2018-2019学年新疆实验中学高二上学期期末考试数学（理)试题 解析版

2018-2019学年新疆实验中学高二上学期期末考试数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 新疆实验中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线y＝2x2的准线方程是( )‎ A．x＝－ B．x＝ C．y＝－ D．y＝‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线方程变形为，准线方程为 考点：抛物线方程及性质 ‎2．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线渐近线方程：（焦点在x轴上），代入即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，，代入即可 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查双曲线渐近线方程（焦点在x轴上）， (焦点在y轴），属于简单题目。‎ ‎3．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据抛物线的定义，可以求出点A，B到准线距离，即可求得的长。‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线方程是，所以，‎ ‎，，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法。‎ ‎4．若方程,表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．‎ 解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ‎∴故0＜k＜1‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．‎ ‎5．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.‎ 考点：充分条件、必要条件.‎ ‎6．曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义以及曲线在某点处的切线求法。‎ ‎7．已知正方体，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将平移到,则异面直线与所成的角等于,连接在根据余弦定理易得。‎ ‎【详解】‎ 设正方体边长为1，将平移到,则异面直线与所成的角等于，连接。则，所以为等边三角形，所以。‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查立体几何正方体异面直线问题，异面直线求夹角，将其中一条直线平移到与另外一条直线相交形成的夹角即为异面直线夹角，属于简单题目。‎ ‎8．函数的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数的定义域为，排除选项A；‎ 当时，，且 ，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，排除选项C；‎ 当时，函数，排除选项D，选项B正确．选B．‎ 点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎9．若函数在区间内是增函数，则实数 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，再分类讨论和两种情况，再对满足条件的取并集即可。‎ ‎【详解】‎ 当时，恒成立，即在R上单调递增，满足条件。‎ 当时， 解得，又在区间内是增函数，即 。‎ 综上所述 故选: B ‎【点睛】‎ 此题考查定区间单调求参数取值范围题型，用到的方法为分类讨论，属于一般性题目。‎ ‎10．在四面体中,,分别是棱的中点,设,且,则的值分别为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，设CD的中点为M，连接MF，ME。易得，将用表示出来即可。‎ ‎【详解】‎ 设CD的中点为M，连接MF，ME。‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查向量的加减运算，关键点在于构建辅助线和中线联系起来，属于较易题目。‎ ‎11．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】已知双曲线双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率 ‎ ‎ ，故选C ‎【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．方程表示的曲线是(　　)‎ A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程平方，注意变量的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由得，即，∴曲线是半个圆．‎ ‎【点睛】‎ 把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，象本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关．‎ ‎13．双曲线的焦距为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的标准方程可得a=1,b=,所以可求出c,进而可得焦距2c.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以a=1,b=，所以=,所以c=,所以焦距为2c=.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题型.‎ ‎14．已知函数在x=1处取得极值,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题可得，因为函数在处取得极值，‎ 所以且，解得或．‎ 当时，，不符合题意；‎ 当时，，满足题意．‎ 综上，实数．‎ ‎15．函数的减区间为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求导，画出导函数，根据导函数正负判断出原函数单调性即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，画出导函数图像，易得时，即 单调递减。‎ 故：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查已知解析式求单调区间题型，直接求导通过导函数正负判断原函数单调性即可，属于较易题目。‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，若，则的面积的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，利用韦达定理结合弦长公式求出弦长，得出面积表达式，利用基本不等式求出最值。‎ ‎【详解】‎ 抛物线焦点为 抛物线的方程为 联立抛物线方程和直线方程得 ‎ 因为又两交点， 即 所以恒成立。‎ 设点，‎ 则， ‎ ‎ 到直线的距离 当且仅当，即时取等号，即的面积的最大值为。‎ ‎【点睛】‎ 此题考查直线和抛物线交点弦问题，一般思路将直线和抛物线联立起来，弦长可通过两点间距离公式和韦达定理求解，三角形面积底边长即为弦长，高为点到直线距离，属于一般性题目。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求满足下列条件的曲线的标准方程：‎ ‎（1），，焦点在轴上的椭圆；‎ ‎（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上抛物线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先依据条件求出，再依的关系求出，最后写出方程；‎ ‎（2）先求出直线与坐标轴的交点，即得抛物线的焦点坐标，因此可以写出方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，解得，所以，‎ 故所求的椭圆方程为；‎ ‎（2）直线与坐标轴的交点坐标分别是，‎ 当焦点坐标为时，，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：‎ 当焦点坐标为时，，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用椭圆性质求椭圆方程，以及利用抛物线性质求抛物线方程。‎ ‎18．已知函数。‎ ‎（1）求的单调区间.‎ ‎（2）求在区间的最值.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）,‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出 的最大值和最小值即可．‎ 试题解析：(1)函数的定义域为， ‎ 由得 ，由. ‎ ‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ ‎ (2)由(1)知当，的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为， ‎ 又 ‎ ‎19．如图，三棱柱中，平面，为正三角形，是边的中点，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明平面，根据面面垂直的性质定理可以得到平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为三棱柱中平面，‎ 所以平面，又平面，所以平面平面 因为为正三角形，为的中点，‎ 所以，又平面平面，所以平面，又平面 所以平面平面.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则 ‎，，，，‎ 所以， 设平面的法向量则 ‎ 即 令，则得同理可求得平面的法向量 设二面角的大小为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量的方法计算二面角的余弦值，属于中档题.‎ ‎20．椭圆的右焦点为，右顶点、上顶点分别为，，且.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若斜率为的直线过点，且交椭圆于两点，，求直线的方程和椭圆的方程.‎ ‎【答案】（1） ；（2）。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据，找到的关系，即可求出离心率；（2）依点斜式直接写出直线方程，然后利用关系将方程表示成，直线方程与椭圆方程联立，得到，再依，列出方程，求出，即得椭圆方程。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，即，化简有，即 ‎ 所以，。‎ ‎（2）直线的方程是：，即 由（1）知，椭圆方程可化为：，设 ‎ 联立 ，‎ 因为，所以，即 ‎ 亦即 ，从而，解得，‎ 故椭圆的方程为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆性质的应用，以及直线与椭圆的位置关系。‎ ‎21．如图，设椭圆（a＞1）.‎ ‎（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；‎ ‎（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先联立和，可得，，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）设直线被椭圆截得的线段为，由得，‎ 故，．‎ 因此．‎ ‎（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ‎．‎ 记直线，的斜率分别为，，且，，．‎ 由（Ⅰ）知，，，‎ 故，‎ 所以．‎ 由于，，得，‎ 因此， ①‎ 因为①式关于，的方程有解的充要条件是，‎ 所以．‎ 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，‎ 由得，所求离心率的取值范围为．‎ ‎【考点】弦长，圆与椭圆的位置关系，椭圆的离心率．‎ ‎【思路点睛】（Ⅰ）先联立和，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）利用对称性及已知条件任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点，求得的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间是，减区间是；（2）见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求解函数单调区间的步骤即可求解；（2）将原不等式变形，构造函数，通过研究其单调性，再结合其在及的取值范围，利用符号法则即可证明。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域是，， 因为 由 解得；由解得；‎ 故函数的单调增区间是，减区间是。‎ ‎（2）依题意，等价于 ，‎ 即 ‎ 设，则，‎ 设，则 ‎ 所以当时，；当时，， ‎ 函数的最小值为，所以在上递增，‎ 而，所以时，；时，‎ 综上，时，， ，可得；‎ 时，，，可得，‎ 故当时，。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及利用导数证明函数不等式，将恒成立问题转化为函数的最值问题，是证明函数不等式的常用方法。‎