辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题

辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（理）试题

高三期中数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）‎ ‎1．设复数满足(是虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．设，则的展开式中常数项是（ ）‎ A． B．160 C． D．20‎ ‎4．把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若实数，满足不等式组，则目标函数的最大值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7. 设为等比数列的前项和，，则（ ）‎ A． B． C．5 D．11‎ ‎8. 已知函数的最大值为3，最小值为．两条对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9. 现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎11．已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当 ‎ 时，，且．则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(每小题５分，每题５分共２０分) ‎ ‎13. 已知向量___________．‎ ‎14. 等差数列的前项和为，，，则____________．‎ ‎15. 从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且．设抛物线的焦点为，则的面积为__________．‎ ‎16．如图所示，在中，，在线段，设，，，则的最小值为__________．‎ 三．解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17．（12分）在中，角、、所对的边分别是、、，角、、 成等差数列，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎18．(12分)‎ 国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：‎ ‎ ‎ ‎(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；‎ ‎(2)能否在犯错误的概率不超过5％的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?‎ ‎(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求女教师人数的分布列与期望．‎ 附：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（12分）如图，在三棱锥中，底面，，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．‎ ‎20. （12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的短轴长为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．‎ ‎21. （12分）已知函数在处的切线方程为．‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值．‎ 选做题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;‎ ‎（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．‎ ‎23． （10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上的解集为，求实数的取值范围．‎ ‎.‎ 高三期中数学试卷答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A C B B A B A D C D 二、填空题 ‎13、-6； 14、‎ ‎15、 10 16、 ‎ 三、解答题 ‎17. （1）由角，，成等差数列，得，又，得．‎ 又由正弦定理，，得，即，‎ 由余弦定理，得，‎ 即，解得．‎ ‎（2）由正弦定理得，‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ 由，知当，即时，．‎ ‎18. （1）3分 支持 不支持 合计 ‎ 年龄不大于50岁 ‎20‎ ‎60‎ ‎80‎ 年龄大于50岁 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（2） ‎ 所以能在犯错误概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关. 7分 ‎（3）设选出女教师人数为x ‎ 则p(x=0)= P(x=1)= ‎ ‎ P(x=2)= …………………………10分 X的分布列是 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ p ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎ E(x)= ……………………………….12分 ‎19. （1）在中，由余弦定理得，则．‎ 因为为的中点，则．(2分)‎ 因为，则 ‎，所以．(4分)因为，则．(5分)因为底面，则，‎ 所以平面，从而．(6分)‎ ‎（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图．‎ 设，则点，，．‎ 所以，．(8分)‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，则，，所以．(9分)‎ 因为为平面的法向量，‎ 则，即．‎ 所以，解得，所以．(11分)‎ 所以．(12分)‎ ‎20. （1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，‎ 所以解得，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）因为为椭圆的上顶点，所以．‎ 设，则．又，所以，‎ 所以直线的方程为．‎ 由消去整理得，所以，‎ 所以，‎ 在直角中，由，得，‎ 所以，解得，所以点的坐标为．‎ ‎21. （1），‎ 所以且，解得，．‎ ‎（2）由（1）与题意知对任意的恒成立，‎ 设，则，令，‎ 则，所以函数为上的增函数．‎ 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，即有成立，‎ 所以，‎ 故当时，，即；‎ 当时，，即，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以，因为，‎ 所以，又因所以最大值为4．‎ ‎22. （1）把直线的参数方程化为普通方程为．‎ 由，可得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，‎ 又直线过点，‎ ‎∴直线的参数方程为(为参数)，‎ 将其代入曲线的直角坐标方程可得，‎ 设点，对应的参数分别为，．‎ 由一元二次方程的根与系数的关系知，．‎ ‎∴．‎ ‎ 23. （1）不等式可化为，‎ 当时，，解得，即；‎ 当时，，解得，即；‎ 当时，，解得，即，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）由不等式可得，‎ ‎，，即，‎ 解得或，‎ 故实数的取值范围是或．‎