2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，若，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解出集合，由，得出，于此可得知实数的值.‎ ‎【详解】‎ 解方程，即，得，由于，，则，‎ ‎，，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的包含关系，利用包含关系求参数的值，解本题的关键就是将集合表示出来，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．若则有 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】①，‎ ‎∵，‎ ‎∴，故．‎ ‎②，，‎ ‎∴，故．‎ 综上．选D．‎ ‎3．若实数满足则的最小值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若则，当且仅当时取等号.故选B.‎ 考点：1、基本不等式；2、指数函数.‎ ‎4．已知函数是定义在上的奇函数,当时，,则（ ）‎ A．12 B．20 C．28 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出的值，然后利用奇函数的性质得出可得出的值。‎ ‎【详解】‎ 当时，，则，‎ 由于函数是定义在上的奇函数，所以，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数奇偶性求值，求函数值时要注意根据自变量的范围选择合适的解析式，合理利用奇偶性是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。‎ ‎5．如图,阴影部分的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由定积分的定义可得，阴影部分的面积为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．‎ 求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．‎ ‎6．已知，则的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等式变形为，可得出函数的解析式，再计算出 即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式，属于中等题，求函数解析式常见题型由以下几种：‎ ‎（1）根据实际应用求函数解析式；‎ ‎（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意换元后参数的范围；‎ ‎（3）待定系数法求解析式，这种方法既适合已知函数名称的函数解析式；‎ ‎（4）消元法求函数解析式，这种方法适合求自变量互为倒数或相反数的函数解析式。‎ ‎7．已知,且，则的最小值是（ ）‎ A．1 B． C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用柯西不等式得出，于此可得出的最小值。‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式得，则，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。‎ ‎8．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：求出导函数，导函数在上大于等于0恒成立．‎ 详解：，由题意恒成立，∴，．‎ 故选C．‎ 点睛：函数在上是单调函数，则只能为单调增函数或单调减函数，因此有导数（或）恒成立，从而可求解．‎ ‎9．函数是周期为4的偶函数,当时，,则不等式在上的解集是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 若，则此时是偶函数， 即 若 ，则 ∵函数的周期是4， 即 ，作出函数在 上图象如图， 若，则不等式 等价为 ，此时 若 ，则不等式等价为 ，此时 ， 综上不等式 在 上的解集为 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎10．若是的增函数,则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数是上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点处的函数值大小，即，然后列不等式可解出实数 的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由于函数是的增函数，‎ 则函数在上是增函数，所以，，即；‎ 且有，即，得，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：‎ ‎（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；‎ ‎（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系。‎ ‎11．若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式，可得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当，由于，，即当时，等号成立，‎ 所以，的最小值为，由题意可得，即，‎ 解得，因此，实数的取值范围是，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，对于不等式成立的问题，需要结合量词来决定所选择的最值，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎12．已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断f（x）的单调性，求出f（x）的值域，根据y=f（x）与y=f（f（x））有相同的值域得出f（x）的最小值与极小值点的关系，得出a的范围．‎ ‎【详解】‎ f′（x）=lnx，故而当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）的最小值为f（1）=2a-1． 即f（x）的值域为[2a-1，+∞）， ∵函数y=f（x）与y=f（f（x））有相同的值域， ∴2a-1≤1，且 解得： ． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性判断，函数最值的计算，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由全称命题的否定可知，命题“”的否定是“，‎ ‎”，故答案为：“，”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定，熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎14．求曲线在点处的切线方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，即所求切线方程为，即.‎ ‎15．定义在上的偶函数满足且在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断:①是周期函数；②关于直线对称；③是[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；⑤.其中正确的序号是_________.‎ ‎【答案】①②⑤.‎ ‎【解析】‎ ‎,周期为2,,又，所以f(x)关于直线x=1对称，又因为f(x)为偶函数，在[-1，0]是增函数，所以在[0,1]上是减函数，由于f(x)在[1,2]上的图像与[-1,0]上的相同，因而在[1,2]也是增函数，综上正确的有①②⑤.‎ ‎16．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若,，则正实数a的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知可得且，若，则 ‎，解得，所以实数的取值范围是.‎ 考点：函数图象的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的图象及其应用，其中解答中涉及函数的图象及其简答的性质，全称命题、函数的恒成立问题等知识点的综合考查，其中解答中根据已知条件和函数的图象，列出相应的不等式组是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数为常数，且)有极大值，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，解出导数方程的两根，讨论导数在这两个点左右两边导数的符号，确定极大值点，再将极大值点代入函数解析式，可求出实数的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，则，‎ 令，得，，，，列表如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数在处取得极大值，即，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的极值，基本步骤如下：‎ ‎（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）求极值点并判断导数在极值点附近的符号，确定极值点的属性；（4）将极值点代入函数解析式可求出极值。‎ ‎18．已知 命题关于的方程的解集至多有两个子集，命题，,若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出命题为真命题时实数的取值范围，由是的必要不充分条件，得出命题中的集合是命题中的集合的真子集，于是得出不等式求解，可得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 当命题是真命题时，则关于的方程的解集至多有两个子集，‎ 即关于的方程的解集至多只有一个实数解，‎ ‎，化简得，解得，‎ 或，且或，‎ 由于是的必要不充分条件，则，‎ 所以，，解得，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，解这类问题一般利用充分必要性转化为集合的包含关系来处理，具体关系如下：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件；‎ ‎（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件。‎ ‎19．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线 ，（为参数）.‎ ‎（1）求曲线上的点到曲线距离的最小值；‎ ‎（2）若把上各点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标扩大为原来的倍，得到曲线，设，曲线与交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程和的参数方程都化为普通方程，求出圆的圆心坐标和半径长，并利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离，即可得出曲线上的点到曲线距离的最小值为；‎ ‎（2）利用伸缩变换求出曲线的普通方程，并将直线的参数方程与曲线的方程联立，利用韦达定理求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，曲线的普通方程为，圆心为，半径长为.‎ 在曲线的参数方程中消去参数，得，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 因此，曲线上的点到曲线距离的最小值为；‎ ‎（2）在曲线上任取一点经过伸缩变换得出曲线上一点，‎ 则伸缩变换为，得，代入圆的方程得，‎ 所以曲线的方程为，‎ 将直线的方程与曲线的方程联立，消去、得.‎ 设点、所对应的参数分别为、，则，‎ 所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程、直线的参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，熟练利用韦达定理求解是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数解析式，并将函数表示为分段函数形式，利用零点分段法可解出不等式的解集；‎ ‎（2）首先求得二次函数的最小值和函数的最大值，据此得到关于实数的不等式，求得不等式可得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，.‎ 当时，，‎ 由，得，解得，此时，；‎ 当时，，‎ 由，得，解得，此时，；‎ 当时，，‎ 由由，得，解得，此时，.‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎（2），该函数在处取得最小值，‎ 因为，‎ 所以，函数在处取得最大值，‎ 由于二次函数与函数的图像恒有公共点，‎ 只需，即，因此，实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，二次函数的性质，着重考查了学生对基础概念的理解，还考查了函数的恒成立问题，一般转化为最值来处理，考查了化归与转化思想的应用，属于中等题。‎ ‎21．已知二次函数,且,是否存在常数 ‎,使得不等式对一切实数恒成立?并求出的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，令可得，结合，又利用恒成立可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 存在常数使恒成立，‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，又=0，‎ 所以，代人恒成立，‎ 得恒成立，‎ 得. 故，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的解析式以及一元二次不等式恒成立问题，属于难题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.‎ ‎22．已知．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；‎ ‎（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为；‎ ‎.‎ 当，时，，单调递增；‎ ‎，单调递减.‎ 当时，.‎ ‎（1），，‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ ‎（2）时，，在内，，单调递增；‎ ‎（3）时，，‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ 综上所述，‎ 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；‎ 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；‎ 当时，在内单调递增；‎ 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，‎ ‎，，‎ 令，.‎ 则，‎ 由可得，当且仅当时取得等号.‎ 又，‎ 设，则在单调递减，‎ 因为，‎ 所以在上存在使得时，时，，‎ 所以函数在上单调递增；在上单调递减，‎ 由于，因此，当且仅当取得等号，‎ 所以，‎ 即对于任意的恒成立。‎ ‎【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.‎