和等于 .
【答案】3
【解析】因为 | 1 3A x x ,所以 0,1,2AZ ,故其和为 3.
22.(2011 年高考江苏卷 1)已知集合 {1,1,2,4},{1,0,2},AB 则 _______,BA
【答案】 1,2
【解析】考察简单的集合运算，容易题. AB{1,1,2,4}{1,0,2} .
半径的圆，集合 B 是在两条平行线之间， 22 1 2(12) 022
m mm ，因为
,BA 此时无解；当 0m 时，集合 A 是以（2，0）为圆心，以
2
m 和 m 为半径的圆环，
集合 B 是 在 两 条 平 行 线 之 间 ， 必 有
2 2 1
2
22
2
m m
m m
21 212 m . 又 因 为
2m1, 2122mm .
24. （2011 年高考陕西卷文科 14)设 nN ，一元二次方程 2 40x xn 有整数根的充要
条件是 n
【答案】3 或 4
【解析】：由韦达定理得 124,xx又 nN 所以 11
22
12
32
xx
xx
或 则 1234xx或.
【高考冲策演练】
一、选择题：
1．（2010 年高考山东卷文科 1）已知全集UR ，集合 2 40M xx ，则 UCM=（ ）
A. 22xx B. 22xx
C． 22xx x 或 D. 22xx x 或
【答案】C
【解析】因为 22xx ，全集 ，
所以 UCM ，故选 C。
3．（2010 年高考福建卷文科 1）若集合 A=x|1x 3 ， B=x|x>2 ，则 AB 等于（ ）
A. x|22
【答案】A
【解析】 = x|1 x 3 = ,故选 A.
4．(2010 年高考北京卷文科 1) 集合 2{03},{ 9}PxZxMxZx，则 PMI =
（ ）
(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}
5．(2010 年高考江西卷文科 2)若集合 1A x x ≤ ， 0B xx ≥ ，则 AB（ ）
A． 11xx≤≤ B． 0xx≥
C． 01xx≤≤ D．
【答案】C
【解析】 {|11}{|0}{|01}ABxxxxxx。
6．(2010 年高考浙江卷文科 1)设 2{|1},{| 4},PxxQxx 则 PQ（ ）
(A){| 1 2}xx (B){| 3 1}xx
(C){|1 4}xx (D){| 2 1}xx
8．（2010 年高考山东卷文科 7）设 na 是首项大于零的等比数列，则“ 12aa ”是“数列
是递增数列”的（ ）
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知 12a 1,
又 1a > 0 ，所以数列 是递增数列；反之，若数列 是递增数列，则公比 q > 1 且 ，
所以 11a
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