综合模拟练03（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

综合模拟练03（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎1．已知数列的前项和满足： .‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求证： .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 试题解析：（Ⅰ）解：当时， ，所以， ‎ 当时， ，即， ， ， ‎ 所以数列是首项为，公比也为的等比数列， ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）证明： ． ‎ 由， ‎ 所以， ‎ 所以． ‎ 因为，所以，即．‎ 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎2．如图，在三棱柱中，侧面底面， ， ，点， 分别是， 的中点.‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）若， ，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取的中点，连接， ，‎ ‎ 是的中点， ，‎ ‎ 是三棱柱， ，‎ ‎ ， 平面，‎ ‎ 是的中点， ， 平面，‎ 平面平面，‎ ‎ 平面；‎ 分别以， ， 为轴， 轴， 轴，建立如图的空间直角坐标系，‎ 由题设可得， ， ， ， ， ，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则 令， ，‎ ‎ ， ，‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ 点睛：(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：‎ ‎①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；‎ ‎②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．‎ 运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．‎ ‎3．某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班内举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1，落在的人数为12人．‎ ‎（Ⅰ）求此班级人数；‎ ‎（Ⅱ）按规定预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的选手按抽签方式决定出场顺序．‎ ‎（i）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率；‎ ‎（ii）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（I）；（II）（i）；（ii）分布列见解析，期望为 .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，‎ ‎（i）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事件，‎ 则，‎ 所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为．‎ ‎（ii）随机变量的可能取值为0,1,2，‎ ‎，，，‎ 随机变量的分布列为：‎ 因为，‎ 所以随机变量的数学期望为1．‎ ‎4．如图，设椭圆： ，长轴的右端点与抛物线： 的焦点重合，且椭圆的离心率是．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过作直线交抛物线于， 两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）面积的最小值为9， .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵椭圆： ，长轴的右端点与抛物线： 的焦点重合，‎ ‎∴，‎ 又∵椭圆的离心率是，∴， ，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ 面积．‎ 令，则， ，‎ 令，则，即时， 面积最小，‎ 即当时， 面积的最小值为9，‎ 此时直线的方程为．‎ ‎5．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在定义域上为单调增函数.‎ ‎①求最大整数值； ‎ ‎②证明： .‎ ‎【答案】（1）；（2）①2；②见解析．‎ 试题解析：（1）当时， ，∴，‎ 又，∴，‎ 则所求切线方程为，即.‎ ‎（2）由题意知， ，‎ 若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立.‎ ‎①先证明.设，则，‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，即.‎ 同理可证，∴,∴.‎ 当时， 恒成立.‎ 当时， ，即不恒成立. ‎ 综上所述， 的最大整数值为2. ‎ ‎6．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎【答案】（1）， （2）‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为： .‎ ‎（2）‎ 不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为.‎ 则， ，‎ 所以.‎ 点睛：考察极坐标参数方程化普通方程，对于直线要特别注意直线参数方程中t的几何意义，借助t的意义来表示线段长会很方便. ‎ ‎7．选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若a＝2时，解不等式： ；‎ ‎（Ⅱ）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，原不等式即，分类讨论去掉绝对值号，即可求解不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）利用绝对值不等式得到，去掉绝对值号，即可求解实数的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 　当时， ，依题意， ‎ 所以或，解得或，‎ 所以实数a的取值范围为 ‎