2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-2-1函数的图象与性质
专题二 函数与导数
第一讲 函数的图象与性质
[必记公式及概念]
1．指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0);
(4)loga＝logaM－logaN(a>0且a≠1，M>0，N>0);
(5)logaMn＝nlogaM(a>0且a≠1，M>0)；
(6)alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；
(7)logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
2．单调性定义
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1
f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)．
3．奇偶性定义
对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．
4．周期性定义
周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：
(1)当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；
(2)T是不为零的最小正数．
5．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数
对数函数
图象
单调性
01时，在R上单调递增
01时，在(0，＋∞)上单调递增
续表
指数函数
对数函数
函数值
性质
00时，01
01时，y<0；
当00
a>1，
当x>0时，y>1；
当x<0时，01
当x>1时，y>0；
当00)或向右(a<0)平移|a|个单位得到y＝f(x＋a)的图象；
将y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位得到y＝f(x)＋a的图象．
(2)对称变换
①作y＝f(x)关于y轴的对称图象得到y＝f(－x)的图象；
②作y＝f(x)关于x轴的对称图象得到y＝－f(x)的图象；
③作y＝f(x)关于原点的对称图象得到y＝－f(－x)的图象；
④将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象合起来得到y＝|f(x)|的图象；
⑤将y＝f(x)在y轴左侧部分去掉，再作右侧关于y轴的对称图象合起来得到y＝f(|x|)的图象．
4．函数的周期性与对称性的关系
(1)若f(x)的图象有两条对称轴x＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且它的一个周期是2|b－a|；
(2)若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且它的一个周期是2|b－a|；
(3)若f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且它的一个周期是4|b－a|.
[失分警示]
1．函数具有奇偶性时，定义域关于原点对称，但定义域关于原点对称时，函数不一定具有奇偶性．
2．求单调区间易忽略函数的定义域，切记单调区间必须是定义域的子集且当同增(减)区间不连续时，不能用并集符号连接．
3．忽略函数的单调性、奇偶性、周期性的定义中变量取值的任意性．
4．画图时容易忽略函数的性质，图象左右平移时平移距离的确定易出错．
考点 函数的概念及其表示
典例示法
典例1 (1)[2014·山东高考]函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
[解析] 要使函数f(x)有意义，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴log2x>1或log2x<－1，解之得x>2或00，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0
[解析] ∵f(x)＝的图象与x，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点N的横坐标均为正，∴x＝－>0，y＝>0，故a<0，b>0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c>0，故c<0，故选C.
[答案] C
1．作函数图象的方法及注意点
常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
2．辨识函数图象的两种方法
(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；
(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复；
⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．
灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．
3．函数图象在方程、不等式中的应用策略
(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
针对训练
1．[2016·贵州七校联考]已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析
式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
2．[2016·江西南昌二模]现有四个函数：①y＝xsinx，②y＝xcosx，③y＝x|cosx|，④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A．④①②③ B．①④③②
C．③④②① D．①④②③
答案 D
解析 由于函数y＝xsinx是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝xcosx为奇函数，且当x＝π时，y＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cosx|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝x·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.
考点 函数的性质及应用
典例示法
题型1 函数性质的判定
典例3 [2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
[解析] 选项A中的函数是偶函数；选项B中的函数是奇函数；选项C中的函数是偶函数；只有选项D中的函数既不是奇函数也不是偶函数．
[答案] D
题型2 函数性质的应用
典例4 [2015·天津高考]已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0，f′(1)＝4－e>0，f′(2)＝8－e2>0，所以存在x0∈是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.
2．[2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
答案 B
解析 因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，所以xi＝0，yi＝×2＝m，故选B.
3．[2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)＝xln (x＋)为偶函数，则a＝________.
答案 1
解析 解法一：由题意得f(x)＝xln (x＋)＝f(－x)＝－xln (－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
解法二：由f(x)为偶函数有ln (x＋)为奇函数，令g(x)＝ln (x＋)，有g(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
[其它省市高考题借鉴]
4．[2016·山东高考]已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
答案 D
解析 由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x>时，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.
5．[2015·浙江高考]存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有( )
A．f(sin2x)＝sinx B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
答案 D
解析 通过举反例排除．本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x有唯一的y与之相对应．对于A、B，当x＝或时，sin2x均为1，而sinx与x2＋x此时均有两个值，故A，B错误；对于C，当x＝1或－1时，x2＋1＝2，而|x＋1|有两个值，故C错误，故选D.
6．[2015·湖南高考]设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案 A
解析 由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.
一、选择题
1．[2016·山东莱芜模拟]已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 要使函数y＝有意义，需满足
⇒⇒≤x<2.故选B.
2．[2014·湖南高考]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 C
解析 令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，
∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
即f(1)＋g(1)＝1.故选C.
3．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
4．[2016·辽宁实验中学月考]函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)0，由此可排除B，故选D.
6．[2016·湖北黄冈一模]已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m1.
又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，由图象知：f(m2)>f(m)＝f(n)，
∴f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]．
故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.
7．如图，过单位圆O上一点P作圆O的切线MN，点Q为圆O上一动点，当点Q由点P逆时针方向运动时，设∠POQ＝x，弓形PRQ的面积为S，则S＝f(x)在x∈[0,2π]上的大致图象是( )
答案 B
解析 S＝f(x)＝S扇形PRQ＋S△POQ＝(2π－x)·12＋sinx＝π－x＋sinx，则f′(x)＝(cosx－1)≤0，所以函数S＝f(x)在[0,2π]上为减函数，当x＝0和x＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x从0逐渐增大到π时，cosx逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x从π逐渐增大到2π时，cosx逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓．结合选项可知，B正确．
8．[2016·辽宁五校第二次联考]已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)
答案 C
解析 由已知f(x)在R上为偶函数，且f＝0，
∴f(logx)>0等价于f(|logx|)>f.
又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴|logx|>，即logx>或logx<－，
解得02，故选C.
二、填空题
9．[2015·山东高考]已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
答案 －
解析 ①当01时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得即显然无解．
所以a＋b＝－.
10．[2016·浙江杭州模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且x1f(x2)．则f，f(2)，f(3)从小到大排列是________．
答案 f(3)0.回答下列问题：
(1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；
(3)若f＝，试求f－f－f的值．
解 (1)令x＝y＝0⇒f(0)＝0，
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)⇒f(x)在(－1,1)上是奇函数．
(2)设00，
故－1<<0，则f>0，
即当0f(x2)，
∴f(x)在(0,1)上单调递减．
(3)由于f－f＝f＋f
＝f＝f.
同理，f－f＝f，
f－f＝f，
∴f－f－f＝2f＝2×＝1.
12．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋1)＝f(x－1)成立，已知当x∈[1,2]时，f(x)＝logax.
(1)求x∈[－1,1]时，函数f(x)的表达式；
(2)求x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时，函数f(x)的表达式；
(3)若函数f(x)的最大值为，在区间[－1,3]上，解关于x的不等式f(x)>.
解 (1)因为f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)＝
(2)当x∈[2k－1,2k]时，
f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)，
同理，当x∈(2k,2k＋1]时，
f(x)＝f(x－2k)＝loga(2－x＋2k)，
所以f(x)＝
(3)由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间[－1,1]，
当a>1时，由函数f(x)的最大值为，
知f(0)＝f(x)max＝loga2＝，即a＝4，
当0，所以－2，
所以0的解集为(，4－)，
综上所述不等式的解集为(－2,2－)∪(，4－)．
