【数学】2021届一轮复习人教A版高考热点问题抽象函数问题学案

【数学】2021届一轮复习人教A版高考热点问题抽象函数问题学案

高考热点问题：抽象函数问题 抽象函数问题是函数中的难点问题，它具有综合性强，往往综合函数的概念、定义域、值域、对应关系及函数的基本性质，又有较大的灵活性，需构造函数、利用特殊化思想、推理与论证及分析问题与解决问题的能力。‎ 题1 合理赋值 推理论证 若定义在R上的函数对任意实数均有，，当时，.‎ ‎ （1）求证：；(2)求不等式的解集.‎ ‎ 【问题特征】抽象函数的不等式问题 ‎【尝试解答】‎ ‎（1）思路 赋值法 ‎ ‎ ‎ （2）思路 先判断的单调性，再利用单调性解不等式。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【注意点】‎ ‎1.解决抽象函数问题，可以先找到满足条件的一个函数，解题的目标会更明确，思路也会更清晰，如函数是满足条件的一个函数；‎ ‎2.赋值法是解决抽象函数问题的基本策略。 ‎ ‎【相关问题】‎ 定义在非零实数集上的函数满足，且当时，.‎ ‎（1）判断的奇偶性；（2）解不等式：‎ 题2 代换思想 立竿见影 若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是（ ）‎ ‎（A） （B） (C) (D) ‎ ‎【问题特征】抽象函数的不动点问题 ‎【尝试解答】‎ 思路 利用方程的实根的定义及代换思想 ‎【注意点】‎ ‎1.把满足的叫做函数的不动点，本题条件实际上是函数有不动点，解题过程运用了代换思想，代换思想是解决函数问题的重要思想；‎ ‎2.一般情况下，复合函数与不是同一个函数。‎ ‎【相关问题】‎ 已知是定义在上的函数，若方程有且仅有一个实数根，则的解析式可能为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 题3 证明容易 反例难找 已知是定义在上的函数，（ ）‎ ‎（A）若，则 （B）若，则 ‎（C）若，则 (D) 若，则 ‎【问题特征】抽象函数值的大小关系的判断问题 ‎【尝试解答】‎ 思路1 直接找到一个真命题 思路2 构造反例，找到三个假命题 ‎【注意点】‎ 解决此选择题，因为比较容易证明选项（C）的正确性，因此直接找正确答案比较容易；但要说明其余三个选项是假命题，构造反例，没有足够的时间会比较困难。‎ ‎【相关问题】‎ 若定义在(0,1)上的函数f(x)满足：f(x)>0且对任意的x∈(0,1)，有，则 ‎ （A） 对任意的正数M，存在x∈(0,1)，使f(x)≥M ‎ （B.）存在正数M，对任意的x∈(0,1)，使f(x)≤M ‎ （C）对任意的x1,x2∈(0,1)且x1 f(x2) ‎ ‎ ‎ 题4 大胆猜想 小心求证 已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为（ ）‎ ‎ （A） (B) (C) (D) ‎ ‎【问题特征】抽象函数与不等式的综合问题 ‎【尝试解答】‎ 思路 先举例猜想的上界，再利用绝对值三角不等式证明 ‎【注意点】‎ ‎1.先猜后证是解决数学问题的重要方法；‎ ‎2.利用这一条件，‎ 解法1中的变形，解法2中的变形，这种变形的方法称为“插值法”；‎ ‎3.两种解法均利用了绝对值三角不等式“”；‎ ‎【相关问题】‎ 已知定义域为区间的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：①的值域为，且；②对任意不同的，都有，那么函数在区间上（ ） ‎ ‎ （A）没有零点 （B）有且只有一个零点 ‎ （C）恰有两个不同的零点 （D）有无数个不同的零点 ‎ ‎ ‎ ‎ 题5 瞄准目标 巧妙赋值 ‎ 定义在上的函数满足：（1）；（2）当时，；（3）对任意，总有，则________‎ ‎【问题特征】求抽象函数的函数值问题 ‎【尝试解答】思路 赋值法 ‎【注意点】‎ ‎1.赋值法是解决抽象函数问题的常见方法，解决本题共三次赋值，第一次赋值：令，得到一个结论“当时，”，第二次赋值：令，得到，第三次赋值：令得到这里所取的的值是由 得出的，并非空穴来风。‎ ‎2.发现结论、推理论证、运用正难则反思想也是解决此题的关键。‎ ‎【相关问题】‎ 设函数满足下列条件：（1）‎ ‎（2）对任意实数都有 则当时，的最大值为_________．‎ ‎ ‎ 抽象函数问题小结 ‎【方法回眸】‎ 抽象函数常与函数的奇偶性、单调性、零点、最值、不等式、数列联系，解决问题的常用方法：（1）赋值法，需根据题设与目标的特征适当赋值；（2）代换思想；（3）猜证法；（4）构造数列。‎ ‎【巩固升华】‎ ‎1.已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎2.是定义在上的函数，若，对任意的，满足及 ‎ ‎ ，则的值为_________‎ ‎3.设函数的定义域为，当时，恒有，且过的图象上任意两点的直线的斜率都大于1.‎ 求证：（1）为增函数；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）‎