【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 [考纲要求] 1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．　　　 突破点一　平面向量基本定理 [基本知识] 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且 只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　) (2)在△ABC 中，设 AB ―→ ＝a， BC ―→ ＝b，则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC.(　　) (3)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 二、填空题 1.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且 AB ―→ ＝a， AD ―→ ＝b，则 BE ―→ 等于________． 答案：b－1 2a 2．设 e1，e2 是平面内一组基底，若 λ1e1＋λ2e2＝0，则 λ1＋λ2＝________. 答案：0 3．设 e1 ，e2 是平面内一组基底，且 a＝ e 1 ＋2 e 2 ，b＝－ e 1 ＋e 2 ，则 2a－b＝ ________. 答案：3 e 1＋3 e 2 [典例感悟] 1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝2AD＝2DC，E 为 BC 边上一点， BC ―→ ＝3 EC ―→ ，F 为 AE 的中点，则 BF ―→ ＝(　　) A.2 3 AB ―→ －1 3 AD ―→ 　　　　　 B.1 3 AB ―→ －2 3 AD ―→ C．－2 3 AB ―→ ＋1 3 AD ―→ D．－1 3 AB ―→ ＋2 3 AD ―→ 解析：选 C　如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边 形 DCBG 为平行四边形，所以 BC ―→ ＝ GD ―→ ＝ AD ―→ － AG ―→ ＝ AD ―→ － 1 2 AB ―→ ，∴ AE ―→ ＝ AB ―→ ＋ BE ―→ ＝ AB ―→ ＋2 3 BC ―→ ＝ AB ―→ ＋2 3(－1 2 )＝ 2 3 AB ―→ ＋2 3 AD ―→ ，于是BF ―→ ＝ AF ―→ － AB ―→ ＝1 2 AE ―→ － AB ―→ ＝1 2(2 3＋2 3 )－ AB ―→ ＝－2 3 AB ―→ ＋1 3 AD ―→ ，故选 C. 2．在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 CP ―→ ＝2 3 CA ―→ ＋1 3 CB ―→ ，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又 CM ―→ ＝t CP ―→ ，则实数 t 的值为________． 解析：因为 CP ―→ ＝2 3 CA ―→ ＋1 3 CB ―→ ，所以 3 CP ―→ ＝2 CA ―→ ＋ CB ―→ ， 即 2 CP ―→ －2 CA ―→ ＝ CB ―→ － CP ―→ ，所以 2 AP ―→ ＝ PB ―→ . 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近 A 点)， 又因为 A，M，Q 三点共线，设 AM ―→ ＝λ AQ ―→ . 所以 CM ―→ ＝ AM ―→ － AC ―→ ＝λ AQ ―→ － AC ―→ ＝λ(1 2＋1 2 )－ AC ―→ ＝λ 2 AB ―→ ＋λ－2 2 AC ―→ ， 又 CM ―→ ＝t CP ―→ ＝t( AP ―→ － AC ―→ )＝t(1 3－ )＝t 3 AB ―→ －t AC ―→ . 故Error!解得Error!故 t 的值是3 4. 答案：3 4 [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向 量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． [针对训练] 1．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若AB ―→ ＝ λ AM ―→ ＋μ AN ―→ ，则 λ＋μ 等于(　　) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 解析：选 D　因为 AB ―→ ＝ AN ―→ ＋ NB ―→ ＝ AN ―→ ＋ CN ―→ ＝ AN ―→ ＋( CA ―→ ＋ AN ―→ )＝2 AN ―→ ＋ CM ―→ ＋ MA ―→ ＝2 AN ―→ －1 4 AB ―→ － AM ―→ ，所以 AB ―→ ＝8 5 AN ―→ －4 5 AM ―→ ，所以 λ＝－4 5， μ＝8 5，所以 λ＋μ＝4 5. 2．如图，已知平行四边形 ABCD 的边 BC，CD 的中点分别是 K，L，且AK ―→ ＝e1， AL ―→ ＝e2，试用 e1，e2 表示 BC ―→ ， CD ―→ . 解：设 BC ―→ ＝x， CD ―→ ＝y，则 BK ―→ ＝1 2x， DL ―→ ＝－1 2y. 由 AB ―→ ＋ BK ―→ ＝ AK ―→ ， AD ―→ ＋ DL ―→ ＝ AL ―→ ， 得Error! ①＋②×(－2)，得 1 2x－2x＝e1－2e2， 即 x＝－2 3(e1－2e2)＝－2 3e1＋4 3e2， 所以 BC ―→ ＝－2 3e1＋4 3e2. 同理可得 y＝－4 3e1＋2 3e2，即 CD ―→ ＝－4 3e1＋2 3e2. 突破点二　平面向量的坐标表示 [基本知识] 1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 AB ―→ ＝(x2－x1，y2－y1)． 2．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [基本能力] 1．若 a＝(2,3)，b＝(－1,4)，则 2a－b＝________. 答案：(5,2) 2．已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 AC ―→ ＝(－4，－3)，则向量 BC ―→ ＝________. 解析：设 C(x，y)，则 AC ―→ ＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以Error!解得Error!从而 BC ―→ ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 答案：(－7，－4) 3．已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 4．已知 A(1,4)，B(－3,2)，向量 BC ―→ ＝(2,4)，D 为 AC 的中点，则 BD ―→ ＝________. 解析：设 C(x，y)，则 BC ―→ ＝(x＋3，y－2)＝(2,4)， 所以Error!解得Error!即 C(－1,6)． 由 D 为 AC 的中点可得点 D 的坐标为(0,5)， 所以 BD ―→ ＝(0＋3,5－2)＝(3,3)． 答案：(3,3) [全析考法] 考法一　平面向量的坐标运算　 [例 1]　(1)若 α，β 是一组基底，向量 γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则 a 在另 一组基底 m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　) A．(2,0)　　　　　　 B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2) (2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形 ABCD 中， AD ―→ ＝(3,7)， AB ―→ ＝(－ 2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 CO ―→ 的坐标为(　　) A.(－1 2，5) B.(1 2，5 ) C.(－1 2，－5) D.(1 2，－5) [解析]　(1)因为 a 在基底 p，q 下的坐标为(－2,2)，即 a＝－2p＋2q＝(2,4)，令 a＝xm＋ yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以Error!即Error!所以 a 在基底 m，n 下的坐标为(0,2)． (2)因为在平行四边形 ABCD 中， AD ―→ ＝(3,7)， AB ―→ ＝(－2,3)，对角线 AC 与 BD 交于 点 O，所以 CO ―→ ＝－ AO ―→ ＝－1 2( AD ―→ ＋ AB ―→ )＝(－1 2，－5).故选 C. [答案]　(1)D　(2)C [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求 解．　　 考法二　平面向量共线的坐标表示　 [例 2]　(2019·文登二中模拟)平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d 的坐标． [解]　(1)a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得 k＝－16 13. (2)设 d＝(x，y)，则 d－c＝(x－4，y－1)， 又 a＋b＝(2,4)，| d－c|＝ 5， ∴Error!解得Error!或Error! ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)． [方法技巧] 向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决平面 向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的 解决具有代数化的特点和程序化的特征． (2)当 x2y2≠0 时，a∥b⇔x1 x2＝y1 y2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭 配错误． (3)公式 x1y2－x2y1＝0 无条件 x2y2≠0 的限制，便于记忆；公式x1 x2＝y1 y2有条件 x2y2≠0 的 限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．　　 [集训冲关] 1.[考法一]如果向量 a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么 a－2b＝(　　) A．(9,8) B．(－7，－4) C．(7,4) D．(－9，－8) 解析：选 B　a－2b＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选 B. 2.[考法二]已知向量 a＝(1，－1)，则下列向量中与向量 a 平行且同向的是(　　) A．b＝(2，－2) B．b＝(－2,2) C．b＝(－1,2) D．b＝(2，－1) 解析：选 A　(2，－2)＝2(1，－1)，b＝2a，故选 A. 3.[考法一]已知向量 a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数 m＝ ________. 解析：因为 a＋b＝(5,2m)≠0，所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0 得 2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|， 所以 42＋m2＝2 12＋m2，解得 m＝±2. 答案：±2 4.[考法二 ]已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 ma－nb 与 2a＋b 共线(其中 n∈R，且 n≠0)， 则m n＝________. 解析：由 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，得 ma－nb＝(m＋2n,2m－3n)，2a＋b＝(0,7)，由 ma－nb 与 2a＋b 共线，可得 7(m＋2n)＝0，则m n＝－2. 答案：－2 [课时跟踪检测] [A 级　基础题——基稳才能楼高] 1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(1 2，－3 4) 解析：选 B　A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中， 不存在实数 λ，使得 e1＝λe2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e2＝2 e1， 两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e1＝4 e2，两向量共线，故其不可以作为基 底．故选 B. 2．(2019·石家庄模拟)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A　向量 a＝(1，m)，b＝(m,1)，若 a∥b，则 m 2＝1，即 m＝±1，故“m＝1”是 “a∥b”的充分不必要条件，选 A. 3．(2019·天津六校期中联考)已知向量 a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c， 则 x＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 解析：选 C　∵a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，∴b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c＝(x,3)，(2a＋b)∥c，∴－1×3－x＝0，∴x＝－3. 故选 C. 4．(2019·兰州模拟)已知向量 a＝(1－sin θ，1)，b＝(1 2，1＋sin θ)，若 a∥b，则锐角 θ＝ (　　) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.5π 12 解析：选 B　因为 a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×1 2＝0，得 sin2θ＝1 2， 所以 sin θ＝± 2 2 ，故锐角 θ＝π 4. 5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，F 是 线段 DC 上的点．若 DC＝3DF，设 AC ―→ ＝a， BD ―→ ＝b，则 AF ―→ ＝(　　) A.1 4a＋1 2b B.2 3a＋1 3b C.1 2a＋1 4b D.1 3a＋2 3b 解析：选 B　如图所示，平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，F 是线段 DC 上的点，且 DC＝3DF， ∴ DF ―→ ＝ 1 3 DC ―→ ＝ 1 3( OC ―→ － OD ―→ ) ＝ 1 6( AC ―→ － BD ―→ ) ， AD ―→ ＝ OD ―→ － OA ―→ ＝ 1 2 BD ―→ ＋1 2 AC ―→ .则 AF ―→ ＝ AD ―→ ＋ DF ―→ ＝(1 2 ＋1 2)＋1 6( AC ―→ － BD ―→ )＝1 3 BD ―→ ＋2 3 AC ―→ ＝2 3a＋ 1 3b.故选 B. [B 级　保分题——准做快做达标] 1．(2019·福州期末)已知 a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则| c |＝(　　) A. 26 B．3 2 C. 10 D. 6 解析：选 B　∵a＝(1,2)，b＝(－1,1)，∴c＝2a－b＝(3,3)，∴|c|＝ 9＋9＝3 2，故选 B. 2．(2019·长沙一模)已知向量 OA ―→ ＝(k,12)， OB ―→ ＝(4,5)， OC ―→ ＝(－k,10)，且 A，B， C 三点共线，则 k 的值是(　　) A．－2 3 B.4 3 C.1 2 D.1 3 解析：选 A　 AB ―→ ＝ OB ―→ － OA ―→ ＝(4－k，－7)， AC ―→ ＝ OC ―→ － OA ―→ ＝(－2k，－ 2)． ∵A，B，C 三点共线，∴ AB ―→ ， AC ―→ 共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－ 2 3. 3．(2019·丹东五校协作体联考)向量 a＝(1 3，tan α)，b＝(cos α，1)，且 a∥b，则 cos 2α ＝(　　) A.1 3 B．－1 3 C.7 9 D．－7 9 解析：选 C　∵a∥b，a＝(1 3，tan α)，b＝(cos α，1)，∴1 3－tan α·cos α＝0，∴sin α＝ 1 3，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(1 3 )2＝7 9.故选 C. 4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点， 若 AC ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ BD ―→ ，则 λ＋μ＝(　　) A.4 3 B.5 3 C.15 8 D．2 解析：选 B　以点 A 为坐标原点，分别以 AB ―→ ， AD ―→ 的方向为 x，y 轴的正方向，建 立平面直角坐标系．设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所 以 AC ―→ ＝(2,2)， AM ―→ ＝(2,1)， BD ―→ ＝(－2,2)，所以 λ AM ―→ ＋μ BD ―→ ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因 为 AC ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ BD ―→ ，所以Error!解得Error!所以 λ＋μ＝5 3.故选 B. 5．(2019·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点 P，Q，R，满足 PA ―→ ＋ PB ―→ ＋ PC ―→ ＝ AB ―→ ， QA ―→ ＋ QB ―→ ＋ QC ―→ ＝ BC ―→ ， RA ―→ ＋ RB ―→ ＋ RC ―→ ＝ CA ―→ ，则△PQR 的面积与△ ABC 的面积之比是(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 解析：选 B　由 PA ―→ ＋ PB ―→ ＋ PC ―→ ＝ AB ―→ ，得 PA ―→ ＋ PC ―→ ＝－ PB ―→ ＋ AB ―→ ，即 PA ―→ ＋ PC ―→ ＝ AB ―→ ＋ BP ―→ ＝ AP ―→ ， ∴ PC ―→ ＝2 AP ―→ ，则 P 为线段 AC 的一个三等分点，同理可得 Q，R 的位置． ∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则 S△PQR＝S△ABC－Error!1 2×2c 3 ×1 3bsin A＋1 2×1 3c×2a 3 sin B＋1 2× 1 3a×2b 3 sin CError!＝S△ABC－2 9×3S△ABC＝1 3S△ABC，∴△PQR 与△ABC 的面积比为 1∶3.故 选 B. 6．已知平面直角坐标系内的两个向量 a＝(m,3 m－4)，b＝(1,2)，且平面内的任意向量 c 都可以唯一地表示成 c＝λa＋μb(λ，μ 为实数)，则 m 的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(4，＋∞) C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：选 C　平面内的任意向量 c 都可以唯一地表示成 c＝λa＋μb，由平面向量基本定 理可知，向量 a，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量 a，b 是不共线向量．又因为 a＝(m,3 m－4)，b＝(1,2)，则 m×2－(3 m－4)×1≠0，即 m≠4，所以 m 的取值范围为(－∞， 4)∪(4，＋∞)． 7．(2019·淮南一模)已知 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线 MN 与 AB，AC 分别交于 点 M，N，且 AM ―→ ＝x AB ―→ ， AN ―→ ＝y AC ―→ (x，y>0)，则 3x＋y 的最小值是(　　) A.8 3 B.7 2 C.5 2 D.4 3＋2 3 3 解析：选 D　如图． AC ―→ ＝1 y AN ―→ ， AB ―→ ＝1 x AM ―→ ，又∵ AG ―→ ＝1 3 AB ―→ ＋1 3 AC ―→ ，∴ AG ―→ ＝ 1 3x AM ―→ ＋ 1 3y AN ―→ ，又∵M，G，N 三点共线，∴ 1 3x＋ 1 3y＝1.∵x>0，y>0，∴3x＋y＝(3x＋y)·( 1 3x＋ 1 3y)＝1＋1 3＋ y 3x＋x y≥4 3＋2 3 3 .当且仅当 y＝ 3x 时取等号．故选 D. 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点 且∠AOC＝π 4，| OC ―→ |＝2，若 OC ―→ ＝λ OA ―→ ＋μ OB ―→ ，则 λ＋μ＝(　　) A．2 2 B. 2 C．2 D．4 2 解析：选 A　因为| OC ―→ |＝2，∠AOC＝ π 4，所以 C( 2， 2)，又 OC ―→ ＝λ OA ―→ ＋ μ OB ―→ ，所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以 λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2. 9.如图，A，B，C 是圆 O 上的三点，CO 的延长线与线段 BA 的延长线交 于圆 O 外一点 D，若 OC ―→ ＝m OA ―→ ＋n OB ―→ ，则 m＋n 的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0) 解析：选 D　由点 D 是圆 O 外一点，可设 BD ―→ ＝λ BA ―→ (λ>1)，则 OD ―→ ＝ OB ―→ ＋λ BA ―→ ＝λ OA ―→ ＋(1－λ) OB ―→ .又 C，O，D 三点共线，令OD ―→ ＝－μ OC ―→ (μ>1)，则 OC ―→ ＝－λ μ OA ―→ －1－λ μ · OB ―→ (λ>1，μ>1)，所以 m＝－ λ μ，n＝－ 1－λ μ ，则 m＋n＝－ λ μ－1－λ μ ＝－1 μ∈(－ 1,0)． 10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，则 a＋b＝________. 解析：a＋b＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6) 11.如图，在△ABC 中，已知4 3 BN ―→ － BA ―→ ＝1 3 BC ―→ ，点 P 在线段 BN 上，若 AP ―→ ＝λ AB ―→ ＋ 3 16 AC ―→ ，则实数 λ 的值为________． 解析：4 3 BN ―→ － BA ―→ ＝1 3 BC ―→ 可化为 AN ―→ ＝1 3 NC ―→ ，即 AN ―→ ＝1 4 AC ―→ ，因为 AP ―→ ＝λ AB ―→ ＋ 3 16 AC ―→ ，所以 AP ―→ ＝λ AB ―→ ＋3 4 AN ―→ .由 B，P，N 三点共线可得 λ＝1 4. 答案：1 4 12．已知点 A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若 AP ―→ ＝ AB ―→ ＋λ AC ―→ (λ∈R)，且点 P 在直线 x－2y＝0 上，则 λ 的值为________． 解析：设 P(x，y)，则由 AP ―→ ＝ AB ―→ ＋λ AC ―→ ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋ 5λ，2＋7λ)，所以 x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点 P 在直线 x－2y＝0 上，故 5λ＋4－2(7λ＋5)＝0， 解得 λ＝－2 3. 答案：－2 3 13.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是 BC 边的中点，且有 OA ―→ ＋2 OB ―→ ＋3 OC ―→ ＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________． 解析：取 AC 的中点 D，连接 OE，OD.因为 D，E 分别是 AC，BC 边 的中点，所以 OA ―→ ＋ OC ―→ ＝2 OD ―→ ， OB ―→ ＋ OC ―→ ＝2 OE ―→ ，因为 OA ―→ ＋2 OB ―→ ＋3 OC ―→ ＝ 0，所以 2 OD ―→ ＋4 OE ―→ ＝0，所以 O，D，E 三点共线，且|DE| |OD|＝3 2.又因为△AEC 与△AOC 都以 AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为 3∶2. 答案：3∶2 14.如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上的点，∠CBA＝60°，∠ABD ＝45°， CD ―→ ＝x OA ―→ ＋y BC ―→ ，求 x＋y 的值． 解：不妨设圆 O 的半径为 1， 则 A(－1,0)，B(1,0)，D(0,1)，C(1 2，－ 3 2 )， 所以 CD ―→ ＝(－1 2，1＋ 3 2 )， BC ―→ ＝(－1 2，－ 3 2 ). 又 CD ―→ ＝x OA ―→ ＋y BC ―→ ， 所以(－1 2，1＋ 3 2 ) ＝x(－1,0)＋y(－1 2，－ 3 2 ). 所以Error! 解之得Error! 所以 x＋y＝3＋ 3 3 －3＋2 3 3 ＝－ 3 3 . 15．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB ―→ ＝a， BC ―→ ＝b， CA ―→ ＝c，且 CM ―→ ＝3c， CN ―→ ＝－2b. (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋n c 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量 MN ―→ 的坐标． 解：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为 mb＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8 n)， 所以Error!解得Error! (3)设 O 为坐标原点，因为 CM ―→ ＝ OM ―→ － OC ―→ ＝3c， 所以 OM ―→ ＝3c＋ OC ―→ ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． 所以 M(0,20)．又因为 CN ―→ ＝ ON ―→ － OC ―→ ＝－2b， 所以 ON ―→ ＝－2b＋ OC ―→ ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以 N(9,2)．所以 MN ―→ ＝(9，－18)．