河北省石家庄市辛集中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

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河北辛集中学2017级高三上学期期中考试 高三数学（理科）试卷 第I卷（共70分）‎ 一、选择题，（本大题共14个小题，每小题5分，共80分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.设集合.则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解二个不等式，化简集合，先求出,最后求出.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，因此，‎ 所以，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键.‎ ‎2.设为锐角，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用二倍角公式可求出的值.‎ ‎【详解】因为设为锐角，则，，‎ ‎，所以，‎ 所以，故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数以及二倍角正弦公式求值，再利用同角三角函数求值时，需要确定角的取值范围，判断出所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎3.已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a＝‎1”‎的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果．‎ ‎【详解】解：∵复数z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，‎ ‎∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），‎ 若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，‎ ‎∴﹣2＜a＜2，‎ ‎∴“点M在第四象限”是“a＝‎1”‎的必要而不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．‎ ‎4.若不等式组可表示为由直线围成的三角形区域（包括边界），则实数的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意作出表示的平面区域，再由直线恒过，结合图像即可得出结果.‎ ‎【详解】由作出平面区域如下：‎ 因为直线恒过，由图像可得，当直线过和 的交点时，恰好不能构成三角形，又和的交点为，此时直线斜率为，故若直线围成的三角形则需即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域，要注意根据不等号方向准确找出平面区域.‎ ‎5.已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则时，的值是（ ）‎ A. 10 B. ‎120 ‎C. 130 D. 140‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.‎ ‎【详解】设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎6.设函数，则（ ）‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合对数函数的运算性质可得，‎ 所以=，计算即可得出结果.‎ ‎【详解】由可得，所以 ‎==.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查对数函函数的运算性质，要注意找规律结合运算.‎ ‎7.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c的大小即可.‎ ‎【详解】由指数函数的性质可知：，，‎ 由对数函数的性质可知，‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎8.若曲线关于点对称，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用正弦函数图像的对称性，可知，由此可得出结果.‎ ‎【详解】由关于点对称，所以，所以，即，又，所以或.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查三角函数图像及其性质，考察运算求解能力.‎ ‎9.已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）‎ A. 有最小值 B. 有最大值 C. 是减函数 D. 是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.‎ ‎【详解】由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，‎ ‎.‎ 当时，由于函数和函数在上都为增函数，‎ 此时，函数在上为增函数；‎ 当时，在上增函数；‎ 当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，‎ ‎，所以，函数在上为增函数.‎ 综上所述：函数在区间上为增函数，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.‎ ‎10.已知内角的对边分别为，若，，则的形状是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理将化边代入，结合求解即可 ‎【详解】由题 当，三角形为直角三角形 当，则，又，则三角形为等腰三角形 故选：D ‎【点睛】本题考查余弦定理，注意角化边的应用，是基础题，注意等式两边不能随便约分，是易错题 ‎11.过点的直线与函数的图象交于，两点，为坐标原点，则（ ）‎ A. B. C. 10 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数图象关于点P对称，得出过点的直线与函数的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有，再计算的值．‎ ‎【详解】 ，‎ ‎∴函数的图象关于点对称，‎ ‎∴过点的直线与函数的图象交于A，B两点，‎ 且A，B两点关于点对称，‎ ‎∴，则．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．‎ ‎12.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的中点为，连接、、，易知即为异面直线与所成的角（或其补角）。由余弦定理，计算得即可。‎ ‎【详解】如图，设的中点为，连接、、，‎ 易知即为异面直线与所成的角（或其补角）‎ 设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，‎ 则，，，‎ 由余弦定理，得 故应选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知即为异面直线与所成的角（或其补角），进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可。‎ ‎13.已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为,则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，确定点O的位置，结合三角形面积公式求解.‎ ‎【详解】因为，所以,‎ 分别取的中点,则,.‎ 所以,即三点共线且.如图所示，‎ 则,由于D为AC中点，所以,所以.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的应用，利用向量的线性运算及共线定理确定点的位置是求解本题的关键.‎ ‎14.定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当 时，的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先结合题中条件得出函数为减函数且为奇函数，由，可得出，化简后得出，结合可求出，再由结合不等式的性质得出的取值范围.‎ ‎【详解】由知此函数为减函数.‎ 由函数是关于的“中心捺函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递减，‎ 于是得，.‎ ‎，.‎ 则当时，令m=x，y=n则：‎ 问题等价于点（x，y）满足区域，如图阴影部分，‎ 由线性规划知识可知为（x，y）与（0，0）连线的斜率，‎ 由图可得，‎ ‎，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查代数式的取值范围的求解，解题的关键就是分析出函数的单调性与奇偶性，利用函数的奇偶性与单调性将题中的不等关系进行转化，应用到线性规划的知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 第Ⅱ卷（共80分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎15.在数列中，，则数列的通项公式________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，知数列为等差数列，先求出，再求即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 即为首项为1，公差为3的等差数列,‎ 所以，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，通项公式，递推公式，属于中档题.‎ ‎16.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2＝θ(θ为钝角)．若，则x1x2＋y1y2的值为_____．‎ ‎【答案】－‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用平面向量数量积的定义和坐标运算得到，再利用两角和的正弦公式和平方关系进行求解.‎ ‎【详解】根据题意知，‎ 又P1，P2在单位圆上，，‎ 即x1x2＋y1y2＝cosθ；‎ ‎∵①‎ 又sin2θ＋cos2θ＝1②‎ 且θ为钝角，联立①②求得cosθ＝－.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义和坐标运算、两角和的正弦公式，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．‎ ‎17.已知为正实数，则的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.‎ ‎【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎18.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得出，将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，求实数的取值范围，然后利用导数分析函数的单调性与极值以及端点函数值，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，得，得.‎ 问题等价于直线与曲线在区间上的图象有两个交点，求实数的取值范围.‎ ‎，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且.‎ 又，，且.‎ 因此，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义问题，解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理，并利用参变量分离法来处理，考查化归与转化数学思想，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19.已知，，分别为内角，，的对边，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求边上的高.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知条件，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得，进而求得的大小.（2）利用正弦定理求得，进而求得的大小，由此求得的值，根据求得边上的高.‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即：，‎ ‎∴‎ ‎（2）由正弦定理：，∴‎ ‎∵∴∴‎ ‎∴‎ 设边上的高为，则有 ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.‎ ‎20.在数列中，，，且对任意的N*，都有.‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）可变形为，故是等比数列.利用累加法可以求出的通项.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，用裂项相消法可求，求出 的最小值后可得的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由可得． ‎ 又，，所以，故 所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）因为. ‎ 所以 ‎ ‎ 又因为对任意的都有，所以恒成立，‎ 即,即当时，.‎ ‎【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎21.如图，在三棱锥中，平面BCD，，，E，F分别是AC，AD上的动点，且平面BCD，二面角为．‎ ‎（1）求证：平面ABC．‎ ‎（2）若，求直线BF与平面ACD所成的角的正切值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，即可证明平面ABC；‎ ‎（2）因为平面ACD，由线面角的作法可得： 为所求线面角，运算即可得解.‎ ‎【详解】（1）证明：平面BCD，．‎ ‎，．‎ 平面BCD，，，‎ 所以平面ABC ‎（2）由（1）知平面ABC，是二面角的平面角，，‎ ‎，，．平面ABC，平面平面ACD．‎ ‎，平面ACD，所求线面角是，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直及线面角，属中档题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆C与直线交于A，B两点，若点P坐标为（3，），求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由极坐标与平面直角坐标之间的转化公式求得；‎ ‎(2)利用直线参数方程中的几何意义求解.‎ ‎【详解】解，（1）∵圆的极坐标方程为 ∴（*）‎ 又∵， ∴‎ 代入（*）即得圆的直角坐标方程为 ‎（2）直线1的参数方程可化为 代入圆c的直角坐标方程，得，‎ ‎∴ ∴‎ ‎【点睛】本题考查平面直角坐标系和极坐标的互化，以及直线的参数方程中的的几何意义，属于中档题.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）设函数．若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 极小值为，没有极大值．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，先对函数进行求导，解出的根，讨论方程的解的左右两侧的符号，确定极值点，从而求解出结果。‎ ‎（2）根据题意，将其转化为在 上至少有两个不同的正根，再利用导数求出的取值范围。‎ ‎【详解】解：（1）定义域为，，‎ 时，，时，，‎ ‎∴在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴的极小值为，没有极大值． ‎ ‎（2），‎ 则，令，‎ 则．‎ 当时，，（即）为增函数，‎ 又，‎ 所以在区间上递增．‎ 因为在上的值域是，‎ 所以，，，‎ 则在上至少有两个不同的正根．‎ ‎，令，‎ 求导得．‎ 令，则，‎ 所以在上递增，，，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 所以，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及利用导数解决与存在性相关的综合问题，在解决这类问题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使问题得到解决。‎