2020年高中数学第三章导数及其应用3
3.4 生活中的优化问题举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．2
解析：设底面边长为x，侧棱长为h，则x2h＝V，
S＝x2＋3x·h＝x2＋，
∵S′＝x－，
令S′＝0，∴x3＝4V，
∴x＝时，S取得极小值也是最小值．
答案：C
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是( )
A．1秒末 B．0秒
C．2秒末 D．0秒末或1秒末
解析：由题意可得t≥0，s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.
答案：D
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
A.和R B.R和R
C.R和R D．以上都不对
解析：设矩形一边的长为x，则另一边的长为2，则l＝2x＋4(0
0；
当R0)，
L′＝－x2＋24 000，
令L′＝0，得x2＝40 000.
∴x＝200.
经检验，当x＝200时利润最大．
答案：A
5．将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示，设AD＝x m(0＜x＜1)，
则DE＝AD＝x m，
∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1
＝3－x(m)，
又S△ADE＝x2(m2)，
∴梯形的面积为－x2(m2)，
∴s＝×(0＜x＜1)，
∴s′＝×，
令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈(0，)时，s′＜0，s递减，当x∈(，1)时，s′＞0，s递增．故当x＝时，s的最小值是.
8
答案：A
6．将长为72 cm的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则容器的高为________．
解析：设容器的底面边长为x，高为h，则8x＋4h＝72，h＝18－2x(00；
当60，t∈(8,9)时，y′<0，
所以t＝8时，y有最大值．
答案：8点
8．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为r的________倍．
解析：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，
∵h＝，∴S＝＝(r＋x)·.
∴S′＝－＝＝.
令S′＝0，得x＝，h＝r.
当x∈时，S′＞0；当＜x＜r时，S′＜0.
∴当x＝时，S取极大值也是最大值．故当梯形的上底长为r时，它的面积最大，∴＝1.
答案：1
8
9．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(60；
当x∈(9,11)时，y′<0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
10．某工厂统计资料显示：产品的次品率b与日产量x件(x∈N,1≤x≤89)的关系符合下列规律：
x
1
2
3
4
…
89
b
…
又知道每一件正品盈利a元，每生产一件次品损失(a>0)元．
(1)将该厂日盈利额表示成日产量x件的函数；
(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(≈1.7)
解析：(1)由b与x的对应规律得次品率为b＝(x∈N,1≤x≤89)．
故日产量x件中，次品数为bx件，正品数为(x－bx)件，则日盈利额：T＝a(x－bx)－bx＝a(x－)(x∈N，且1≤x≤89)．
8
(2)T′＝a[1－]＝a[1－]．
令T′＝0，则100－x＝10，x＝100－10，
当1≤x≤100－10时，T′>0，函数T单调递增；
当100－100；当3000，f(x)是递增的；
x∈时，f ′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
5.某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC＝2AO＝4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2)．
8
解析：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图所示．
依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且C(4,2)．
因为22＝2·p·4，所以p＝.
故曲线段CO的方程为y2＝x(0≤x≤4，y≥0)．
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线段OC上的任意一点，
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2，
所以工业园区面积S＝|PQ|·|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝－y3－2y2＋4y＋8.则S′＝－3y2－4y＋4.
令S′＝0，得y1＝，y2＝－2.
又因为00，S是y的增函数；当y∈(，2)时，S′<0，S是y的减函数．
所以y＝时，S取到极大值．
此时|PQ|＝2＋y＝，|PN|＝4－y2＝.
所以S＝×＝≈9.5.
又因为y＝0时，S＝8；y＝2时，S＝0，
所以Smax＝9.5(km2)．
所以把工业园区规划成长为km，宽为 km的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5 km2.
6. 如图所示，有—块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴、上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.
(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；
(2)求S的最大值．
解析：(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则点C的横坐标x，纵坐标y满足方程＋＝1(y≥0)，
解得y＝2(00；
当
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