2018-2019学年河北省武邑中学高二下学期第一次月考数学（文）试题(解析版)
2018-2019学年河北省衡水市武邑中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（3月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合A={x|-1
1”是“1a<1”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】解：a∈R，则“a>1”⇒“1a<1”，
“1a<1”⇒“a>1或a<0”，
∴“a>1”是“1a<1”的充分非必要条件．
故选：A．
“a>1”⇒“1a<1”，“1a<1”⇒“a>1或a<0”，由此能求出结果．
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3. 若a、b是任意实数，且a>b，则( )
A. a2>b2 B. ba<1 C. lg(a-b)>0 D. (12)a<(12)b
【答案】D
【解析】解：a、b是任意实数，且a>b，如果a=0，b=-2，显然A不正确；
如果a=0，b=-2，显然B无意义，不正确；
如果a=0，b=-12，显然C，lg12<0，不正确；
(12)a<(12)b满足指数函数的性质，正确．
故选：D．
由题意可知a>b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．
本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．
1. 元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，问一开始输入的x=( )
A. 34
B. 78
C. 1516
D. 3132
【答案】B
【解析】解：由题意，解方程：2[2(2x-1)-1]-1=0，解得x=78，
故选：B．
与店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，三遇店和，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次，等量关系为：第一次加酒-1+(2×一遇店和朋友后剩的酒量-1)+(2×二遇店和朋友后剩的酒量-1)=0，把相关数值代入即可求解．
考查用一元一次方程解决古代数学问题，得到酒的数量为0的等量关系是解决本题的关键；难点是理解题意．
2. 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为( )
A. π4 B. 1-π4 C. π2-1 D. 2π
【答案】B
【解析】解：以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离不大于1，其面积为π，
∵边长为2的正方形的面积为4，
∴它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为P=4-π4=1-π4．
故选：B．
以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离小于1，其面积为π，再用这个面积除以正方形ABCD的面积，即得本题的概率．
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式.几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小
”有关，而与形状和位置无关
1. 若实数a，b∈R且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A. a2>b2 B. ab>1 C. 2a>2b D. lg(a-b)>0
【答案】C
【解析】解：选项A，当a=-1且b=-2时，显然满足a>b但不满足a2>b2，故错误；
选项B，当a=-1且b=-2时，显然满足a>b但ab=12，故错误；
选项C，由指数函数的单调性可知当a>b时，2a>2b，故正确；
选项D，当a=-1且b=-2时，显然满足a>b但lg(a-b)=lg1=0，故错误．
故选：C．
举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．
本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．
2. 命题“若α=π4，则tan α=1”的逆否命题是( )
A. 若α≠π4，则tan α≠1 B. 若α=π4，则tan α≠1
C. 若tan α≠1，则α≠π4 D. 若tan α≠1，则α=π4
【答案】C
【解析】解：命题“若α=π4，则tan α=1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠π4”.
故选：C．
根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．
本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．
3. 已知p：|x-1|≤1，q：x2-2x-3≥0，则p是￢q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：p：|x-1|≤1，化为-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2．
q：x2-2x-3≥0，解得x≥3或x≤-1，∴￢q：-10时是连续增函数，
f(1)=lg1-1<0，f(10)=lg10-110=910>0，
∴f(1)f(10)<0，
由函数零点的存在性定理，函数f(x)的零点所在的区间为(1,10)，
故选：B．
由函数零点的存在性定理，结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可．
本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．
1. 若直线y=a-tx=1+t(t为参数)被圆y=2+2sinαx=2+2cosα(α为参数)所截的弦长为22，则a的值为( )
A. 1或5 B. -1或5 C. 1或-5 D. -1或-5
【答案】A
【解析】解：直线y=a-tx=1+t(t为参数)即x+y-a-1=0，圆y=2+2sinαx=2+2cosα(α为参数)，即(x-2)2+(y-2)2=4，
表示以(2,2)为圆心、半径等于2的圆．
圆心到直线的距离为d=|2+2-a-1|2=|3-a|2，再根据弦长公式可得(|3-a|2)2+(2)2=4=r2，
求得a=1，或a=5，
故选：A．
把参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式、弦长公式求得a的值．
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．
2. 已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
A. 4+23 B. 3+1 C. 3-1 D. 3+12
【答案】B
【解析】解：已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，
则：设|F1F2|=2c
进一步解得：|MF1|=c，|MF2|=3c
利用双曲线的定义关系式：|MF2|-|MF1|=2a
两边平方解得：c2a2=(23-1)2
ca=3+1
故选：B．
首先根据题意建立关系式利用正三角形的边的关系，和双曲线的定义关系式求的离心率．
本题考查的知识要点：双曲线的定义关系式，正三角形的边的关系，双曲线的离心率，及相关运算．
1. 若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1，其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A. f(1k)<1k B. f(1k)>1k-1 C. f(1k-1)<1k-1 D. f(1k-1)>kk-1
【答案】C
【解析】解；∵f'(0)=x→0limf(x)-f(0)x-0
f'(x)>k>1，
∴f(x)-f(0)x>k>1，
即f(x)+1x>k>1，
当x=1k-1时，f(1k-1)+1>1k-1×k=kk-1，
即f(1k-1)>kk-1-1=1k-1
故f(1k-1)>1k-1，
所以f(1k-1)<1k-1，一定出错，
另解：设g(x)=f(x)-kx+1，
g(0)=0，且g'(x)=f'(x)-k>0，
g(x)在R上递增，
k>1，对选项一一判断，可得C错．
故选：C．
根据导数的概念得出f(x)-f(0)x>k>1，用x=1k-1代入可判断出f(1k-1)>1k-1，即可判断答案．
本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点A(t,2t)(t<0)，则sin(θ+π3)=______．
【答案】-25+1510
【解析】解：根据已知条件：sinθ=-255，cosθ=-55，
所以：sin(θ+π3)=-25+1510．
故答案为：-25+1510．
直接利用三角函数的定义的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，三角函数的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
3. 与双曲线x24-y2=1有共同的渐近线，并且经过点(2,5)的双曲线方程是______．
【答案】y24-x216=1
【解析】解：设与双曲线x24-y2=1有共同的渐近线的双曲线的方程为x2-4y2=λ，
∵该双曲线经过点(2,5)，
∴λ=4-4×5=-16．
∴所求的双曲线方程为：x2-4y2=-16，
整理得：y24-x216=1．
故答案为：y24-x216=1．
依题意，设双曲线的方程为x2-4y2=λ，将点(2,5)的坐标代入可求λ．
本题考查双曲线的简单性质，设出所求双曲线的方程为x2-4y2=λ是关键，属于中档题．
1. 已知双曲线x212-y24=1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．
【答案】[-33,33]
【解析】解：渐近线方程y=±33x，
当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，
这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点
(因为双曲线正在与渐近线无限接近中)，
那么在斜率是[-33,33]两条直线之间的所有直线中，
都与双曲线右支只有一个交点．
此直线的斜率的取值范围[-33,33].
故答案为：[-33,33].
渐近线方程y=±33x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
2. 设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xex，对任意x1、x2∈(0,+∞)，不等式g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立，则正数k的取值范围是______．
【答案】k≥1
【解析】解：∵当x>0时，f(x)=e2x2+1x=e2x+1x≥2e2x⋅1x=2e
∴x1∈(0,+∞)时，函数f(x1)有最小值2e
∵g(x)=e2xex
∴g'(x)=e2⋅(ex-xex)e2x=e2(1-x)ex
当x<1时，g'(x)>0，则函数g(x)在(0,1)上单调递增
当x>1时，g'(x)<0，则函数在(1,+∞)上单调递减
∴x=1时，函数g(x)有最大值
g(1)=e
则有x1、x2∈(0,+∞)，f(x1)min=2e>g(x2)max=e
∵g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立且k>0，
∴ek≤2ek+1
∴k≥1
故答案为k≥1
当x>0时，f(x)=e2x2+1x=e2x+1x，利用基本不等式可求f(x)的最小值，对函数g(x)求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g(x)的最大值，由g(x1)k≤f(x2)k+1恒成立且k>0，则g(x)maxk≤f(x)mink+1，可求
本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
1. 进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了，学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼，某中学高三(3)班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图，其中数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．
(1)求学生周平均体育锻炼时间的中位数(保留3为有效数字)；
(2)从每周平均体育锻炼时间在[0,4]的学生中，随机抽取2人进行调查，求此2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；
(3)现全班学生中有40%是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】解：(1)设中位数为a，
因为前三项的频率和为：(0.02+0.03+0.11)×2=0.32<0.5，
第四组的频率为：0.14×2=0.28，
所以(a-6)×0.14=0.5-0.32，
解得a=517≈7.29，
所以学生周平均体育锻炼时间的中位数是7.29；
(2)由已知，锻炼时间在[0,2]，(2,4]中的人数分别是50×0.02×2=2人，50×0.03×2=3人，
分别记在[0,2]的2人为a1，a2，(2,4]的3人为b1，b2，b3；
则随机抽取2人调查的所有基本事件列举为
(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，
(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，
(b1,b2)，(b2,b3)，(b1,b3)共10个基本事件，
其中体育锻炼时间都超过2小时包含3个基本事件，
所以所求的概率值为P=310；
(3)由题意知，不超过4小时的人数为：50×0.05×2=5人，
其中女生有3人，所以男生有2人，
因此经常锻炼的女生有50×40%-3=17人，男生有30-2=28人，
所以填写2×2列联表为：
男生
女生
小计
经常锻炼
28
17
45
不经常锻炼
2
3
5
小计
30
20
50
所以计算K2=50×(28×3-2×17)230×20×45×5=2527<2.706，
所以没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关．
【解析】(1)根据频率分布直方图计算中位数，即频率值为0.5时对应的横坐标的值；
(2)用列举法求出所有的基本事件数，再计算所求的概率值；
(3)由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．
本题考查了利用频率分布直方图求中位数的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题．
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足ab+a2=c2．
(1)求证：C=2A；
(2)若△ABC的面积为a2sin2B，求角C的大小．
【答案】解：(1)证明：∵ab+a2=c2
∴a2-c2=-ab，
又∵cosC=b2+a2-c22ab=b2-ab2ab=b-a2a，
∴2acosC=b-a，
∴由正弦定理可得：2sinAcosC=sinB-sinA，
∴2sinAcosC=sin(A+C)-sinA=sinAcosC+sinCcosA-sinA，
可得：sinAcosC=sinCcosA-sinA，可得：sinA=sin(C-A)，
∴A=C-A，或A+(C-A)=π(舍去)，
∴C=2A，得证；
(2)∵S△ABC=12absinC=a2sin2B，
又sinC=sin2A=2sinAcosA，
∴12ab×2sinAcosA=a2sin2B，可得：bsinAcosA=asin2B，
∴由正弦定理可得：sinBsinAcosA=sinAsin2B，
∵sinA>0，sinB>0，
∴cosA=sinB，
∴A+B=π2，或B=π2+A，
∴解得C=π2，或C=π4．
【解析】(1)由已知可得a2-c2=-ab，利用余弦定理可得2acosC=b-a，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得：sinA=sin(C-A)，即可得证C=2A．
(2)由已知利用三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得sinBsinAcosA=sinAsin2B，结合sinA>0，sinB>0，可得cosA=sinB，可得A+B=π2，或B=π2+A，根据三角形的内角和定理即可得解C的值．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，二倍角的正弦函数公式，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
1. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且Sn=nan+1-n2-n．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=2n+1n2(an+1-1)2，求{bn}的前n项和Tn．
【答案】解：(1)由条件知Sn=nan+1-n2-n，①
当n=1时，a2-a1=2；
当n≥2时，Sn-1=(n-1)an-(n-1)2-(n-1)，②
①-②得an=nan+1-(n-1)an-2n，
整理得an+1-an=2．
综上可知，数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列，从而得an=2n+1．
(2)由(1)得bn=2n+1n2(an+1-1)2=2n+1n2(2n+2)2=14[1n2-1(n+1)2]，
所以前n项和Tn=14[1-122+122-132+…+1n2-1(n+1)2]=14[1-1(n+1)2]=14-14(n+1)2．
【解析】(1)可令n=1，将n换为n-1，相减，运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；
(2)求得bn=2n+1n2(an+1-1)2=2n+1n2(2n+2)2=14[1n2-1(n+1)2]，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．
2. 已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
【答案】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1-ax．
(1)当a=2时，f(x)=x-2lnx，f'(x)=1-2x(x>0)，
因而f(1)=1，f'(1)=-1，
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1)，
即x+y-2=0
(2)由f'(x)=1-ax=x-ax，x>0知：
①当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)为(0,+∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f'(x)=0
，解得x=a．
又当x∈(0,a)时，f'(x)<0，当x∈(a,+∞)时，f'(x)>0．
从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．
【解析】(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
(2)求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f'(x)>0，函数在定义域(0,+∝)上单调递增，函数无极值，当a>0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．
1. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为23．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：x=22与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|⋅|DF|恒为定值．
【答案】(1)解：由已知，可得e=ca=12ab=23a2=b2+c2，
解得a=2，b=3．
故所求椭圆方程为x24+y23=1．
(2)由题意可得：A1(-2,0)，A2(2,0).设P(x0,y0)，
由题意可得：-2b>0)的离心率e=63，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)∵e=63，
∴c2a2=23，于是a2=3b2．
设椭圆C上任一点P(x,y)，
则|PQ|2=x2+(y-2)2=a2(1-y2b2)+(y-2)2=-2y2-4y+4+3b2(-b≤y≤b)．
当0
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