【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：10-2　事件的相互独立性

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：10-2　事件的相互独立性

‎10.2　事件的相互独立性 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为.‎ 答案A ‎2.(2019广东执信中学高三月考)社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C.‎ 答案C ‎3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为.‎ 答案C ‎4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是(　　)‎ A.A与B,A与C均相互独立 B.A与B相互独立,A与C互斥 C.A与B,A与C均互斥 D.A与B互斥,A与C相互独立 解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.‎ 答案A ‎5.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是　　　　. ‎ 解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.‎ ‎∴至少两颗卫星预报准确的概率为 P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.‎ 答案0.902‎ ‎6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为　　　　,问题得到解决的概率为　　　　. ‎ 解析甲、乙两人都未能解决的概率为1-1-=.‎ 问题得到解决就是至少有1人能解决问题,‎ ‎∴P=1-.‎ 答案 ‎7.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响.‎ ‎(1)求三人都被选中的概率;‎ ‎(2)求只有两人被选中的概率.‎ 解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.‎ ‎(1)∵A,B,C是相互独立事件,‎ ‎∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.‎ ‎(2)三种情形:‎ ‎①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(BC)=P()P(B)P(C)=.‎ ‎②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(AC)=P(A)P()P(C)=.‎ ‎③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB)=P(A)P(B)P()=.‎ 以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=.‎ 能力提升练 ‎1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析这两项都不合格的概率是,则至少有一项合格的概率是1-.‎ 答案D ‎2.在电路图中(如图),开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,则P(E)=P(ABC∪AB∪AC)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=.‎ 答案B ‎3.(多选题)(2019全国高一专题练习)下列对各事件发生的概率判断正确的是(　　)‎ A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为 C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为 D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是 解析对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-2×,故A正确;对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得P(A∩)=P(B∩),即P(A)P()=P(B)P(),‎ 即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],‎ 所以P(A)=P(B).‎ 又P()=,‎ 所以P()=P()=,‎ 所以P(A)=,故D错误.‎ 答案AC ‎4.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为　　　　. ‎ 解析事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),当p=时,最大值为.‎ 答案 ‎5.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则的值是　　　　　. ‎ 解析从这20名学生中随机抽取一人,样本点总数为20个.事件A包含的样本点有10个,故P(A)=;事件B包含的样本点有9个,P(B)=,事件AB包含的基本事件有5个,故P(AB)=,故.‎ 答案 ‎6.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.‎ ‎(1)求P2的值;‎ ‎(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.‎ 解(1)P2=.‎ ‎(2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×‎ ‎=-Pn-1+(n∈N,n≥2).‎ ‎7.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.‎ ‎(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;‎ ‎(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.‎ 解记Ai表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,‎ Bj表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.‎ ‎(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”.‎ A=A3A4∪B3B4.‎ 由于各局比赛结果相互独立,故P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)·P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.‎ ‎(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.‎ 因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)·P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.‎ 素养培优练 ‎　在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片跳到另一片),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A片上,则跳三次之后停在A片上的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析由题意知逆时针方向跳的概率为,顺时针方向跳的概率为,青蛙跳三次要回到A只有两条途径,‎ 第一条:按A→B→C→A,P1=;‎ 第二条:按A→C→B→A,P2=.‎ 所以跳三次之后停在A上的概率为P1+P2=.‎ 答案A