2018-2019学年山西省朔州市怀仁市高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年山西省朔州市怀仁市高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省朔州市怀仁市高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知命题，，则p是q成立的（ ）条件．‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 ‎【答案】B ‎【解析】解对数不等式得到命题中的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义判定即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由，得．‎ ‎∵Ü，‎ ‎∴p是q成立的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 充分、必要条件的判断方法 ‎（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．‎ ‎（2）从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．‎ ‎（3）利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．‎ ‎2．已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得，利用双曲线的离心率求出，从而可得 的值，然后求解双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线可得，离心率为，‎ 则，‎ 所以双曲线的渐近线方程为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎3．如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则可得，‎ ‎，‎ 设异面直线与所成的角为,‎ 则，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎4．函数在R上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，由在R上是单调函数，所以恒成立，代入解不等式可得实数的取值范围是 ‎【考点】函数导数与单调性 ‎5．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎6．已知函数的导函数的图象如图所示，若ΔABC为锐角三角形，则一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据导数的图象，得到函数在区间上是增函数．再由正弦函数的单调性和锐角三角形的性质，得到，所以，得到正确选项．‎ ‎【详解】‎ 根据导数的图象，可知 当时，；当时，‎ 在区间上是增函数，在区间上是减函数 为锐角三角形，‎ ‎、都是锐角，且 由此可得，‎ 因为正弦函数在锐角范围是增函数，所以对上式的两边取正弦得 ‎，再结合在区间上是增函数，得 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题以导数的符号判断函数的单调性，并在锐角三角形比较两个函数值的大小，着重考查了导数的性质和锐角三角形的性质等知识，属于基础题．‎ ‎7．已知命题:存在实数，，满足；命题(且)．则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别判断命题，命题，再根据复合命题的真假判断规则判断即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，满足，故命题是真命题，则是假命题，‎ 当时，，，不等式不成立，故命题是假命题，则是真命题，则是真命题，其余为假命题．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题，的真假是解决本题的关键．‎ ‎8．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点F,准线方程为，‎ 圆的圆心为，半径为1，‎ ‎，，‎ 由抛物线定义知：点P到直线的距离d=‎ ‎∴的最小值即到准线距离：‎ ‎∴的最小值为 故选：B ‎9．如图所示，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果.‎ ‎【详解】‎ 在正四面体中，设棱长为，为棱的中点，‎ 如下图所示过做平面，‎ 则为平面的中心，延长交于，过做，‎ 连接，所以就是所求的与平面的夹角．‎ 所以，求得，‎ 所以，利用，解得，‎ 所以，，‎ 在中，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题．‎ ‎10．“平面内一动点到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点的轨迹为椭圆”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的定义进行判断即可．‎ 解：若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆，‎ 若平面内一动点P的轨迹为椭圆，则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立，‎ 即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎11．设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足 恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由N在椭圆外部，则 ，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质， ，由，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点在椭圆的外部，∴， ， 由椭圆的离心率 ， 又因为，且，要恒成立，即，则椭圆离心率的取值范围是．故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率公式及点与椭圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题 ‎12．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】过点作的平行线交于点、交于点，连接，则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线，与平行，交于点，过点作垂直于点，推导出点一定是的中点，从而点到点的最短距离是点到直线的距离，以为原点，‎ 为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到点的最短距离．‎ ‎【详解】‎ 如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，‎ 则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线．‎ 与平行，交于点，过点作垂直于点，则有，与平面垂直，‎ 所以，与垂直，即角是平面与平面的夹角的平面角，且，‎ 与平行交于点，过点作垂直于点，‎ 同上有：，且有，又因为，故，‎ 而，故，‎ 而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，‎ 点到点的最短距离是点到直线的距离，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，， ，‎ ‎， ，‎ 点到点的最短距离：‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若不等式与关于x不等式＜0的解集相同，则＝_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先解绝对值不等式，利用韦达定理列出等式，化简求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由有，由于绝对值不等式的解集和的解集相同，故，是一元二次方程的两个根，由韦达定理得，两式相除得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式和一元二次方程根与系数关系，属于基础题.‎ ‎14．如果对任何实数k，直线都过一个定点A，那么点A的坐标是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：方法一：一般取任意两个值，解二元一次方程就可以了.但是取合适的值会使计算简化，一般使一个未知数的系数为.取，方程就是 ‎，；取，方程就是，；所以点的坐标是；将点坐标代入方程得：，所以直线恒经过点；方法二：是将当做未知数，将方程写成，对于任意值，等式成立，所以，；解得，所以点的坐标是.故答案为：.‎ ‎【考点】直线过定点问题.‎ ‎15．如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：以D为原点，建立空间直角坐标系，设，再求出平面和平面的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案.‎ 详解：以D为原点，以，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为 由题可知，，，，，‎ 平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为 为平面的法向量，‎ ‎ 令，则 二面角的大小为 ‎，即 ‎ ‎ 解得 ，（舍去）‎ 故答案为 点睛：空间向量法求二面角 ‎（1）如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．‎ ‎(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．‎ ‎16．以下四个关于圆锥曲线的命题：‎ ‎①设A，B是两个定点，为非零常数，若，则P的轨迹是双曲线；‎ ‎②过定圆C上一定点A作圆的弦AB，O为原点，若向量．则动点P的轨迹是椭圆；‎ ‎③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④双曲线与椭圆有相同的焦点．‎ 其中正确命题的序号为________．‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】①当时，则动点的轨迹为双曲线，即可判断出；‎ ‎②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，可得点为弦的中点，由垂经定理可得，因此动点的轨迹为圆．‎ ‎③解方程可得两根，2．利用椭圆与双曲线的离心率的范围即可判断出；‎ ‎④由双曲线可得，其焦点，同理可得椭圆焦点为；‎ ‎【详解】‎ 解：①设、为两个定点，为非零常数，当时，则动点的轨迹为双曲线，因此不正确；‎ ‎②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，可得点为弦的中点，由垂经定理可得，因此动点的轨迹为圆，故不正确．‎ ‎③解方程可得两根，．因此可以作为椭圆的离心率，可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；‎ ‎④由双曲线可得，其焦点，同理可得椭圆焦点为，因此有相同的焦点，正确；‎ 综上可知：其中真命题的序号为 ③④．‎ 故答案为③④．‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了了推理能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知：，：，其中.‎ ‎(1)若是的充分不必要条件，求实数的范围；‎ ‎(2)若是的必要不充分条件，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由命题与集合的关系，设命题，命题，因为是的充分不必要条件，则，得解，‎ ‎（2）由，分别讨论①当时，②当时，③时，再综合可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设命题，即，‎ 命题，‎ 因为是的充分不必要条件，‎ 则，‎ 即，解得：，‎ ‎（2）由（1）得：，‎ ‎①当时，，满足，‎ ‎②当时，由得：，即，‎ ‎③时，显然不满足题意，‎ 综合①②③得：‎ 实数的范围：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含参不等式的解法及集合的包含关系及充分、必要条件，属于简单题.‎ ‎18．设函数．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若在上的最大值为，求的值．‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】【详解】‎ 函数的定义域为，‎ ‎，‎ ‎（1）当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ ‎（2）当时，‎ 所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此．‎ ‎19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．‎ ‎（1）求抛物线的方程及点的坐标；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）9．‎ ‎【解析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；‎ ‎（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，‎ ‎∴23，‎ 解得：p＝2，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝4x，‎ ‎∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，‎ ‎∴n2＝4×2＝8，‎ 由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．‎ ‎（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，‎ 代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，‎ ‎∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，‎ x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，‎ x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，‎ ‎（），（x2﹣2，），‎ ‎（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）‎ ‎＝x1x2﹣2（x1+x2）+4‎ ‎＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8‎ ‎＝﹣8m2+8m+5‎ ‎＝﹣8（m）2+9．‎ ‎∴当m时，取最大值9．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20．已知几何体的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.‎ ‎（1）求几何体的体积；‎ ‎（2）求直线CE与平面AED所成角的大小.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由该几何体的三视图可知平面，且 ‎，，利用体积公式，可求该几何体的体积；（2）分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得直线与平面所成角的大小.‎ 试题解析：（1）由该几何体的三视图可知平面，且，.‎ ‎∴‎ ‎∴几何体的体积 ‎(2)分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系，则：、、、.‎ 所以，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∴‎ 于是可以取.‎ 设与平面所成的角为，则：.‎ ‎∴与平面所成的角为.‎ 点睛：本题主要考查空间几何体体积以及用空间向量求直线与平面所成的角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21．已知点和点，记满足的动点的轨迹为曲线. ‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线：与曲线有两个不同的交点、，且与轴相交于 点. 若，为坐标原点，求面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（1）设P（x，y），将条件坐标化即可得到轨迹方程；‎ ‎（2）根据题意将向量关系转为纵坐标的关系，联立直线方程和曲线方程，消去x，根据根与系数的关系建立关于k的方程，从而求得面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设点为曲线上任意一点 ‎ 由得 ‎ 整理得（）为所求 ‎（Ⅱ）设，，且 由得 ‎∴‎ 依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点或点 故可化为 由得 ‎ 且 ‎ 又 ‎∴‎ 消去，整理得 即 ‎∴的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求法：注意检验不满足条件的点，考查直线方程和曲线方程联立，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程的根与系数关系，特别是考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．‎ ‎22．已知函数在处取得极小值．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）若对恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）增区间为，；（2）或 ‎【解析】(1)首先求得函数的解析式，然后结合导函数的解析式即可确定函数的单调递增区间；‎ ‎(2)首先求得函数的最大值，然后由恒成立的条件得到关于m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，由得，‎ 由得，则，‎ 令得或 的增区间为，；‎ ‎（2）由 的最大值为，‎ 要使对恒成立，‎ 只要就可以了，‎ 即，解得或 所以实数的取值范围是或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数研究函数的单调性，由不等式恒成立求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎