2019-2020学年四川省阆中中学高二上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年四川省阆中中学高二上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省阆中中学高二上学期10月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若直线过点，，则直线的倾斜角是（ )‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两点求斜率公式求得直线l的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线l的倾斜角．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线l经过点，‎ ‎∴，‎ 设直线l的倾斜角为α，（0°≤α＜180°），‎ 则tan，α=45°．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两点求斜率公式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．‎ ‎2．已知圆，圆 ，则圆与圆的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即两圆外切，故选．‎ 点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．‎ ‎(2)切线法：根据公切线条数确定．‎ ‎（3）数形结合法：直接根据图形确定 ‎3．已知直线 与直线平行，则它们之间的距离是(　 　)‎ A．1 B． C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意两直线平行，得，由直线可化为，再由两直线之间的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意直线与直线平行，则，‎ 即，则直线可化为，‎ 所以两直线之间的距离为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．下列说法正确的是（ ）‎ A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两条直线的斜率之积为一1‎ D．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行 ‎【答案】B ‎【解析】根据斜率定义判断，可知倾斜角为得直线无斜率可判断A错误．‎ 当一条直线平行轴，一条垂直轴时，两直线垂直，但垂直轴的直线斜率不存在．故C错误．‎ 当两条直线都垂直轴时，它们平行，但都不存在斜率，不能说斜率相等，故D错误．‎ ‎【详解】‎ 当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A错误．‎ 由直线倾斜角定义可知B正确，‎ 当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C错误，‎ 当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D错误，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．‎ ‎5．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为 (　　)‎ A． B． C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】BC边所在直线的方程为，即x＋y＋1＝0；则d＝ .‎ ‎6．已知实数，满足，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出可行域，利用的几何意义求解．‎ ‎【详解】‎ 作出可行域，如图内部（含边界），表示可行域内点到原点距离的平方，由图可知，可行域内点到原点距离最小值为原点到直线的距离为，∴的最小值为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的二元一次不等式组表示的平面区域，解题关键是利用目标函数的几何意义求解．‎ ‎7．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是(　　)‎ A．x＋y＋1＝0‎ B．4x－3y＝0‎ C．4x＋3y＝0‎ D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】分截距均为0和截距不为0两种情况，设直线列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)，代入得k＝－，得直线4x＋3y＝0；‎ 当截距不为0时，设方程为，‎ 将(3，－4)代入得a＝－1，得直线x＋y＋1＝0.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的截距的概念及直线的截距式，属于基础题.‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y2+8x-m＝0与直线相交于A，B两点.若△ABC为等边三角形，则实数m的值为()‎ A．11 B．12 C．-11 D．-12‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出圆心到直线的距离，然后利用弦长公式，表示出弦长，再由△ABC为等边三角形得到和之间的关系，构造出关于的方程，求出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 圆心C(-4，0)到直线的距离，‎ 所以弦长，‎ 由△ABC为等边三角形，‎ 所以，‎ 解得m＝-12.‎ 故选D项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，圆的弦长公式，属于简单题.‎ ‎9．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆的圆心坐标，‎ 设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，‎ 满足，解得，‎ 即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，‎ 所以所求圆的方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．若直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线斜率的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由直线将圆平分得直线过圆心，再由直线不经过第四象限，即可求解直线的斜率的取值范围，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，可知圆心坐标为，‎ 因为直线将圆平分，所以直线过圆心，又由直线不经过第四象限，‎ 所以直线的斜率的最小值为，斜率的最大值为，‎ 所以直线的斜率的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的斜率的取值范围的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中认真审题，得到直线必过圆的圆心，再根据斜率公式求解是解答的关键，同时属于圆的性质的合理运用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎11．已知，、满足约束条件，若的最小值为1，则（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先作出约束条件中的两条直线，及由目标函数取得最值的直线，从而找到图中的点，进而得到直线必过点，代入方程即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 作出约束条件中的两条直线，，如图所示，‎ 因为目标函数取得最值，所以，‎ 联立可得，‎ 所以线性约束条件所表示可行域内的点，‎ 所以直线必过点，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划中参数的求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意运用逆向思维，根据目标函数取得的最值，确定直线方程.‎ ‎12．如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则的边长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 作高AE，BG，CF（如图），‎ ‎ 设AD＝x，则AC＝3x， 于是，， ∵∠BDG＝∠CDF， ∠BGD＝∠CFD＝90°， ∴Rt△BDG∽Rt△CDF， ，即， ． 故选：D．‎ 二、填空题 ‎13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程.‎ ‎【详解】‎ 直线与的交点为,‎ 垂直于直线的直线方程可设为,‎ 所以,即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14．已知实数满足约束条件，则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣y对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到z＝x﹣y的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（3，1），C（2，2）‎ 将直线l：z＝x﹣y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最大值；‎ ‎∴z最大值＝2；‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．‎ ‎15．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是_____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离．‎ ‎【详解】‎ 解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，‎ ‎∴圆心A坐标为（2，2），半径，‎ 由几何知识知过A与直线x+y﹣14＝0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小，‎ ‎∴最大距离，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎16．若直线上存在满足以下条件的点:过点作圆的两条切线(切点分别为),四边形的面积等于，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线．‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据两直线垂直的等价条件可得所求．（Ⅱ）先由求出，然后根据两平行线间的距离公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵，且，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ）∵，且，‎ ‎∴且，解得，‎ ‎∴，即 ‎∴直线间的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若，则①；②‎ 且，或且．考查转化和计算能力，属于基础题．‎ ‎18．平面直角坐标系中，已知点A（2,1），B（1,3），动点P（x,y）满足.‎ ‎（Ⅰ）求P的轨迹方程并指出它是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）过A点的直线l与P的轨迹有且只有一个公共点，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（I），以点为圆心，为半径的圆；（II）和 ‎【解析】（Ⅰ）直接由列式求得点P的轨迹的方程；（Ⅱ）由直线与圆相切设直线方程有点到线距离公式求解即可 ‎【详解】‎ ‎（I）由已知得 化简得， 整理得 它是一个以点为圆心，为半径的圆.‎ ‎（II）在圆外，则与圆相切，且斜率存在，设其方程为：‎ 整理得 圆心到直线的距离，解得或 故的方程为：和 ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程，直线与圆的位置关系，熟记公式，准确计算是关键，是中档题 ‎19．某工厂家具车间造、型两类桌子，每张桌子需木工和漆工梁道工序完成.已知木工做一张、型型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张、型型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张、型型桌子分别获利润2千元和3千元.‎ ‎(1)列出满足生产条件的数学关系式，并画出可行域；‎ ‎ (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 每天应生产型桌子2张，型桌子3张才能获得最大利润.‎ ‎【解析】先设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=2x+3y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设每天生产型桌子张，型桌子张，则，‎ 作出可行域如图阴影所示：‎ ‎(2)设目标函数为：‎ 把直线向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上点，且与原点距离最大，此时取最大值.‎ 解方程得的坐标为.‎ 答：每天应生产型桌子2张，型桌子3张才能获得最大利润.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．‎ ‎20．已知直线，，是三条不同的直线，其中.‎ ‎（1）求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标；‎ ‎（2）若以，的交点为圆心，为半径的圆与直线相交于两点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；定点坐标；（2）‎ ‎【解析】（1）将整理为：，可得方程组，从而求得定点；（2）直线方程联立求得圆心坐标，将问题转化为求圆心到直线距离的最大值的问题，根据圆的性质可知最大值为，从而求得最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：，可化为：‎ 令，解得：，‎ 直线恒过定点 ‎（2）将，联立可得交点坐标 设到直线的距离为，则 则求的最小值，即求的最大值 由（1）知，直线恒过点，则最大时，，即 ‎【点睛】‎ 本题考查直线过定点问题的求解、直线被圆截得弦长的最值的求解，关键是能够根据圆的性质确定求解弦长的最小值即为求解圆心到直线距离的最大值，求得最大值从而代入求得弦长最小值.‎ ‎21．已知直线.‎ ‎(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围;‎ ‎(2)若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；‎ ‎(3)已知点,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）[0,+∞)；（2）S的最小值为4，此时的直线方程为x−2y+4=0；（3）d的最大值为5，此时直线方程为3x+4y+2=0。‎ ‎【解析】（1）把已知方程变形，利用线性方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于0且在y轴上的截距大于等于0联立不等式组求解；‎ ‎（2）由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；‎ ‎（3）当PM⊥l时，d取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直线l的斜率，由点斜式方程可得所求直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由kx−y+1+2k=0,得k(x+2)+(−y+1)=0，‎ 联立,解得，‎ 则直线l:kx−y+1+2k=0过定点M(−2,1)；‎ 由kx−y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，‎ 要使直线不经过第四象限,则，解得k⩾0。‎ ‎∴k的取值范围是[0,+∞)。‎ ‎(2)如图，‎ 由题意可知，k>0，‎ 在kx−y+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，‎ ‎∴‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。‎ ‎∴S的最小值为4，此时的直线方程为12x−y+2=0，即x−2y+4=0。‎ ‎(3)点P(1,5)，若点P到直线l的距离为d，‎ 当PM⊥l时,d取得最大值,且为，‎ 由直线PM的斜率为，‎ 可得直线直线l的斜率为，‎ 则直线l的方程为，‎ 即为3x+4y+2=0。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线横过定点问题，考查利用基本不等式求最值，以及数形结合思想方法，是中档题．‎ ‎22．已知圆经过两点，且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（3）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值?若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）见解析 ‎【解析】(1)设出圆的一般方程，代入三个条件解得答案.‎ ‎(2)将弦长转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到答案.‎ ‎(3)设出点 利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为圆经过两点，且圆心在直线上 设圆：‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以圆 ‎（2）当斜率不存在的时候，，弦长为，满足题意 当斜率存在的时候，设，即 所以直线的方程为：或 ‎（3）设，且 因为为定值，设 化简得：，与点位置无关，‎ 所以 解得：或 所以定点为 ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查阿斯圆内容.考查了多项式恒成立问题.考查学生的分析能力、数据分析能力.‎