2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编八大提分笔记-3三角函数、解三角形、平面向量

2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编八大提分笔记-3三角函数、解三角形、平面向量

三、三角函数、解三角形、平面向量 ‎1α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．‎ 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．‎ ‎2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：tanα＝.‎ ‎(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限 角 ‎－α π－α π＋α ‎2π－α －α 正弦 ‎－sinα sinα ‎－sinα ‎－sinα cosα 余弦 cosα ‎－cosα ‎－cosα cosα sinα ‎3三角函数的图象与性质 ‎(1)五点法作图；‎ ‎(2)对称轴：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；‎ 对称中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z；y＝tanx，，k∈Z.‎ ‎(3)单调区间：‎ y＝sinx的增区间：(k∈Z)，‎ 减区间：(k∈Z)；‎ y＝cosx的增区间：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，‎ 减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；‎ y＝tanx的增区间：(k∈Z)．‎ ‎(4)周期性与奇偶性：‎ y＝sinx的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cosx 的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tanx的最小正周期为π，为奇函数．‎ 易错警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误：‎ ‎(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；‎ ‎(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；‎ ‎(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为.‎ ‎4两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.‎ cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.‎ tan(α±β)＝.‎ sin2α＝2sinαcosα.‎ cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.‎ 在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：‎ α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，‎ α＝[(α＋β)＋(α－β)]．‎ α＋＝(α＋β)－，α＝－.‎ ‎5三角变换基本方法：化切为弦、降幂升幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名．‎ ‎6解三角形 ‎(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中A>B⇔sinA>sinB.‎ ‎(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常选用余弦定理判定三角形的形状．‎ ‎7解三角形的实际应用问题注意区分俯角和仰角，方位角和方向角的不同．‎ ‎8数0与零向量有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，特别在书写时要注意，否则有质的不同．‎ ‎9平面向量的基本概念及线性运算 ‎(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：＋＝；－＝.‎ ‎(2)向量满足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(3)实数λ与向量a的积是一个向量，记为λa，其长度和方向规定如下：‎ ‎①|λa|＝|λ||a|；②λ>0，λa与a同向；λ<0，λa与a反向；λ＝0或a＝0，λa＝0.‎ ‎(4)平面向量的两个重要定理 ‎①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．‎ ‎10向量的平行与垂直 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.‎ a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．‎ ‎11当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．‎ ‎12向量的数量积 ‎|a|2＝a2＝a·a，‎ a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，‎ cosθ＝＝，‎ a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝.‎ 注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；‎ ‎〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；‎ ‎〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．‎ ‎13两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．‎ ‎14向量a在向量b上的投影|a|cosθ 是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．‎ ‎15几个向量常用结论 ‎(1)＋＋＝0⇔P为△ABC的重心；‎ ‎(2)·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心；‎ ‎(3)向量λ(λ≠0)所在直线过△ABC的内心；‎ ‎(4)||＝||＝||⇔P为△ABC的外心．‎ 忽视角的范围致误 　　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，则α＋β＝________.‎ ‎[错解]　∵α、β为锐角，‎ ‎∴cosα＝＝，cosβ＝＝.‎ ‎∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ‎＝×＋×＝.‎ 又0<α＋β<π.∴α＋β＝或α＋β＝π.‎ ‎[错因分析]　错解中没有注意到0<α＋β<π，对于正弦值可能会有两个解，而利用余弦求解，利用正负关系即可判断．‎ ‎[正解]　因为α，β为锐角，‎ 所以cosα＝＝，‎ cosβ＝＝.‎ 所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ‎＝×－×＝.‎ 又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝.‎ ‎[答案]　 ‎[防范措施]　对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解.‎ 补救训练1　[2016·嘉兴测试]已知α为钝角，sin＝，则sin＝________.‎ 答案　－ 解析　cos＝sin＝⇒cos－α＝，因为α为钝角，即<α<π⇒－<－α<－，所以sin<0，‎ 则sin＝－＝－.‎ 三角函数图象平移致误 　函数y＝3sin的图象可由函数y＝3sin2x的图象(　　)‎ A.向左平移个单位长度得到 B.向右平移个单位长度得到 C.向左平移个单位长度得到 D.向右平移个单位长度得到 ‎[错解]　A ‎[错因分析]　在三角函数图象变换时，对于先进行伸缩变换再进行平移变换的平移量搞错．‎ ‎[正解]　y＝3sin＝3sin，‎ ‎∴只需将y＝3sin2x的x换成x＋即可．‎ ‎∴y＝3sin2x的图象向左平移个单位长度，‎ 得到y＝3sin的图象．‎ ‎[答案]　C ‎[防范措施]　三角函数图象变换时，由f(x)→f(x±a)(a>0)是左加右减，即x＋a是f(x)向左平移a个单位，x－a是f(x)向右平移a个单位．我们所说的平移多少是对x说的，即“对x说话”．解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩．在平移时，如x有系数ω，则先写成ω(x＋φ)的形式．‎ 补救训练2　将函数h(x)＝2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象(　　)‎ A.关于直线x＝0对称 B.关于直线x＝1对称 C.关于(1,0)点对称 D.关于(0,1)点对称 答案　D 解析　依题意，将h(x)＝2sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后得y＝2sin2x－＋＋2，即f(x)＝2sin＋2的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称.‎ 三角函数的单调性判断致误 　函数y＝sin的单调区间是________．‎ ‎[错解]　函数y＝sin的单调递增区间为2kπ－≤－x≤2kπ＋，解得3kπ＋≤x≤3kπ＋π；单调递减区间为2kπ＋≤－≤2kπ＋，解得3kπ－π≤x≤3kπ－，其中k∈Z.‎ ‎[错因分析]　受思维定势，按函数y＝sin的单调区间的判断方法求解．‎ ‎[正解]　原函数变形为y＝－sin，令u＝－，则只需求y＝sinu的单调区间即可，所以y＝sinu在2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)上单调递增；y＝sinu在2kπ＋≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ＋≤x≤3kπ＋π(k∈Z)上单调递减．‎ 故y＝sin＝－sinu的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为，(k∈Z)．‎ ‎[答案]　单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)‎ ‎[防范措施]　当题目涉及f(x)＝Asin(ωx＋φ)的性质时，要将ωx＋φ视为整体，再与y＝sinx的相关性质对应，同时注意ω与零的大小.‎ 补救训练3　[2016·海口调研]已知函数f(x)＝sin2(ωx)－(ω>0)的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意得f(x)＝－＝－cos2ωx，最小正周期T＝＝，ω＝2，f(x)＝－cos4x，将f(x)＝－cos4x的图象向右平移a个单位后得到的是函数g(x)＝－cos[4(x－a)]的图象. 又函数g(x)的图象关于原点对称，因此有g(0)＝－cos4a＝0,4a＝kπ＋，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，因此正实数a的最小值是，选D.‎ 解三角形多解、漏解致误 　　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝.‎ ‎(1)若C＝，求A；‎ ‎(2)若A＝，求b.‎ ‎[错解]　(1)在△ABC中，＝，‎ ‎∴sinA＝＝，∴A＝或.‎ ‎(2)由＝，得sinC＝＝.‎ ‎∴C＝，由C＝知B＝，‎ ‎∴b＝＝2.‎ ‎[错因分析]　在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.这样就出现丢解的错误．‎ ‎[正解]　(1)由正弦定理得＝，‎ 即sinA＝＝.‎ 又a0，∴>0⇒2λ＋1>0，‎ 得λ>－，λ的取值范围是.‎ ‎[错因分析]　当向量a，b同向时，θ＝0，cosθ＝1满足cosθ>0，但不是锐角．‎ ‎[正解]　因θ为锐角，有00且a，b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角⇔a·b<0且a，b不反向.‎ 补救训练6　设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为.若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．‎ 解　∵2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，‎ ‎∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0‎ 且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ<0)．‎ 由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0得2t2＋15t＋7<0，‎ ‎∴－7

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