数学文卷·2017届广东省普宁市华侨中学高三上学期期末考试（2017

数学文卷·2017届广东省普宁市华侨中学高三上学期期末考试（2017

普宁市华侨中学 2017 届高三级上学期·期末考 文科数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。 2.用 2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相 应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁。 第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分） 本卷共 12 题，每题 5 分，共 60 分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。 1.已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则集合 A∩B=（　　） A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3 或 x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3} 2.已知 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.若 a＜0，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4.已知 4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为（　　） A． B． C． D． 5.设 是不同的直线， 是不同的平面，有以下四个命题： A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 i 11z i = + ,m n ,α β // , //m nα α //m n ,m α α β⊥ ⊥ //m β // ,m α α β⊥ m β⊥ D．若 ，则 6.某生产厂商更新设备，已知在未来 年内，此设备所花费的各种费用总和 （万元）与 满足函数关系 ，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限 为 （ ） A．3 　　　　B．4 　　　　C．5 　　　　　D．6 7.已知 中，内角 , , 所对的边长分别为 , , ，若 ，且 ， ，则 的面积等于（ ） . . . . 8.如图所给的程序运行结果为 S=35，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是（　　） A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6 9.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这 个命题本质的式子是( ) A． B． C． D． 10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的 体积为（　　） A． B．4π C．2π D． 11.函数 f（x）=sinx•ln|x|的部分图象为（　　） , //m α α β⊥ m β⊥ x y x 24 64y x= + x ABC∆ A B C a b c 3A π= 2 cosb a B= 1c = ABC∆ A 3 4 B 3 2 C 3 6 D 3 8 2 1 1 1 11 22 2 2 2n n + + +⋅⋅⋅+ = − 2 1 1 11 22 2 2n + + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ < 2 1 1 1 12 2 2n + +⋅⋅⋅+ = 2 1 1 1 12 2 2n + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ < A． B． C． D． 12.已知抛物线 的交点为 ，直线 与 相交于 两点，与双曲线 的渐近线相交于 两点，若线段 与 的中点相同，则双曲线 离 心率为（ ） A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，共 20 分） 13.设数列 前 项和为 ，如果 那么 _____． 14.过双曲线 的左焦点 F1 作一条 l 交双曲线左支于 P、Q 两点，若|PQ|=4，F2 是 双曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是　 　． 15.已知 为球 的半径，垂直于 的平面截球面得到圆 （ 为截面与 的交 点）.若圆 的面积为 ， ，则球的表面积为___________. 16.设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为 35，则 a+b 的最小值为　 　． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 10 分） 设 是公比大于 的等比数列， 为数列 的前 项和，已知 ，且 ， ， 成等差数列． （1）求数列 的通项公式； 2: 4C y x= F 1y x= − C ,A B 2 2 2 2: 2x yE a b − = ( 0, 0)a b> > ,M N AB MN E 6 3 2 15 3 3 { }na n nS ( )1 36 ,7 3 n n Sa a n Nn += = ∈+ 48a = OA O OA M M OA M 2π 2OM = { }na 1 nS { }na n 3 7S = 1a 2a 3 1a − { }na （2）若 ， ， ， ，求和： ． 18. （本小题满分 12 分） 某企业通过调查问卷（满分 分）的形式对本企业 名员工的工作满意度进行调查，并 随机抽取了其中 名员工（ 名女员工， 名男员工）的得分，如下表： （1）根据以上数据，估计该企业得分大于 分的员工人数； （2）现用计算器求得这 名员工的平均得分为 分，若规定大于平均得分为“满意”， 否则为“不满意”，请完成下列表格： （3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过 的 前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？ 参考数据： 19. （本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）求 的值； （2）若函数 在区间 上是单调递增函数，求实数 的最大值． 4 2 1logn nb a += 1n = 2 3  1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n nb b b b b b b b− + + + + 50 900 30 16 14 45 30 40.5 1% ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( ) 22 3sin cos 2cosf x x x x= + 24f π     ( )f x [ ],m m− m 20. （本小题满分 12 分） 四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ，且平面 平面 ． （1）求证： ； （2）在线段 上是否存在一点 ，使二面角 的大小为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分 12 分） 如图所示，抛物线 ： 在点 ， 处的切线垂直相交于点 ，直线 与椭圆 ： 相交于 ， 两点． （1）求抛物线 的焦点 与椭圆 的左焦点 的距离； （2）设点 到直线 的距离为 ，试问：是否存在直线 ，使得 ， ， 成 等比数列？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由． 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）若函数 与函数 在点 处有共同的切线 ，求 的值； P ABCD− ABCD 90ADC BCD∠ = ∠ = ° 2BC = 3CD = 4PD = 60PDA∠ = ° PAD ⊥ ABCD AD PB⊥ PA M M BC D− − 6 π PM PA 1C 2 4x y= A B P AB 2C 2 2 14 2 x y+ = C D 1C F 2C 1F P AB d AB AB d CD AB ( ) lnf x x= ( ) ( )F x tf x= ( ) 2 1g x x= − 1x = l t （2）证明： ； （3）若不等式 对所有 ， 都成立，求实数 的取值范围． 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C C D B A D D D A C 13.350 14.12 15. 16.8 17.解：（1）由已知得： ，解得 …………………………2 分 设数列 的公比为 ，由 ，可得 ， ， ( ) ( ) 1 2 f xf x x x − > + ( )mf x a x≥ + 30, 2m  ∈   21,x e ∈  a 16π 1 2 3 1 3 2 7 1 2 a a a a a a + + =  + − = 2 2a = { }na q 2 2a = 1 2a q = 3 2a q= （2）由（1）得 ，由于 ， ， ， ， ．……7 分 ………………………………………10 分 18.解：（1）从表中可知， 名员工中有 名得分大于 分，所以任选一名员工，他（她） 的得分大于 分的概率是 ，所以估计此次调查中，该单位约有 名 员工的得分大于 分．…4 分 （2）依题意，完成 列联表如下： ……………………………………………………8 分 （3）假设 ：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得 的观测值 ，查表得 ……………………10 分 能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为性别与工作是否满足有 关．……………………12 分 19.解：（1） 2 2 1 2 4n n na + = = 4 2 1logn nb a += 1n = 2  4log 4n nb n∴ = = ( )1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1n nb b b b b b b b n n− ∴ + + + + = + + +× × −  1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1n n n = − + − + − + + − = −− 30 8 45 45 8 4 30 15 = 4900 24015 × = 45 2 2× 0H 2K ( )230 12 11 3 4 8.571 6.63515 15 16 14k × × − ×= ≈ >× × × ( )2 6.635 0.010.8P K ≥ = ∴ 1% ( ) 3sin 2 cos2 1f x x x= + + ………………………3 分 …………………………5 分 （2）由 ， 得 ， 在区间 （ ）上是增函数……………………8 分 当 时， 在区间 上是增函数，若函数 在区间 上是单调递 增函数， 则 ………………………10 分 ，解得 的最大值是 ………………………12 分 20.解：证明：（1）过 作 ，交 于 ，连接 ． ， ， ， 四边形 是矩形， ． ， ， ， ．…………2 分 ， ．又 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，……3 分 平面 ， ．………………………5 分 （2） 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ． 3 12 sin 2 cos2 1 2sin 2 12 2 6x x x π   = + + = + +        2sin 1 2sin 1 2 124 12 6 4f π π π π   ∴ = + + = + = +       2 2 22 6 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈ 3 6k x k π ππ π− ≤ ≤ + k Z∈ ( )f x∴ ,3 6k k π ππ π − +   k Z∈ 0k = ( )f x ,3 6 π π −   ( )f x [ ],m m− [ ], ,3 6m m π π − ⊆ −   6 3 0 m m m π π  ≤ ∴ − ≥ −  >  0 6m π< ≤ m∴ 6 π B BO CD AD O OP AD BC  90ADC BCD∠ = ∠ = ° CD OB ∴ OBCD OB AD∴ ⊥ 2OD BC= = 4PD = 60PDA∠ = ° 2 2 2 cos60 2 3OP PD OD PD OD∴ = + − ° =  2 2 2OP OD PD∴ + = OP OD∴ ⊥ OP ⊂ OPB OB ⊂ OPB OP OB O= AD∴ ⊥ OPB PB ⊂ OPB AD PB∴ ⊥  PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= OA AD⊥ OP∴ ⊥ ABCD 以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，…………………7 分 如图所示： 则 ， ，假设存在点 使得二面角 的大小为 ，则 ， ． 设平面 的法向量为 ，则 ． ，令 得 ．………9 分 平面 ， 为平面 的一个法向量．…………………10 分 ．……………………11 分 解得 ． ．…………………12 分 21.解：（1）抛物线 的焦点 ， 椭圆 的左焦点 ，则 ．……………………2 分 （2）设直线 ： ， ， ， ， ， O OA OB OP ( )0, 3,0B ( )2, 3,0C − ( ),0,M m n M BC D− − 6 π ( ), 3,MB m n= − − ( )2,0,0BC = − BCM ( ), ,n x y z= 0 0 m BC m MB  = =       2 0 3 0 x mx y nz − =∴− + − = 1y = 30,1,n n  =      OP ⊥ ABCD ( )0,0,1n∴ = ABCD 2 3 3cos , 23 1 m n nm n m n n ∴ = = = +      1n = 1 2 3 1 6 3 62 3 PM PO PA PO − − −∴ = = = 1C ( )0,1F 2C ( )1 2,0F − 1 3FF = AB y kx m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y ( )4 4,D x y 由 得 ， 故 ， ．………………………4 分 由 ，得 ， 故切线 ， 的斜率分别为 ， ，………………………5 分 再由 ，得 ，即 ， 故 ，这说明直线 过抛物线 的焦点 ．……………………6 分 由 得 ， ， 即 ．……………………………………8 分 于是点 到直线 ： 的距离 ． 由 得 ， 从而 ， 同理， ………………………10 分 若 ， ， 成等比数列，则 ， 即 ， 化简整理，得 ，此方程无实根， 所以不存在直线 ，使得 ， ， 成等比数列………………………12 分 2 , 4 , y kx m x y = +  = 2 4 4 0x kx m− − = 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x m= − 2 4x y= 2 xy′ = PA PB 1 2PA xk = 2 2PB xk = PA PB⊥ 1PA PBk k = − 1 2 1 2 4 12 2 4 4 x x x x m m −= = = − = − 1m = AB 1C F 2 1 1 2 2 2 2 4 ,2 4 x xy x x xy x  = −  = − ， 1 2 22 x xx k += = 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 12 12 4 4 4 4 4 x x x x x x x xy k kx x += − = − = − = = −  ( )2 , 1P k − ( )2 , 1P k − AB 1 0kx y− + = 2 2 2 2 2 2 1 1 kd k k += = + + 2 2 1, 1,4 2 y kx x y = + + = ( )2 21 2 4 2 0k x kx+ + − = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 2 2 8 1 4 1 11 2 1 2 k k k CD k kk k − + − + = + = ++ +  ( )24 1AB k= + AB d CD 2d AB CD=  ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 8 1 4 2 1 4 1 1 1 2 k k k k k + + = + + + 4 228 36 7 0k k+ + = AB AB d CD 22.解：（1） ， ， ， 与 在点 处有共同的切线 ， ，即 ，……………………………4 分 （2）令 ，则 ， 则 在 上是增函数，在 上是减函数， 的最大值为 ， 的最小值是 ，…………………………6 分 设 ， ， 故 在 上是增函数，在 上是减函数，故 ， ；………………………8 分 （3）不等式 对所有的 ， 都成立， 则 对所有的 ， 都成立， 令 ， ， 是关于 的一次函数， ， ， 当 时， 取得最小值 ， 即 ，当 时，恒成立，故 ．……………………………12 分 ( ) 2g x x′ = ( ) ( ) lnF x tf x t x= = ( ) ( ) tF x tf x x ′ ′= = ( ) ( )F x tf x= ( ) 2 1g x x= − 1x = l ( ) ( )1 1k F g′ ′∴ = = 2t = ( ) ( )h x f x x= − ( ) 1 11 xh x x x −′ = − = ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h x∴ ( )1 1h = − ( )h x∴ 1 ( ) ( ) 1 ln 1 2 2 f x xG x x x = + = + ( ) 2 1 ln xG x x −′ = ( )G x ( )0,e ( )e,+∞ ( )max 1 1 1e 2G x = + < ( ) ( ) 1 2 f xf x x x ∴ − > + ( )mf x a x≥ + 30, 2m  ∈   21,ex  ∈  lna m x x≤ − 30, 2m  ∈   21,ex  ∈  ( ) lnH x m x x= − 30, 2m  ∈   21,ex  ∈  m 21,ex  ∈  [ ]ln 0,2x∴ ∈ ∴ 0m = ( )H m x− a x≤ − 21,ex  ∈  2ea ≤ −