数学文卷·2017届安徽省安庆市第一中学高三第三次模拟（2017

数学文卷·2017届安徽省安庆市第一中学高三第三次模拟（2017

安庆一中 2017 届高三年级第三次模拟考试 数学（文科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合 ，则下列选项正确的是（　　） A．0⊆A B．{0}⊆A C．∈A D．{0}∈A 2．若复数 满足 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 3. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4. 函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5.已知动圆圆心在抛物线 y2＝4x 上，且动圆恒与直线 x＝－1 相切，则此动圆必过定点（　） A．(2,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0，－1) 6. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的 边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割 圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近 似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想 设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（　　 ） （参考数据： ≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305） A．12 B．24 C．36 D．48 7 ．“ 若 ” 的 逆 否 命 题 是 { | 1}A x x= > − z izi 34)43( +=− z 4 4− 5 4 5 4− 1 1 2 2 log loga b< 1 1 4 3 a b   <       1 1 a b > ln( ) 0a b− > 3 1a b− < 3 2 1x xy = − 成立都有则 0)(,0,2 1 ≥≥∀≥ xfxa （　） A． B． C． D． 8. 已知实数 ， 满足条件 ，则 的最大值为（　　） A． B．0 C． D．1 9．已知直线 的斜率为 2， 、 是直线 与双曲线 C： ， 的两 个交点，设 、 的中点为 （2，1），则双曲线 C 的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 11. 数列 满足 ，且对于任意的 都有 ， 则 等于（　　） A． B． C． D． 12. 定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数 的所有零 点之和为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题， 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13 已知向量 ， ， ∥（ + ），则 = 2 1,0)(,0 <<<∃ axfx 则成立有 2 1,0)(,0 <≥<∃ axfx 则成立有 2 1,0)(,0 <<≥∀ axfx 则成立有 2 1,0)(,0 <<≥∃ axfx 则成立有 x y 0 0 1 x y x y x − ≥  + ≥  ≤ 1 2 x z y  = −   3 2 − 1 2 l M N l 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > M N P 2 3 2 2 2 9 π 3 π 3 16π 16 9 π { }na 1 1a = n N ∗∈ 1 1n na a a n+ = + + 1 2 2017 1 1 1 a a a + + + 2016 2017 4032 2017 2017 2018 4034 2018 R ( )f x 0x ≥ 1 2 log ( 1) [0,1) ( ) 1 3 [1, ) x x f x x x + ∈=  − − ∈ +∞ ， ， x ( ) ( ) ,(0 1)F x f x a a= − < < 2 1a − 1 2a− 2 1a− − 1 2 a−− ( )1,1=a ),3( mb = a a b m 14.设数列 的前 项和为 ，且 ，则通项 15.若直线 始终平分圆 的周长， 则 的最大值是 16. 已 知 函 数 和 函 数 ， 若 对 于 ，总 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 在 中，角 的对边分别为 ， ， ，且 成等差数列， （1）求 的值； （2）求 的范围． 18．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 某校高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的数学成绩是否 与性别有关，按分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们期中考试数学分数， 然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 5 组：[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰好为一男一女的概率； （2）若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成 2×2 列联表， 并判断是否有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ { }na n nS 1 11, 2 3n na a S+= = + na = 2 2 0( , )ax by a b R− + = ∈ 014222 =+−++ yxyx ab 3( ) 3 , [ 2,2]f x x x x= − ∈ − ( ) 1, [ 2,2]g x ax x= − ∈ − 1 [ 2,2]x∀ ∈ − 0 [ 2,2]x∃ ∈ − 0 1( ) ( )g x f x= a ABC∆ , ,A B C a b c cos , cos , cosAa C b B c B 22sin cos( )A A C+ − P（K2 k0） 0.100 0.050 0.010 0.001≥ B A E D C 附：K2= ． 19．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 如 图 ，在 四 棱 锥 中 ，AE ⊥ DE ，CD ⊥ 平 面 ADE ，AB ⊥ 平 面 ADE ， CD=DA=6，AB=2，DE=3． （1）求 到平面 的距离 （2）在线段 上是否存在一点 ，使 ？ 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 在直角坐标系 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆 的一个焦点为圆 C： 的圆心． （1）求椭圆 的方程； （2）设 是椭圆 上一点，过 作两条斜率之积为 的直线 ， ．当直线 ， 都与 圆 C 相切时，求 的坐标． 21. （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 图象在点 （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为 3． （1）求实数 的值； （2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值． 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。 22. （坐标系与参数方程）（本小题满分 10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直 角坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 ． 2( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d − + + + + E ABCD− B CDE DE F AF BCE 平面 EF ED XOY 1 2 E 2 2 4 2 0x y x+ − + = E P E P 1 2 1l 2l 1l 2l P ( ) lnf x ax x x= + ( , ( ))e f e a k Z∈ ( ) ( 1) 0f x k x− − > 1x > k 4cos 0ρ θ− = x l (3,0)M 6 π k0 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的参数方程； （2）设直线 与曲线 交于 两点，求 ． C l l C AB MA MB+ 23.（不等式选讲）（不小题满分 10 分） 已知函数 ． (1)若 ，解不等式 ； (2)若不等式 在 R 上恒成立，求实数 的取值范围. ( ) ( )f x x a a R= + ∈ 1a = ( ) 3 2f x x x+ − ≤ ( ) 1 3f x x+ − ≥ a 答案 一、1B 2C 3A 4C 5B 6 B 7D 8C 9A 10D 11D 12B 13 3 ， 14 ，15 ，16 , 12【解答】解：∵当 x≥0 时， f（x）= ； 即 x∈[0，1）时，f（x）= （x+1）∈（﹣1，0]； x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]； x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）； 画出 x≥0 时 f（x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出 x＜0 时 f（x）的图象，如图所示； 则直线 y=a，与 y=f（x）的图象有 5 个交点，则方程 f（x）﹣a=0 共有五个实根， 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为 6， ∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）， ∴f（﹣x）= （﹣x+1）， 又 f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）=﹣ （﹣x+1）= （1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）， ∴中间的一个根满足 log2（1﹣x）=a，即 1﹣x=2a， 解得 x=1﹣2a， ∴所有根的和为 1﹣2a． 17【解答】解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA 成等差数列， ∴acosC+ccosA=2bcosB， 由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB， 即：sin（A+C）=sin2B， ∴sinB=2sinBcosB， 又在△ABC 中，sinB≠0， ∴ ， ∵0＜B＜π， ∴ ； …（6 分） （Ⅱ）∵ ， ∴ ∴ = = ， ∵ ， ∴ ∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是 ．… （12 分） 18【解答】解：（1）由已知得，抽取的 100 名学生中，男生 60 名，女生 40 名， 分数小于等于 110 分的学生中， 男生人有 60×0.05=3（人），记为 A1，A2，A3； 女生有 40×0.05=2（人），记为 B1，B2；…（2 分） 从中随机抽取 2 名学生，所有的可能结果共有 10 种，它们是： （A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2）， （A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）； 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有 6 种，它们是： （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1）， （A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）； …（4 分） 故所求的概率为 P= = … （6 分） （2）由频率分布直方图可知， 在抽取的 100 名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生 40×0.375=15（人）；… （7 分） 据此可得 2×2 列联表如下： 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 （9 分） 所以得 K2= = ≈1.79；…（11 分） 因为 1.79＜2.706， 所以没有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12 分） 19【解答】（I）方法一解：∵CD⊥平面 ADE，∴CD⊥AE，又 AE⊥ED，ED∩ CD=D，∴AE⊥平面 CDE，又 AB∥CD，∴ 到平面 的距离为 AE= …（6 分） 方法二 等积法求高 （II）解：在线段 DE 上存在一点 F，使 AF∥平面 BCE， = ． 下面给出证明：设 F 为线段 DE 上的一点，且 = ． 过 F 作 FM∥CD 交 CE 于点 M，则 FM= ， ∵CD⊥平面 ADE，AB⊥平面 ADE， ∴CD∥AB．又 CD=3AB， ∴ ， ∴四边形 ABMF 是平行四边形， ∴AF∥BM，又 AF⊄平面 BCE，BM⊂平面 BCE． ∴AF∥平面 BCE．…（12 分） 20【解答】解：（Ⅰ）由 x2+y2﹣4x+2=0 得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心 C（2，0） 设椭圆 E 的方程为： ，其焦距为 2c，则 c=2， ∵ ，∴a=4，∴b2=a2﹣c2=12 ∴椭圆 E 的方程为： …（5 分） （Ⅱ）方法一设 P（x0，y0），l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则 l1：y﹣y0=k1（x﹣x0） l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且 k1k2= 由 l1 与圆 C：x2+y2﹣4x+2=0 相切得 ∴ 同理可得 从而 k1，k2 是方程 的两个实根 所以 ①，且 ∵ ， ∴ ， ∴x0=﹣2 或 由 x0=﹣2 得 y0=±3；由 得 满足① 故点 P 的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（ ）或（ ） 21【解答】解：（1）由已知得 f′（x）=a+lnx+1，故 f′（e）=3，∴a+lne+1=3， ∴a=1；…（5 分） （2）由（1）知，f（x）=x+xlnx 等价于 k＜ 对任意 x＞1 恒成立 令 g（x）= ，则 g′（x）= 令 h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1， 则 h′（x）=1﹣ = ＞0 ∴h（x）在（1，+∞）上单调增加， ∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0， ∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根 x0，满足 x0∈（3，4），且 h（x0）=0 当 x∈（1，x0）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当 x∈（x0，+∞）时，h（x）＞ 0，∴g′（x）＞0， ∴g（x）= 在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增 ∴g（x）min=g（x0）= = ∈（3，4）， ∴k＜g（x）min=x0∈（3，4）， ∴整数 k 的最大值为 3．…（12 分） 22【解答】（本题满分 10 分） 解：（1）对于 C：由 ρ=4cosθ，得 ρ2=4ρcosθ， ∵ ， ∴x2+y2=4x， ∴对于 l：有 ．…（5 分） （2）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2 将直线 l 的参数方程带入圆的直角坐标方程 x2+y2﹣4x=0， 得 ， 化简得 ， …（10 分） 23 解析(1)依题意，|x＋1|＋|x－3|≤2x. 当 x<－1 时，原不等式化为－1－x＋3－x≤2x，解得 x≥ 1 2，故无解； 当－1≤x≤3 时，原不等式化为 x＋1＋3－x≤2x，解得 x≥2，故 2≤x≤3； 当 x>3 时，原不等式化为 x＋1＋x－3≤2x，即－2≤0 恒成立． 综上所述，不等式 f(x)＋|x－3|≤2x 的解集为[2，＋∞)．(5 分) (2)f(x)＋|x－1|≥3⇔|x＋a|＋|x－1|≥3 恒成立， 由|x＋a|＋|x－1|≥|a＋1|可知，只需|a＋1|≥3 即可， 故 a≥2 或 a≤－4，即实数 a 的取值范围为{a|a≥2 或 a≤－4}．…（10 分）