2017-2018学年河北省武邑中学高二下学期期中考试数学（文科）试题（解析版）

2017-2018学年河北省武邑中学高二下学期期中考试数学（文科）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省武邑中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先化简，再利用复数的除法法则进行求解．‎ 详解：由题意，得，‎ 则，‎ 故选B．‎ 点睛：本题考查复数的乘方和除法运算等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎2．若是极坐标系中的一点，则四点中与重合的点有个（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先将点、的坐标化简，再利用极坐标的定义进行判断．‎ 详解：将化为，‎ 化为，‎ 又与角的终边相同，‎ 所以四点与点都重合，故选D．‎ 点睛：本题考查极坐标的定义等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填的值为( )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意得，当判断框中的条件是时，‎ ‎ 因为第一次循环结果为，‎ ‎ 第二次循环结果为，‎ ‎ 第三次循环结果为不满足判断框中的条件，‎ 输出的结果是16满足已知条件，故选A.‎ ‎4．两个变量与的回归模型中，分别计算了4组数据的相关系数如下，其中拟合效果最好的是（ ）‎ A. 第一组 B. 第二组 C. 第三组 D. 第四组 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用相关系数的大小进行判定．‎ 详解：因为“相关系数的绝对值越接近1，其拟合效果越好”，‎ 所以第一组的拟合效果最好，故选A．‎ 点睛：本题考查变量的相关性、相关系数等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．‎ ‎5．已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先利用负相关排除选项A、C，再利用线性回归直线一定过样本点的中心进行判定．‎ 详解：因为变量与负相关，‎ 所以一次性系数为负值，‎ 故排除选项A、C，‎ 对于选项B，当时，‎ ‎，‎ 即排除选B，故选D．‎ 点睛：本题考查变量的相关性等知识，意在考查学生的基本计算能力和逻辑思维能力．‎ ‎6．年劳动生产率 (千元）和工人工资(元）之间回归方程为，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（ ）‎ A. 增加10元 B. 减少10元 C. 增加80元 D. 减少80元 ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用线性回归直线的系数的实际意义进行判定．‎ 详解：由题意，得年劳动生产率每提高1千元时，‎ 工人工资平均增加80元，故选C．‎ 点睛：本题考查变量的相关性等知识，意在考查学生的数学应用能力．‎ ‎7．演绎推理“因为指数函数（且）是增函数，而函数是指数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（ ）‎ A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理过程错误 D. 以上都不是 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用指数函数的单调性进行判定．‎ 详解：因为当时，为减函数，‎ 所以“大前提”错误．‎ 点睛：本题考查指数函数的单调性、演绎推理等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．‎ ‎8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数与残差平方和如下表：‎ 则哪位同学的试验结果体现两变量更强的线性相关性（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据两个变量之间的线性相关关系中“相关指数的绝对值越接近1，相关性越强；‎ 残差平方和越小，相关性也越强”进行判定．‎ 详解：在验证两个变量之间的线性相关关系，‎ 相关指数的绝对值越接近1，相关性越强，‎ 残差平方和越小，相关性也越强，‎ 四个选项中，甲的相关指数的绝对值最大，‎ 且甲的残差平方和最小，‎ 所以甲的试验结果体现两变量更强的线性相关性．‎ 点睛：本题考查变量的相关关系、相关指数、残差平方和等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．‎ ‎9．定义运算，若（为虚数单位）且复数满足方程，那么复数在复平面内对应的点组成的图形为（ ）‎ A. 以为圆心，以4为半径的圆 B. 以为圆心，以2为半径的圆 C. 以为圆心，以4为半径的圆 D. 以为圆心，以2为半径的圆 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先设出，代入进行化简，利用复数的模的计算公式得到复数对应点满足的表达式，进而判定对应图形的形状．‎ 详解：设，‎ 由题意，得，‎ 则由，得：‎ ‎，‎ 即，‎ 即复数在复平面内对应的点组成的图形 为以为圆心，以4为半径的圆．‎ 点睛：本题考查复数的四则运算、几何意义、模等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎10．若下列关于的方程，，，（为常数）中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先假设三个方程都无实根，利用判别式为负值得到的取值范围，再利用补集进行求解．‎ 详解：若三个方程都无实根，则，‎ 即，‎ 即；‎ 若三个方程至少有一个方程有实根，‎ 则或．‎ 点睛：1.在处理涉及“至少有一个”、“至多有个”问题时，往往可以转化为其对立事件“一个也没有”、“至少有个”，利用补集思想进行求解；‎ ‎2.处理一元二次方程解的个数问题时，往往要根据判别式的符号进行判定，若二次项实数含有字母时，要注意讨论二次项系数是否为0．‎ ‎11．空间四边形的边及对角线长相等，分别是的中点，则直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：作出辅助线，利用平移法得到异面直线所成的角，再利用解三角形进行求解．‎ 详解：设,取的中点，连接,‎ 因为分别是的中点，‎ 所以,‎ 即是异面直线和所成的角或其补角，‎ 且，‎ 易知，‎ 因为，‎ 所以为等腰直角三角形，‎ 则，‎ 即异面直线和所成的角为．‎ 点睛：利用几何法求异面直线所成的角的一般步骤：‎ ‎①作角：通过平移（如结合中位线、平行四边形等）构造平行线，但要注意所给角是异面直线所成的角，还是其补角；‎ ‎②求角：利用勾股定理、等边三角形或余弦定理进行求角．‎ ‎12．已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：作出几何体的直观图，将三棱锥扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点即为外接球的球心，进而求出外接球的半径和表面积．‎ 详解：由题意可知该几何体是三棱柱的一部分（如图所示），‎ 则三棱柱的两底面中心连线的中点即为外接球的球心，‎ 且切外接球的半径为 ，‎ 所以该几何体的外接球的表面积为．‎ 点睛：本题考查多面体和球的外接问题和空间想象能力，处理多面体和球的外接或内切问题时，往往结合所给几何体的结构特征，采用补体法将其转化为正方体、‎ 长方体、三棱柱、四棱柱和球的外接问题，如长方体的体对角线是外接球的直径，正方体的棱长等于内切球的直径．‎ 二、填空题 ‎13．已知复数满足，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：先移项得到，求出其模，再利用进行求解．‎ 详解：由题意，得，‎ 则，即．‎ 点睛：本题考查复数的四则运算、模的计算公式等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎14．已知为椭圆的两个焦点，过作的直线交椭圆于两点，若，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由椭圆的方程，可知，利用椭圆的定义可知的周长为 ‎，又因为，所以．‎ ‎【考点】椭圆的定义及标准方程．‎ ‎15．函数，曲线在点处的切线方程为，则__________，__________．‎ ‎【答案】 1 1‎ ‎【解析】分析：求导，利用进行求解．‎ 详解：因为，‎ 所以，‎ 因为曲线在点处的切线方程为，‎ 所以，即，‎ 解得．‎ 点睛：1.正确求导是解决导数问题的第一步，要熟记基本函数的导数公式和导数的四则运算法则，尤其是除法法则和复合函数的求导法则；‎ ‎2.利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意区分“曲线在某点的切线”和“过某点的切线”的不同．‎ ‎16．在公元前3世纪，古希腊欧几里得在 《几何原本》里提出：“球的体积与它的直径的立方 ‎ 成正比”，此即，欧几里得未给出的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的 圆柱)、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为)、等边圆柱（底面圆的直径为)、正方体（棱长为)的“玉 积率”分别为，那么__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，球的体积为； 、‎ ‎ 等边圆柱的体积为；‎ 正方体的体积，所以。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为，且，若，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简函数得，由，得函数的增区间；‎ ‎（2）由，得，由,由正弦定理得，利用余弦定理求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1) .‎ 由，得 ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由，得， ，‎ ‎.‎ 又,由正弦定理得①;‎ 由余弦定理得，即，②由①②解得.‎ ‎18．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线与曲线分别交于两点，求.‎ ‎【答案】(1)，；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）利用平方关系进行消参得到曲线的直角坐标方程，利用互化公式得到曲线的极坐标方程；（2）先将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，再分别将射线方程代入曲线和的极坐标方程，利用的几何意义进行求解．‎ 详解：（1）由，得，‎ 所以曲线的普通方程为.‎ 把，代入曲线得极坐标方程 ‎（2）依题意可设.因为曲线极坐标方程为，‎ 将代入曲线的极坐标方程得，解得。‎ 同理将代入曲线的极坐标方程得.‎ 所以.‎ 点睛：本题考查曲线的参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学化归思想的应用能力．‎ ‎19．某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据:‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)4.‎ ‎【解析】分析：（1）根据表格作出散点图；（2）利用最小二乘法和所给公式进行求解；（3）利用（2）的线性回归方程进行预测．‎ 详解：（1）如图:‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故线性回归方程为.‎ ‎（3）由（2）中线性回归方程知当时，，预测记忆力为9的同学的判断力约为4. ‎ 点睛：本题考查散点图、线性回归直线等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本计算能力．‎ ‎20．20．如图，多面体是由三棱柱截去一部分后而成，是的中点.‎ ‎（1）若，平面，，求点到面的距离；‎ ‎（2）若为的中点，在上，且，问为何值时，直线平面？‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，，可得面，即点到面的距离等于；（2）当时，直线平面，理由如下：取的中点，连接，可得，当时，四边形为平行四边形，即.‎ 试题解析：（1）∵多面体是由三棱柱截去一部分后而成，是的中点，平面，，∴⊥面，则，∵，∴，又∵，是的中点，∴，，可得，即，∴面，∴点到面的距离 ‎（2）当时，直线平面，理由如下：设，则，取的中点，连接，可得，∵是梯形的中位线，∴，当时，四边形为平行四边形，即，∵面，∴直线平面，此时 点睛：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）①当时，写出直线的普通方程；‎ ‎②写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，设曲线与直线交于点，求最小值.‎ ‎【答案】(1)①.；②.；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）①消参得到直线的直角坐标方程，②利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得到关于参数的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系进行求解．‎ 详解：（1）①当时，‎ ‎∴直线的普通方程为.‎ ‎②由得，‎ 化为直角坐标方程为，‎ 即 ‎（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，‎ 因为，‎ 故可设是方程的两根，‎ 所以，‎ 又直线过点，结合的几何意义得：‎ ‎，‎ ‎∴ .‎ 所以原式的最小值为.‎ 点睛：1.对于参数方程，要注意其参数，如参数不同，则表示的曲线也不同，如本题中，（为参数，）表示的图形是一条直线，而（为参数）表示的曲线是圆；‎ ‎2.在利用直线的参数方程中参数的几何意义处理题目时，要注意判断直线的参数方程是否是标准的参数方程，否则参数没有几何意义．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先求出函数的定义域，再利用函数的奇偶性的定义进行判定其奇偶性，利用范围去掉绝对值符号，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调区间；（2）分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，再利用导数确定函数的单调性和极值，进而求出函数的值域．‎ 详解：（1）函数的定义域为且 ‎，∴为偶函数 当时，‎ 若，则递减；‎ 若，则递增.‎ 得的递增区间是，递减区间是.‎ ‎（3）由，得： 令 当，，显然 时，；时，‎ ‎∴时，‎ 又，为奇函数，∴时，‎ ‎∴的值域为 ‎∴若方程有实数解，则实数的取值范围是.‎ 点睛：1.处理函数的性质时，要注意函数的“定义域优先原则”，即先求出函数的定义域，再在定义域的范围内研究函数的奇偶性、单调性等问题；‎ ‎2.处理含有参数的函数问题时，往往采用分离参数法，将问题转化为求函数的值域或最值问题．‎